Zestaw I Podstawowe pojęcia mechaniczne: masa, siła, prawa Newtona, Momenty odśrodkowe, elipsoida bezwładności, osie główne

Momenty odśrodkowe:

Gdy jedna z płaszczyzn układu współrzędnych jest płaszczyzną symetrii materialnej wtedy momenty odśrodkowe, w których występuje indeks osi prostopadłej do płaszczyzny są równe 0.

Elipsoida bezwładności jest konstrukcją umożliwiającą wyznaczanie momentów bezwładności względem dowolnej osi przechodzącej przez środek masy bryły.

Masa - w fizyce jedna z najważniejszych wielkości fizycznych określająca bezwładność (masa bezwładna) i oddziaływania grawitacyjne (masa grawitacyjna) obiektów fizycznych. Potocznie rozumiana jako ilość materii i energii zgromadzonej w obiekcie fizycznym. Peter Higgs postulował istnienie pola, a bazująca na koncepcji pola, hipoteza zakłada, że masa nabywana jest przez oddziaływanie z otoczeniem i nie jest fundamentalną własnością cząstek materii.

W układzie jednostek miar SI masa wyrażana jest w kilogramach. Symbol stosowany na oznaczenie masy to: m.

Siła (
) jest wielkością wektorową, miarą oddziaływań fizycznych między ciałami.

Jednostką siły w układzie SI jest niuton [N]. Nazwa tej jednostki pochodzi od nazwiska wybitnego fizyka Isaaca Newtona.

Siła ma wartość jednego niutona (1 N) jeżeli ciału o masie jednego kilograma (1 kg) nadaje przyspieszenie jeden metr na sekundę do kwadratu (1 m/s²):

I zasada

Jeśli na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

II zasada

Jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli siła wypadkowa
jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej

III zasada

Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. Siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia (każda działa na inne ciało).

Zestaw II Zasady statyki, stopnie swobody, więzy i ich reakcje, przyspieszenie punktu po okręgu.

ZASADY STATYKI

Zasada I

Dowolne siły P1 i P2 przyłożone do jednego punktu zastąpić możemy siła wypadkową R przyłożoną do tegoż punktu i przedstawić jako wektor będący przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach sił jak pokazano na rysunku:

Zasada II

Dwie siły przyłożone do ciała sztywnego różniące się tylko wtedy gdy działają wzdłuż jednej prostej, są przeciwnie skierowane i mają te same wartości liczbowe.

Zasada III

Działanie układu sił przyłożonego do ciała sztywnego nie ulegnie zmianie gdy do układu tego dodamy lub odejmiemy dowolny układ równoważących się sił czyli tzw. układ zerowy.

Twierdzenie

Każdą siłę działającą na ciało sztywne można przesuwać dowolnie wzdłuż linii działania

Zasada IV

Równowaga sił działających na ciała odkształcalne nie zostanie naruszona przez zesztywnienie tego ciała (Zasada zesztywnienia)

Zasada V

Każde ciało nieswobodne można myślowo oswobodzić od więzów zastępujących przy tym ich działanie odpowiednimi reakcjami. Dalej rozpatrywać można ciało tak jak ciało swobodne podlegające działaniu sił czynnych oraz sił reakcji więzów.

STOPNIE SWOBODY I WIĘZÓW

Podstawowe zadanie mechaniki - znalezienie położenie rozpatrywanego ciała układu ciał (mechanizmu) w jakimkolwiek momencie czasu.

Punkt materialny w przestrzeni może mieć maksymalnie 3 stopnie swobody

Jeżeli mamy ruch płaski punktu - 2 stopnie swobody)

Przy przestrzennym ruchu ciała - max 6 stopni swobody

Przy płaskim ruchu ciała - max 3 stopnie swobody

WIĘZY - ograniczenie ruchu ciała nakładane przez inne ciała nazywamy więzami, siły oddziaływania więzów na podlegające im ciała nazywają się siłami reakcji więzów lub reakcjami. Dla odróżnienia sił z góry danych czyli tzw. sił czynnych.

Zestaw III Wypadkowa sił zbieżnych , twierdzenie o 3 siłach nierównoległych, ruch ciała sztywnego, ruch postepowy i ruch obrotowy ciała sztywnego

RÓNOWAGA 3 SIŁ NIERÓWNOLEGŁYCH

Aby 3 nierównoległe do siebie siły działające na ciało sztywne były w równowadze linie działania tych sił muszą przecinać się w 1 punkcie, a same siły tworzyć trójkąt zamknięty.

Dowolny płaski układ sił przyłożonych do punktów o możemy zastąpić wypadkowa R równa sumie geometryczny tych sił i przyłożonych również do pkt O

Wypadkowa sił zbieżnych

Aby siły zbieżne działające w jednej płaszczyźnie znajdowały się w równowadze wielobok sił z nich zbudowany musi być wielobokiem zewnętrznym.

Wniosek

Dwie równoległe i zgodnie skierowane siły P1 i P2 przyłożone do pkt A i B ciała sztywnego zastąpić możemy równoległa i zgodnie z nimi skierowaną siła wypadkową R o wartości liczbowej równej sumie wartości liczbowych sił. Linie działania tej wypadkowej dzieli wewnętrznie środek AB odwrotnie proporcjonalnej P1 i P2.

Wniosek

Dwie równoległe i przeciwnie skierowane siły P1 i P2 przyłożone do pkt A i B ciała sztywnego możemy zastąpić równoległa do nich wypadkową skierowaną zgodnie z siłą o większej wartości liczbowej. Linie działania tej wypadkowej dzieli zewnętrznie odcinek AB w stosunku odwrotnie proporcjonalnym do wartości sił przyłożonych w pkt A i B leży po stronie większej siły. Wartość liczbowa wypadkowej R jest równa różnicy wartości liczbowych danych sił.

RUCH CIAŁA SZTYWNEGO I RODZAJE RUCHU

Ruch, który może wykorzystywać ciało o unieruchomionym jednym pkt nazywamy ruchem kolistym. Jeżeli dane punkty zostały unieruchomione, to takiego rodzaju ruch ciała sztywnego nosi nazwę ruchu obrotowego, a linia prosta łącząca wspomniane punkty nazywa się osią obrotu.

Jeżeli ciało sztywne porusza się w taki sposób, że dowolna prosta należąca do tego ciała pozostaje stale równoległa do swego położenia, które zajmowała w pewnej dowolnie obranej chwili, to takiego rodzaju ruch ciała nazywamy ruchem postępowym.

Ruchem płaskim ciała sztywnego nazywamy ruch, podczas którego wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych do pewnej nieruchomej płaszczyzny zwanej płaszczyzną kierującą.

Wspólna dla wszystkich pkt ciała prędkość ruchu postępowego. Rozmieszczenie w przestrzeni ciała sztywnego nazywamy przesunięciem równoległym lub translacją.

Zestaw IV Moment siły względem pkt, wypadkowa 2 sił równoległych , para sił i moment pary sił , ruch płaski ciała sztywnego

MOMENT SIŁY WZGLĘDEM PUNKTU

Promieniem siły P względem dowolnie obranego punktu nazywamy odległość h linii działania l tej siły od pkt O

Momentem siły względem punktu o nazywamy wektor, którego wartość bezwzględna równa jest iloczynowi wartości liczbowej siły P i ramienia tej siły względem punktów O. Wektor ten, który oznaczymy Mo, poprowadzimy z punktu o prostopadle do płaszczyzny przesuniętej przez linie działanie tej siły oraz przez punkty O i skierujemy w ten sposób aby dla obserwatora patrzącego z jego końca na tę płaszczyznę kierunek obrotu która siła P stara się wywołać względem punktu O był przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara.

Para i moment pary sił

Definicja

Dwie równoległe i przeciwnie skierowane siły P i P przyłożone do jednego ciała o równych wartościach liczbowych będziemy nazywać parą sił.

Suma momentów sił tworzących parę względem dowolnego punktu płaszczyzny tej pary równy jest momentowi tej sił. Pary siła o tej samej płaszczyźnie działania są do siebie statycznie równoważne. Wektor, którego początek może być obrany dowolnie nosi nazwę wektora swobodnego. Zgodnie z tym określeniem moment pary sił jest wektorem swobodnym.

Ruch płaski ciała sztywnego

Określenie ruchu płaskiego ciała sztywnego

Ruch płaski ciała sztywnego ruch w którym wszystkie punkty ciała poruszają się w płaszczyznach równoległych

do pewnej płaszczyzny, zwanej płaszczyzną ruchu płaskiego

B B₁

B^'

*

Rys.44 Zmiana położenia pręta AB

A A₁

C środek chwilowego obrotu

Dowolne przemieszczenie figury płaskiej w jej płaszczyźnie

może być dokonane za pomocą przesunięcia równoległego,

równego przesunięciu dowolnie obranego punktu A tej figury, oraz obrotu wokół tego punktu.

Zestaw V iloczyn skalarny, wekorowy; moment siły względem osi i pkt , przyspieszenie pkt figury płaskiej

Momentem siły względem punktu o nazywamy wektor, którego wartość bezwzględna równa jest iloczynowi wartości liczbowej siły P i ramienia tej siły względem punktów O. Wektor ten, który oznaczymy Mo, poprowadzimy z punktu o prostopadle do płaszczyzny przesuniętej przez linie działanie tej siły oraz przez punkty O i skierujemy w ten sposób aby dla obserwatora patrzącego z jego końca na tę płaszczyznę kierunek obrotu która siła P stara się wywołać względem punktu O był przeciwny do kierunku ruchu wskazówek zegara.

Momentem siły P względem osi Z nazwiemy moment rzutu P danej siły na płaszczyznę prostopadłą do tej osi względem pkt O ,w której oś Z przebija wspomnianą płaszczyznę.

Iloczyn skalarny - operator na przestrzeni liniowej przypisujący dwóm argumentom z tej przestrzeni rzeczywistą wartość skalarną. Artykuł ten traktuje o standardowym iloczynie skalarnym określanym na przestrzeniach euklidesowych, który zwykle nazywany jest właśnie standardowym, bądź euklidesowym, dlatego niżej te określenia są pomijane.

Iloczyn wektorowy to działanie (n − 1)-argumentowe na elementach n-wymiarowej przestrzeni euklidesowej.

Przyspieszenie dowolnego pkt figury płaskiej poruszającej się w swojej płaszczyźnie równe jest sumie geometrycznej przyspieszenia dowolnie obranego bieguna A oraz przyspieszenie pkt B względem bieguna A.

Zestaw VII Tarcie i prawa tarcia , opor przy toczeniu się cial, ruch wzgledny, metody graficzne kinematyki

TARCIE I PRAWA TARCIA

I Twierdzenie

Siła tarcia jest niezależne od wielkości stykające się ze sobą powierzchni i zależy jedynie od ich rodzaju

II Twierdzenie

Wielkość siły tarcia dla ciała znajdującego się w spoczynku może się zmienić od 0 do max wartości proporcjonalnie do całkowitego nacisku normalnego.

III Twierdzenie

W przypadku gdy ciało ślizga się po pewnej powierzchni siła tarcia jest skierowana zawsze przeciwnie do kierunku ruchu. Wielkość jej nie zależy w przybliżeniu od prędkości poślizgu.

Opór toczenia - siła oporu występująca podczas toczenia się ciała i przeciwdziałająca się toczeniu.

Przykładami oporu toczenia jest opór podczas toczenia kół pojazdów po nawierzchnią drogi, kulek, wałków łożysk tocznych po bieżni łożyska.

Zjawiska fizyczne zachodzące na powierzchni styku toczonego ciała z nawierzchnią są bardzo złożone, zagadnienie opisywane jest przez tarcie toczne.

ruch punktu lub bryły względem układu ruchomego ruchem względnym

Zestaw VIII tarcie ciegien , rownanie dynamiczne i przykład jego rozwiazania, zasada niezaleznoscui dzialania sil, zasada wzglednosci, zasada d alambreta

Tarcie Cięgień

S  S e  

Zasada d'Alemberta stosowana jest podczas wyprowadzania modelu matematycznego (a dokładniej dynamiki) kołowego robota mobilnego. Zasada ta stwierdza, że: ciało spoczywa w układzie nieinercjalnym, gdy suma wszystkich sił działających, łącznie z siłą bezwładności, równa się zero.

Zasada względności

Prawa mechaniki są jednakowe we wszystkich układach inercjalnych, tj. obserwatorzy z różnych układów inercjalnych stwierdzą taki sam ruch badanego obiektu. Ruch jednostajny prostoliniowy jest nierozróżnialny od spoczynku - obserwując zjawiska mechaniczne nie jesteśmy w stanie go rozróżnić.

Zestaw IX Wyznaczanie sił w prętach kratownicy płaskich metoda analityczna i Rittera, praca siły , potencjal pola sil

W metodzie analitycznej wycinamy poszczególne węzły zaczynając od węzłów wartości sił są częściowo znane. Niewiadome siły zastępujemy odpowiednimi siłami kierując w stronę od węzla ( co będzie oznaczać że odpowiednie siły w prętach będą tę pręty rozciągać. Jeżeli w wyniku obliczeń znak poszczególnej siły będzie ujemny będzie to oznaczać że odpowiedni pręt będzie ściskany i odpowiedni kierunek był wybrany nieprawidłowo.

Zestaw X Metody wykreslne statyki . pln sily cremony, energia kinetyczna pkt materialnego

METODY WYKREŚLNE STATYKI

1.)Plan sił cremony

Należy wykreślić najpierw wielobok sił zewnętrznych działających na kratownice przy czym siły te muszą w nim występować w takiej kolejności jakiej spotykamy je obchodząc kratownicę w pewnym przyjętym kierunku. Wektory przedstawiające siły zewnętrzne przyłożone do boków kratownicy powinny być położone na zewnątrz schematycznego jej rysunku..

2.)Kreśląc ej wieloboki sił odpowiadającej jej poszczególnym węzłom siły zewn. i siły w odpowiednich prętach musimy rysować w takiej kolejności jakie spotykamy je obchodząc odpowiednie węzły zgodnie z uprzednio przyjętym kierunkiem.

3.) Najpierw musi być zadana skala planu sił np. Ks=10

Energią kinetyczną punktu materialnego o masie m, poruszającego się z prędkością v, nazywamy połowę iloczynu masy punktu i kwadratu jego prędkości:

Zestaw XI Metoda wieloboku sznurowego, ped i moment pędu

Nazwa wieloboku sznurowego pochodzi stąd że gdybyśmy przez pkt A , B , C , D , E przeprowadzali doskonale wiotki i pozbawiony ciężaru sznur umocowany do nieruchomego pkt D i E to pozostawałby on w równowadze pod działaniem sił P , P , P przyłożonych w węzłach A , B , C napięcie w poszczególnych odcinkach tego sznura byłoby liczbowo różne długości (promieni nowych?) w skali sił.

I przypadek: wielobok sił nie zamyka się

Wniosek: siła redukująca może być wyznaczona przy czym wszystkie siły mogą być zastąpione przez tą jedną siłę.

II przypadek :wielobok sił zamyka się a wielobok sznurowy nie zamyka się

Wniosek: Siła redukuję się do pary sił

III przypadek: wielobok sił i wielobok sznurowy zamykają się

Wniosek: siły są w równowadze.

Moment pędu

W tradycyjnej matematyce moment pędu jest wielkością wektorową (pseudowektor). Moment pędu punktu materialnego względem zadanego punktu określony jest zależnością składowych

gdzie

L to moment pędu punktu materialnego,

r to wektor łączący punkt, względem którego określa się moment pędu i punkt ciała,

p to pęd punktu materialnego

iloczyn wektorowy wektorów.

Powyższy wzór można wyrazić:

gdzie θ_r,p jest kątem między r i p

Dla ciała obracającego się:

gdzie:

I to moment bezwładności ciała,

ω to prędkość kątowa.

Pęd punktu materialnego jest równy iloczynowi masy m i prędkości v punktu. Pęd jest wielkością wektorową; kierunek i zwrot pędu jest zgodny z kierunkiem i zwrotem prędkości.

W układzie SI jednostka pędu nie ma odrębnej nazwy, a jest określana za pomocą innych jednostek, np. niuton·sekunda (N·s) lub kilogram·metr/sekunda (kg·m/s).

Zestaw XII Układ pkt mat. Srodek masy, srodek sil rownoleglych, srodek ciezkosci,

Metody graficzne kinematyki, mechanizm korbowodowy

ŚRODEK SIŁ RÓWNOLEGŁYCH. ŚRODEK CIĘŻKOŚCI

Punkt C mający tą własność, że podchodzi przez niego stałą wypadkową układów sił równoległych nie zależnie od kierunku tych sił przy niezmiennych punktach przyłożenia i wartościach sił nazywa się środkiem sił równoległych.

Środek sił równoległych w odniesieniu do sił ciężkości nazywamy środkiem ciężkości

Wtedy środek ciężkości ciała jednorodnego nazywamy środkiem ciężkości bryły geometrycznej.

METODY WYZNACZANIA POŁOŻENIA ŚRODKA CIĘŻKOŚCI

Jeżeli ciało ma płaszczyznę symetrii materialnej to środek ciężkości leży w tej płaszczyźnie. W przypadku istnienia dwóch płaszczyzn symetrii, środek ciężkości leży na linii ich przecięcia się.

Zestaw XIV moment bezwladnosci ciala materialnego, momenty bezwladnosci względem osi rownoleglych, tw. steinera

Moment bezwładności ciała zależy od wyboru osi obrotu, od kształtu ciała i od rozmieszczenia masy w ciele. Moment bezwładności ma wymiar ML². Zwykle mierzy się go w kg·m².

Moment bezwładności punktu materialnego jest iloczynem jego masy i kwadratu odległości od osi obrotu:

Moment bezwładności ciała składającego się z punktów materialnych jest sumą momentów punktów ciała:

Tw Steinera

Moment bezwładności ciała materialnego względem osi równy jest sumie momentów bezwładności względem osi równoległej centralnej oraz iloczynowi masy ciała i kwadratów odległości między tymi dwiema osiami.

Równanie ruchu punktu

Ciało które przy badaniu ruchu przyjemiemy umownie jako nieruchome nazwiemy ciałem odniesienia. Prostokątny układ współrzędnych sztywno związany z tym ciałem nazwiemy układem odniesienia. Położenia w przestrzeni dowolnego punktu określimy za pomocą 3 jego współrzędnych prostokątnych . Przestrzeń ta nosi nazwę przestrzeni Euklidesa.

W kinemtyce zajmowac się będziemy badaniem zmiany polozenia cala z plywem. Pojeciem czasu traktujemy jako pojecie pierwotne i przyjmujemy ze czas jest niezalezny od wyboru ukladu odniesienia i ze jest taki sam dla wszystkich pkt w przestrzeni . Tego rodzaju czas zwany jest czasem absolutnym i stanowi pewna idealizacje rzeczywistego czasu fizycznego..

Zestaw XVI klasyfikacja wiezow, ogolne warunki dynamiki analitycznej, rownanie lagrangea, ruch plaski ciala sztywnego

Klasyfikacja więzów [edytuj]

• więzy różniczkowe - więzy wyrażone za pomocą funkcji
  ^[1]. Dzielimy je na:

• więzy holonomiczne - nie zależą od prędkości punktu. Można opisać je całkowalnymi równaniami różniczkowymi:

• jednostronne - więzy, których współrzędne spełniają jeden lub więcej warunków:
  ;

• dwustronne - więzy, których współrzędne spełniają jeden lub więcej warunków:
  ;

• więzy nieholonomiczne - takie, których nie da się opisać całkowalnymi równaniami różniczkowymi:

• jednostronne - więzy w postaci
  ;

• dwustronne - więzy w postaci
  ;

• więzy katastatyczne - więzy, dla których wielkość
  znika tożsamościowo:

• skleronomiczne - nie zależą jawnie od czasu:

• jednostronne - postaci
  ;

• dwustronne - postaci
  ;

• reonomiczne - zależą jawnie od czasu;

• więzy akatastatyczne - więzy, dla których wielkość
  nie znika tożsamościowo.

Równania Eulera-Lagrange'a wprowadzone przez Leonharda Eulera i Josepha Louisa Lagrange'a w 1750 roku są podstawową formułą rachunku wariacyjnego.

Pozwalają one na znalezienie torów cząstek w mechanice klasycznej (q_k) jeżeli znana jest funkcja Lagrange'a (lagranżjan) opisująca ten układ:

Korzystając z zasady najmniejszego działania otrzymujemy równania postaci:

Jest to układ n równań różniczkowych cząstkowych, z których znajdujemy rozwiązania q_k(t).

Wyrażenia występujące w równaniach Eulera-Lagrange'a mają swoje nazwy:

- siła uogólniona

- pęd uogólniony

Zestaw XV

Funkcje zależne od czasu, które będą rozpatrywać położenie rozpatrywanego obiektu nazywane są: (uogólnionych współrzędnych lub uogólnionych przemieszczeń)

y(t), x(t), z(t)

zasada prac przygotowanych, zasada Lagrange'a

podstawowe prawo statyki układu punktów materialnych używane w mechanice teoretycznej; z.p.w. mówi, że aby układ punktów materialnych był w równowadze, musi być spełniony warunek:
, gdzie δL - tzw. praca przygotowana sił F_i działających na te punkty, δr_i - przesunięcie wirtualne (pomyślane, zgodne z więzami nałożonymi na ruch); z.p.w. sformułowana przez J.L. Lagrange'a używana jest m.in. do rozwiązywania zagadnień statycznych złożonych mechanizmów.

Zasada szufladkowa Dirichleta - twierdzenie mówiące, że jeżeli m przedmiotów włożymy do n różnych szufladek, przy czym m > n, to co najmniej w jednej szufladce znajdą się co najmniej dwa przedmioty.

Sformułowanie twierdzenia przypisuje się Dirichletowi, a w bardziej formalnym języku można wysłowić je na przykład tak:

• jeżeli zbiór X liczy n elementów i
  i n > k, to któryś ze zbiorów X_i musi liczyć przynajmniej dwa elementy.

Inna wersja formalna brzmi następująco:

• Jeżeli zbiór X liczy n elementów, zbiór Y - m elementów i n > m, to nie istnieje funkcja różnowartościowa ze zbioru X do zbioru y.

Wydaje się, że ta oczywista obserwacja nie może mieć poważnych zastosowań, ale jest akurat odwrotnie. Zasada szufladkowa wykorzystywana w dowodach wielu głębokich twierdzeń matematycznych i często samo zauważenie, że można ją zastosować jest kluczem do rozwiązania problemu.

równowaga statyczna

- równowaga obojętna

- równowaga chwiejna.

---