Budownictwo rok I |
Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła prostego oraz logarytmicznego dekrementu tłumienia wahadła fizycznego |
Data: 19.03.2008 |
Nr ćw. 5 |
|
|
Wprowadzenie
Przyspieszeniem ziemskim nazywamy przyspieszenie swobodnie spadającego ciała i oznaczamy „g”. Wartość przyspieszenia nie jest stała, ale zależy od położenia punktu na powierzchni Ziemi. Przyczyną tego jest spłaszczenie kuli ziemskiej i ruch obrotowy Ziemi. Przyspieszenie ziemskie można wyznaczyć (z zadowalającą dokładnością) za pomocą prostego zestawu pomiarowego tzw. wahadła prostego.
Wahadłem matematycznym nazywamy punkt materialny o masie m zawieszony na nierozciągliwej i nieważkiej nici o długości l. W rzeczywistości występuje tzw. wahadło proste, którego nić jest nieco rozciągliwa i ma pewną masę, a mała kulka najczęściej metalowa zawieszona na tej nici ma skończony wymiar. Wahadłem fizycznym nazywamy natomiast bryłę sztywną mogącą wahać się wokół osi obrotu O nie przechodząc przez środek ciężkości S.
Pokazane na powyższym rysunku wahadło po wychyleniu o kąt α, będzie wykonywać ruch drgający wokół stałego położenia równowagi. Przyczyną tego ruchu jest składowa F2 siły ciężkości skierowana stycznie do toru ruchu. Siła ta jest równa:
F2 = -mg sin α
Siła ta nie jest proporcjonalna do α lecz do sin α. Przyjmując, że sin α ≈ α otrzymujemy:
F2 = -mg α = -mg x/L
Przy tym założeniu, zgodnie z II zasadą dynamiki powyższe równanie przyjmuje postać:
= -kx
Co wskazuje, że wahadło porusza się ruchem harmonicznie prostym (k = mg / L).
Rozwiązaniem różniczkowym powyższego równania jest funkcja:
x (t) = A sin (ωt +
)
gdzie: A - jest amplitudą ruchu, ω - jest pulsacją kołową drgań swobodnych, a
tzw. fazą początkową. Okres drgań T związany bezpośrednio z częstotliwością wynosi:
T=2Π.
Po przekształceniu zależności otrzymujemy:
g= *4Π2 .
W przypadku wahadła fizycznego wzór na okres drgań ma postać:
gdzie I0 - moment bezwzględności bryły względem osi przechodzącej przez punkt zawieszenia O, d - odległość pomiędzy punktem zawieszenia O a środkiem ciężkości S.
Jeśli ruch wahadłowy odbywa się w ośrodku materialnym, to wskutek występowania siły oporu ośrodka zwaną siła tłumienia drgania będą znikać. Siłę to można przedstawić wzorem:
Wielkością charakterystyczną drgania tłumionego jest tzw. logarytmiczny dekrement tłumienia. Jest to logarytm naturalny stosunku dowolnych dwóch kolejnych amplitud An i An+1 w chwili t i t+T. Oznaczając logarytmiczny dekrement tłumienia literą D można zapisać:
= βT
Współczynnik oporu środka można natomiast przestawić wzorem:
Tabele pomiarów
Rodzaj kulki
|
Długość nici [m] |
Średnica kulki d [m] |
Długość wahadła L=(l+d/2) [m] |
Czas trwania ( ) okresów [s] |
Okres T [s] |
Średnia wartość okresu T [s] |
Stosunek L/T2 |
Przyspiesz g [m/s2] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Czas w okresach |
T |
2T |
3T |
4T |
5T |
6T |
7T |
8T |
9T |
10T |
An [mm] |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|