ZADANIE

Korzystając z równań Lagrange'a II rodzaju, dla systemu mechanicznego pokazanego na rysunku:

1. zbudować równania różniczkowe ruchu (r.r.r.) i określić dynamiczne parametry systemu,

2. obliczyć częstość, częstotliwość, okres drgań własnych nie tłumionych i stopień tłumienia w systemie mechanicznym.

3. rozwiązać r.r.r. i określić ruch maszyny wirnikowej o masie M,

4. obliczyć naprężenia dynamiczne w elementach konstrukcji k₁ oraz tłumiku c₁.

Dane:		Obliczyć:
Wszystkie dane na rysunku: Sprężyna k1: d, D, G Tłumik c: dc		r.r.r., mz, cz, kz, Fz ω0=?, f0=?, T0=?, ξ=? x(t) = xM(t) = ? τs(k1)(t)=?; σg(EJ)(t)=?; σc1(t)=?;

Model matematyczny struktury dynamicznej systemu o jednym stopniu swobody

Do opracowania modelu matematycznego wykorzystano równania Lagrange'a II rodzaju:

(1)

gdzie:
- współrzędne uogólnione,

- prędkości uogólnione,

Q_j - siły czynne zewnętrzne,

Q_jP - siły pochodzenia potencjalnego,

Q_jR - siły niepotencjalne od mocy dyssypacji,

E - energia kinetyczna układu.

1. Ustalenie liczby stopni swobody i obranie współrzędnych uogólnionych

Z układu fizycznego wynika, że do opisu jednoznacznego ruchu systemu potrzebna jest tylko jedna współrzędna. System posiada zatem jeden stopień swobody.

s = 1; czyli j = 1

q₁ = x₁(t) - położenie masy M, (2)

Dla jednego stopnia swobody równania Lagrange'a II rodzaju przyjmują postać:

j=1
, (3)

2. Obliczenie energii kinetycznej układu jako funkcji współrzędnej i prędkości uogólnionej:

(4)

3. Obliczenie pochodnej cząstkowej energii kinetycznej po prędkości:
   

j = 1
, (5)

4. Obliczenie pochodnej po czasie z pochodnej energii kinetycznej po prędkości: 
   

j = 1
, (6)

5. Obliczenie pochodnej energii kinetycznej po przemieszczeniu:
   

. (7)

6. Obliczenie siły czynnej, zewnętrznej:
   

j = 1

(8)

7. Obliczenie sił potencjalnych pochodzących od energii potencjalnej:
   

, (9)

, (10)

j = 1
, (11)

8. Obliczenie sił pochodzących od mocy dyssypacji:
   

, (12)

, (13)

j = 1
, (14)

9. Obliczone człony równań Lagrange'a II rodzaju podstawione do równania (3) dają postać:

(15)

Po przekształceniu według malejących pochodnych po czasie otrzymano:

(16)

Jest to równanie sił. Wymiar każdego wyrazu - [N].

Parametry dynamiczne systemu:

1) masa zastępcza:

(17)

2) współczynnik tłumienia zastępczego:

(18)

3) współczynnik zastępczy sprężystości:

(19)

4) siła zastępcza:

(20)

W celu przystosowania powyższych równań do wprowadzenia do programu MATLAB / simulink dokonano poniżej przedstawione przekształcenie:

Po podzielaniu przez masę zastępczą i pozostawieniu przyspieszenia po lewej stronie otrzymano:

(21)

Iloczyny stałych we wzorach zastąpiono oznaczeniami:

, (22)

, (23)

gdzie: c_z - tłumienie zastępcze,

k_z - sztywność zastępcza,

m_z - masa zastępcza,

Równanie w otrzymanej postaci nadaje się do wprowadzenia do programu symulacyjnego.

ROZWIAZANIE TEORETYCZNE RÓWNANIA RÓŻNICZKOWEGO RUCHU

Rozwiązanie równania różniczkowego ruchu:

gdzie:

amplituda drgań wynosi:

MARIAN W. DOBRY

PROCEDURA BUDOWY RÓŻNICZKOWYCH RÓWNAŃ RUCHU SYEMU MECHANICZNEGO Z WYKORZYSTANIEM RÓWNAŃ LAGRANGE'A II RODZJU

1