PROCEDURA LAGRANGE--'A - PRZYKŁAD, Mechanika, Konstrukcja maszyn


ZADANIE

Korzystając z równań Lagrange'a II rodzaju, dla systemu mechanicznego pokazanego na rysunku:

  1. zbudować równania różniczkowe ruchu (r.r.r.) i określić dynamiczne parametry systemu,

  2. obliczyć częstość, częstotliwość, okres drgań własnych nie tłumionych i stopień tłumienia w systemie mechanicznym.

  3. rozwiązać r.r.r. i określić ruch maszyny wirnikowej o masie M,

  4. obliczyć naprężenia dynamiczne w elementach konstrukcji k1 oraz tłumiku c1.

0x08 graphic

Dane:

Obliczyć:

Wszystkie dane na rysunku:

Sprężyna k1: d, D, G

Tłumik c: dc

  1. r.r.r., mz, cz, kz, Fz

  2. ω0=?, f0=?, T0=?, ξ=?

  3. x(t) = xM(t) = ?

  4. τs(k1)(t)=?; σg(EJ)(t)=?; σc1(t)=?;

Model matematyczny struktury dynamicznej systemu o jednym stopniu swobody

Do opracowania modelu matematycznego wykorzystano równania Lagrange'a II rodzaju:

0x01 graphic
(1)

gdzie: 0x01 graphic
- współrzędne uogólnione,

0x01 graphic
- prędkości uogólnione,

Qj - siły czynne zewnętrzne,

QjP - siły pochodzenia potencjalnego,

QjR - siły niepotencjalne od mocy dyssypacji,

E - energia kinetyczna układu.

  1. Ustalenie liczby stopni swobody i obranie współrzędnych uogólnionych

Z układu fizycznego wynika, że do opisu jednoznacznego ruchu systemu potrzebna jest tylko jedna współrzędna. System posiada zatem jeden stopień swobody.

s = 1; czyli j = 1

q1 = x1(t) - położenie masy M, (2)

Dla jednego stopnia swobody równania Lagrange'a II rodzaju przyjmują postać:

j=1 0x01 graphic
, (3)

  1. Obliczenie energii kinetycznej układu jako funkcji współrzędnej i prędkości uogólnionej:

0x01 graphic
(4)

0x01 graphic

0x01 graphic

  1. Obliczenie pochodnej cząstkowej energii kinetycznej po prędkości: 0x01 graphic

j = 1 0x01 graphic
, (5)

  1. Obliczenie pochodnej po czasie z pochodnej energii kinetycznej po prędkości: 0x01 graphic

j = 1 0x01 graphic
, (6)

  1. Obliczenie pochodnej energii kinetycznej po przemieszczeniu: 0x01 graphic

0x01 graphic
. (7)

  1. Obliczenie siły czynnej, zewnętrznej: 0x01 graphic

j = 1

0x01 graphic
(8)

  1. Obliczenie sił potencjalnych pochodzących od energii potencjalnej: 0x01 graphic

0x01 graphic
, (9)

0x01 graphic
, (10)

j = 1 0x01 graphic
, (11)

  1. Obliczenie sił pochodzących od mocy dyssypacji: 0x01 graphic

0x01 graphic
, (12)

0x01 graphic
, (13)

j = 1 0x01 graphic
, (14)

  1. Obliczone człony równań Lagrange'a II rodzaju podstawione do równania (3) dają postać:

0x01 graphic
(15)

Po przekształceniu według malejących pochodnych po czasie otrzymano:

0x01 graphic
(16)

Jest to równanie sił. Wymiar każdego wyrazu - [N].

Parametry dynamiczne systemu:

1) masa zastępcza:

0x01 graphic
(17)

2) współczynnik tłumienia zastępczego:

0x01 graphic

(18)

3) współczynnik zastępczy sprężystości:

0x01 graphic

(19)

4) siła zastępcza:

0x01 graphic
(20)

W celu przystosowania powyższych równań do wprowadzenia do programu MATLAB / simulink dokonano poniżej przedstawione przekształcenie:

Po podzielaniu przez masę zastępczą i pozostawieniu przyspieszenia po lewej stronie otrzymano:

0x01 graphic

(21)

Iloczyny stałych we wzorach zastąpiono oznaczeniami:

0x01 graphic
, (22)

0x01 graphic
, (23)

gdzie: cz - tłumienie zastępcze,

kz - sztywność zastępcza,

mz - masa zastępcza,

Równanie w otrzymanej postaci nadaje się do wprowadzenia do programu symulacyjnego.

ROZWIAZANIE TEORETYCZNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO RUCHU

0x01 graphic

0x08 graphic

Rozwiązanie równania różniczkowego ruchu:

gdzie:

0x08 graphic

amplituda drgań wynosi:

MARIAN W. DOBRY

PROCEDURA BUDOWY RÓŻNICZKOWYCH RÓWNAŃ RUCHU SYEMU MECHANICZNEGO Z WYKORZYSTANIEM RÓWNAŃ LAGRANGE'A II RODZJU

1

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Podstawy Mechaniki i Konstrukcji Maszyn
Podstawy Mechaniki i Konstrukcji Maszyn (Projekt 3)
Podstawy Mechaniki i Konstrukcji Maszyn (Projekt 1 wersja 1)
Podstawy Mechaniki i Konstrukcji Maszyn (Projekt 1 wersja 2)
Podstawy Mechaniki i Konstrukcji Maszyn (Projekt 1)
Podstawy Mechaniki i Konstrukcji Maszyn (Projekt 1)
Podstawy Mechaniki i Konstrukcji Maszyn (Projekt 2)
Podstawy Mechaniki i Konstrukcji Maszyn (Projekt 2)
Podstawy Mechaniki i Konstrukcji Maszyn projekt3
Badanie efektywnosci pracy hamulca tasmowego1, Mechanika IV semestr, Podstawy Konstrukcji Maszyn UT
Sprawko nr. 1 Rosiak, Mechanika i budowa maszyn SK2, Materiały konstrukcyjne
MP1, różne przeróżne, 4Misiek, Podstawy konstrukcji maszyn, Mechanika Płynów
E Mazanek Przyklady obliczen z podstaw konstrukcji maszyn czesc 2
Wstęp teoretyczny rosiak 3, Mechanika i budowa maszyn SK2, Materiały konstrukcyjne

więcej podobnych podstron