Wydział : EAIiE	Imię i nazwisko : Sławomir Wąsek, Wojciech Typrowicz				rok I	Grupa 8			Zespół 1
Pracownia fizyczna I	Temat ćwiczenia : Moduł Sztywności							Ćwiczenie nr: 12
Data wykonania:		Data oddania:	Zwrot do poprawy:	Data oddania:			Data zaliczenia:			Ocena:

Cel ćwiczenia:

Wyznaczanie modułu sztywności kilku metali metodą dynamiczną za pomocą pomiaru okresu drgań skrętnych.

Wprowadzenie:

Modułem sztywności G nazywamy stosunek naprężenia stycznego τ do wywołanego przez nie odkształcenia postaci γ.

G=τ/γ

W celu wyznaczenia G wykorzystamy zjawisko skręcenia pręta, gdyż podatność materiału pręta na skręcanie zależy wyłącznie od modułu sztywności G i rozmiarów geometrycznych. Weźmy pręt o promieniu r i długości l. Skręcenie jest odkształceniem wywołanym działaniem pary sił przyłożonej do płaszczyzny przekroju poprzecznego pręta. Należy zauważyć, że podczas skręcania przekroje poprzeczne obracają się dookoła osi pręta, który nie zmienia przy tym swojej długości ani średnicy.

Schemat geometryczny odkształcenia rozpatrywanego pręta przedstawiono na rysunku 1a. Promień OB obróci się o kąt ϕ od położenia OB'. Dwie tworzące AB i DC na powierzchni tej warstwy pochylą się o kąt γ tak, że utworzony element kwadratowy ABCD przekształci się w rąb AB'C'D. Oznacza to, że powstaną odkształcenia postaci, których miarą jest kąt γ. Jest on proporcjonalny do odległości od osi.

Całkowity moment siły można obliczyć przez całkowanie przyczynków pochodzących od niewielkich pierścieni o promieniu x i grubości dx (rys. 1b). Odkształcenie postaci materiału pierścienia wynosi:

γ=(ϕ*x)/l

Zgodnie z prawem Hooke'a wartości naprężeń wynoszą:

Całkowity moment działający na pręt wynosi:

Wielkość nazywamy stałą skręcenia.

Narzuca się możliwość bezpośredniego wyznaczenia modułu sztywności G przez pomiar wszystkich innych wielkości występujących we wzorze (6). Byłaby to metoda statyczna. Znacznie wygodniejsza jest jednak metoda dynamiczna, która polega na pomiarze okresu drgań skrętnych wibratora, w postaci naszego pręta obciążonego ciałem o momencie bezwładności I₀

Przewaga metody dynamicznej polega na zastąpieniu pomiaru siły i kata skręcenia przez łatwiejszy do przeprowadzenia pomiar okresu drgań.

Aby uniknąć trudnego wyznaczania momentu bezwładności I_x wahadła, wykonujemy dwie serie pomiarów okresu drgań. Pierwszą dla wahadła nie obciążonego, drugą dla wahadła obciążonego ciałem geometrycznie prostym, o łatwym do obliczenia momencie bezwładności I_0.

Odpowiednie okresy będą wynosić:

Wartość modułu sztywności wynosi:

Opracowanie wyników

Obręcz:

∅_wew= 251,84 ±0,01 mm

∅_zew = 282,24 ±0,01 mm

m_obr = 1319 ±1 g

I_obr =
23,75*10^-3 ± 0,04*10^-3 kg⋅m²

Ciężarki

m_obc = 554 ± 1 g (sumaryczna)

d = 75 ± 5 mm (odległość jednego ciężarka od osi obrotu)

I_obc =
3,117*10^-3 ± 0,417*10^-3 kg⋅m²

Moduł sztywności liczony był ze wzoru

,

a błąd liczony był z prawa przenoszenia błędów

Okresy T₁, T₂, T₂' liczone były jako średnia okresów bez obciązenia, z obciążeniem ciężarkami i obręczą.

okres bez obciążenia

okres z obręczą

okres z ciężarkami

Błąd pomiaru okresu był liczony jako odchylenie standardowe średniej

STAL

l = 547 ± 1 mm

Lp.	2r [mm]	t10 [s]	T10 [s]	t20 [s]	T20 [s]	t'10 [s]	T'10 [s]	t'20 [s]	T'20 [s]
	2,02	18,5	1,85	37,5	1,875	27,7	2,77	40,3	2,015
	2,01	18,6	1,86	37,5	1,875	28	2,8	40,4	2,02
	2,01	18,7	1,87	37,6	1,88	27,9	2,79	40,2	2,01
	2,00	18,5	1,85	37,7	1,885	27,4	2,74	40,5	2,025
	2,01	18,4	1,84	37,6	1,88	27,7	2,77	40,3	2,015
	2,01	18,7	1,87	37,7	1,885	27,7	2,77	40,4	2,02
	2,00
	2,01
	2,00
	2,01

2r_śr = 2,008 ± 0,006mm

T₁ = 1,868 ± 0,015 s

T₂ = 2,773 ± 0,021 s

T₂' = 2,018 ± 0,005 s.

Dla pomiaru z obręczą

G = 76,48 ± 2,96 GPa

Dla pomiaru z obciążnikami

G = 72,70 ± 10,20 GPa

Wartość tablicowa

G = 78 - 81 GPa

MIEDŹ

l = 543 ± 1 mm

Lp.	2r [mm]	t10 [s]	T10 [s]	t20 [s]	T20 [s]	t'10 [s]	T'10 [s]	t'20 [s]	T'20 [s]
	2,46	26,1	2,61	52,7	2,635	41	4,1	57,3	2,865
	2,46	26,4	2,64	52,5	2,625	41,2	4,12	56,4	2,82
	2,46	26,3	2,63	52,6	2,63	41,3	4,13	56,5	2,825
	2,46	26,2	2,62	52,3	2,615	41,3	4,13	56,6	2,83
	2,47	26,3	2,63	52,7	2,635	41,1	4,11	56,6	2,83
	2,49	26,3	2,63	52,6	2,63	41,3	4,13	56,6	2,83
	2,48
	2,47
	2,47
	2,47

2r_śr = 2,469 ± 0,001mm

T₁ = 2,627 ± 0,008 s

T₂ = 4,120 ± 0,013 s

T₂' = 2,833 ± 0,016 s.

Dla pomiaru z obręczą

G = 13,85± 0,45 GPa

Dla pomiaru z obciążnikami

G = 16,28 ± 2,68 GPa

Wartość tablicowa

G = 38 GPa

MOSIĄDZ

l = 547 ± 1 mm

Lp.	2r [mm]	t10 [s]	T10 [s]	t20 [s]	T20 [s]	t'10 [s]	T'10 [s]	t'20 [s]	T'20 [s]
	2,45	30,1	3,01	59,7	2,985	44,5	4,45	64,1	3,205
	2,44	30,0	3,0	59,6	2,98	44,5	4,45	64,4	3,22
	2,45	29,8	2,98	59,7	2,985	44,4	4,44	64,2	3,21
	2,44	29,8	2,98	59,6	2,98	44,5	4,45	64,4	3,22
	2,43	29,7	2,97	59,6	2,98	44,2	4,42	64,2	3,21
	2,44	29,8	2,98	59,6	2,98	44,0	4,40	64,2	3,21
	2,44
	2,44
	2,43
	2,44

2r_śr = 2,469 ± 0,001mm

T₁ = 2,627 ± 0,008 s

T₂ = 4,120 ± 0,013 s

T₂' = 2,833 ± 0,016 s.

Dla pomiaru z obręczą

G = 13,69± 0,38 GPa

Dla pomiaru z obciążnikami

G = 13,66 ± 1,89 GPa

Wartość tablicowa

G = 42 GPaWnioski

O ile otrzymana wartość modułu sztywności dla stali mieści się w granicy błędu, to dla miedzi i mosiądzu otrzymaliśmy znacznie zaniżone wartości. Trudno jednoznacznie określić przyczynę ich powstania. Zaliczyć do nich można początkowe znaczne odkształcenie pręta (pręt nie był prosty), luzy w mocowaniu oraz mogło wzrosnąć w nieprzewidziany sposób tarcie w układzie pomiarowym. Zauważyć należy dużą rozbieżność w dokładności wyników dla krążka i dla ciężarków. Spowodowane jest to tym, że obręcz mierzona była z dokładnością do 0,01 mm, a odległość ciężarków z dokładnością 5 mm.

Rysunek 1

---