ZADANIE
Korzystając z równań Lagrange'a II rodzaju, dla systemu mechanicznego pokazanego na rysunku:
zbudować równania różniczkowe ruchu (r.r.r.) i określić dynamiczne parametry systemu,
obliczyć częstość, częstotliwość, okres drgań własnych nie tłumionych i stopień tłumienia w systemie mechanicznym.
rozwiązać r.r.r. i określić ruch maszyny wirnikowej o masie M,
obliczyć naprężenia dynamiczne w elementach konstrukcji k1 oraz tłumiku c1.
Dane: |
|
Obliczyć: |
Wszystkie dane na rysunku:
Sprężyna k1: d, D, G Tłumik c: dc |
|
|
Model matematyczny struktury dynamicznej systemu o jednym stopniu swobody
Do opracowania modelu matematycznego wykorzystano równania Lagrange'a II rodzaju:
(1)
gdzie:
- współrzędne uogólnione,
- prędkości uogólnione,
Qj - siły czynne zewnętrzne,
QjP - siły pochodzenia potencjalnego,
QjR - siły niepotencjalne od mocy dyssypacji,
E - energia kinetyczna układu.
Ustalenie liczby stopni swobody i obranie współrzędnych uogólnionych
Z układu fizycznego wynika, że do opisu jednoznacznego ruchu systemu potrzebna jest tylko jedna współrzędna. System posiada zatem jeden stopień swobody.
s = 1; czyli j = 1
q1 = x1(t) - położenie masy M, (2)
Dla jednego stopnia swobody równania Lagrange'a II rodzaju przyjmują postać:
j=1
, (3)
Obliczenie energii kinetycznej układu jako funkcji współrzędnej i prędkości uogólnionej:
(4)
Obliczenie pochodnej cząstkowej energii kinetycznej po prędkości:
j = 1
, (5)
Obliczenie pochodnej po czasie z pochodnej energii kinetycznej po prędkości:
j = 1
, (6)
Obliczenie pochodnej energii kinetycznej po przemieszczeniu:
. (7)
Obliczenie siły czynnej, zewnętrznej:
j = 1
(8)
Obliczenie sił potencjalnych pochodzących od energii potencjalnej:
, (9)
, (10)
j = 1
, (11)
Obliczenie sił pochodzących od mocy dyssypacji:
, (12)
, (13)
j = 1
, (14)
Obliczone człony równań Lagrange'a II rodzaju podstawione do równania (3) dają postać:
(15)
Po przekształceniu według malejących pochodnych po czasie otrzymano:
(16)
Jest to równanie sił. Wymiar każdego wyrazu - [N].
Parametry dynamiczne systemu:
1) masa zastępcza:
(17)
2) współczynnik tłumienia zastępczego:
(18)
3) współczynnik zastępczy sprężystości:
(19)
4) siła zastępcza:
(20)
W celu przystosowania powyższych równań do wprowadzenia do programu MATLAB / simulink dokonano poniżej przedstawione przekształcenie:
Po podzielaniu przez masę zastępczą i pozostawieniu przyspieszenia po lewej stronie otrzymano:
(21)
Iloczyny stałych we wzorach zastąpiono oznaczeniami:
, (22)
, (23)
gdzie: cz - tłumienie zastępcze,
kz - sztywność zastępcza,
mz - masa zastępcza,
Równanie w otrzymanej postaci nadaje się do wprowadzenia do programu symulacyjnego.
ROZWIAZANIE TEORETYCZNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO RUCHU
Rozwiązanie równania różniczkowego ruchu:
gdzie:
amplituda drgań wynosi:
MARIAN W. DOBRY
PROCEDURA BUDOWY RÓŻNICZKOWYCH RÓWNAŃ RUCHU SYEMU MECHANICZNEGO Z WYKORZYSTANIEM RÓWNAŃ LAGRANGE'A II RODZJU
1