Szeregi strukturalne powstają w wyniku grupowania materiału wg cechy rzeczowej.

Na podstawie xero nr 1:

Wyróżniamy tu 6 cech statystycznych:

• powierzchnia użytkowa mieszkań

• liczba izb

• liczba osób

• urządzenia sanitarne

• instalacje gazowe

• instalacje c. o.

Zbiór wartości, w którym poszczególne warianty cechy zapisane są dla każdej jednostki statystycznej odrębnie, nazywamy szeregiem szczegółowym.

Schemat szeregu prostego, szczegółowego:

Cecha statystyczna	np. powierzchnia mieszkania w m^2
Xi	Xi
x1	38 = x1
x2	56 = x2
x3	73 = x3
...	23 = x4
xn	45 = x5

x₁+x₂+x₃+x₄+...+x_n=∑x_i 235 m²

W zbiorowościach większych niektóre warianty cechy powtarzają się. Dokonujemy wówczas łączenia tych jednostek, które charakteryzują się takim samym poziomem cechy. Poszczególne warianty zapisujemy, porządkując je rosnąco lub malejąco, a następnie zliczamy jednostki charakteryzujące się danym wariantem cechy. W ten sposób tworzymy szeregi rozdzielcze o klasach pojedynczych (jednowariantowych).

Schemat szeregu rozdzielczego:

Cecha statystyczna	Liczba jednostek (obserwacji)
Xi	ni
x1	n1
x2	n2
x3	..
...	..
xn	nk

Ogółem: ∑_i n_i

W szeregu rozdzielczym następuje rozdzielenie cechy statystycznej od liczby jednostek.

Ćwiczenie a) - obliczyć liczbę mieszkań w dzielnicy A i B z odpowiednią liczbą izb.

Liczba izb w mieszkaniu	Liczba mieszkań w dzielnicy
xi	A	B
1	6	10
2	17	19
3	12	7
4	4	3
5	1	1
Ogółem:	40	40

Ćwiczenie b) - obliczyć liczbę osób przypadającą na daną liczbę mieszkań w dzielnicy A i B.

Liczba osób w mieszkaniu	Liczba osób w dzielnicy
xi	A	B
1	6	4
2	7	6
3	8	14
4	11	8
5	5	6
6	3	2
Ogółem:	40	40

Ćwiczenie c) - obliczyć liczbę mieszkań, w których zainstalowano (bądź nie zainstalowano) urządzenia sanitarne w dzielnicy A i B.

Urządzenia sanitarne	Liczba mieszkań w dzielnicy
	A	B
są (tak)	29	28
brak (nie)	11	12
Ogółem:	40	40

Ćwiczenie d) - obliczyć liczbę mieszkań, w których zainstalowano (bądź nie zainstalowano) urządzenia gazowe w dzielnicy A i B.

Urządzenia gazowe	Liczba mieszkań w dzielnicy
	A	B
są (tak)	25	29
brak (nie)	15	11
Ogółem:	40	40

Ćwiczenie e) - obliczyć liczbę mieszkań, w których zainstalowano (bądź nie zainstalowano) c.o. w dzielnicy A i B.

Urządzenia c.o.	Liczba mieszkań w dzielnicy
	A	B
są (tak)	14	16
brak (nie)	26	24
Ogółem:	40	40

W zbiorowościach o dużej liczbie zróżnicowanych wariantów cechy, łączymy te jednostki które charakteryzują się zbliżonym wariantem cechy. Tworzymy w ten sposób szeregi rozdzielcze o przedziałach klasowych (wielowariantowych).

Ćwiczenie f) - tworzymy przedziały klasowe

Grupując wg cechy mierzalnej ciągłej możemy tak tworzyć przedziały aby górna granica przedziału poprzedniego była równa dolnej granicy przedziału następnego. Przed przystąpieniem do grupowania tworzymy przedziały robocze wg jednego ze sposobów.

• wg pierwszego schematu:

Wiek
5 - 10	10 - dolna granica przedziału
10 - 15	15 - górna granica przedziału
15 - 30	15 - 10 = 5 - rozpiętość przedziału
30 - 50

• wg drugiego schematu

Wiek

5 - 9,9

10 - 14,9

15 - 29,9

30 - 49,9

• wg trzeciego schematu

Wiek

5 - 10

10,1 - 15

15,1 - 30

30,1 - 50

Grupując wg cechy mierzalnej skokowej musimy przyjąć różne granice przedziałów.

Wiek
do 10	Przedziały otwarte to przedziały nie posiadające jednej z granic. Mogą one
10 - 15	wystąpić tylko na początku i końcu szeregu.
15 - 30
30 i więcej

Ćwiczenie g) - tworzymy przedziały klasowe dla powierzchni mieszkań w dzielnicy A i B.

Powierzchnia mieszkania	Liczba mieszkań w dzielnicy
	A	B
do 30	5	5
30 - 40	10	10
40 - 50	11	13
50 - 60	6	7
60 - 80	4	2
80 i więcej	4	3
Ogółem:	40	40

Ćwiczenie g) - obliczanie miar

Średnia liczba izb:

__ ∑i xi

X = = 96/40 = 2,4 = 2

n

Zadanie1

Oprocentowanie kredytów preferencyjnych w wybranych bankach, w dwóch kolejnych latach kształtowało się następująco.

Oprocentowanie kredytów (w %)
1995	1996
xi	xi
7	101
8	10
11	8
9	7
9	12
8	12
10	12
12	13
7	12
13	14
--	9
94	119

Porównać przeciętne oprocentowanie kredytów, posługując się poznanymi miarami średnimi.

Rozwiązanie:

Są to szeregi szczegółowe (proste), ponieważ nie występują tu liczby jednostek.

__ ∑i xi

x =

n

_ _

x₁₉₉₅ = 94/10 = 9,4 % gdzie 7% < x < 14% (patrz na wartości max i min w tabeli)

_ _

x₁₉₉₆ = 119/11 = 10,8 % gdzie 7% < x < 14%

Wyznaczanie mediany:

Najpierw szeregujemy wartości cechy rosnąco lub malejąco.

Oprocentowanie kredytów (w %)
1995	1996
xi	xi
7	7
7	8
8	9
8	10
9	10
9	12
10	12
11	12
12	12
13	13
--	14

n

NM I 1995 = = 10/2 = 5 to piątka liczba z tabeli, czyli 9

2

n


N_{M II 1995} = + 1 = 10/2 + 1 = 6 to szósta liczba z tabeli, czyli 9

2

M₁₉₉₅ = (9+9)/2 = 9% to jest średnie oprocentowanie

n + 1

NM1996 = = (11 +1)/2 = 6 to szósta liczba z tabeli, czyli 12

2

N₁₉₉₆ = 12% to średnie oprocentowanie

W szeregu 1995 nie występuje dominanta (wartość, która pojawia się najczęściej).

W szeregu 1996 dominanta wynosi:

D₁₉₉₆ = 12% (12% występuje najczęściej)

Zadanie 2

Wśród słuchaczy studium podyplomowego przeprowadzono badanie liczby papierosów wypalanych dziennie przez kobiety i mężczyzn.

Kobiety wypalały średnio 10 sztuk dziennie, połowa spośród nich wypalała nie więcej niż 11 sztuk, a dominująca grupa 12 sztuk dziennie.

Struktura mężczyzn wg liczby wypalanych papierosów przedstawia poniższy szereg.

Liczba wypalanych papierosów	Liczba słuchaczy
xi	ni
0	10
5	20
10	40
15	60
20	40
25	20
30	10

Porównać możliwie przestronnie struktury obu zbiorowości z punktu widzenia liczby wypalanych papierosów, wiedząc dodatkowo, że zróżnicowanie zbiorowości kobiet obliczone na podstawie odchylenia standardowego, stanowiło 25% średniej.

Rozwiązanie:

Jest to szereg rozdzielczy.

Wypisujemy miary, które zostały podane w zadaniu.

Parametry	Zbiorowość
_	Kobiet	Mężczyzn
x	10 szt.	15 szt.
D	12 szt.	15 szt.
M	11 szt.	15 szt.
Vδ	25 %	48 %
δx	2,5 szt.	7,2 szt.
WAS	- 0,8	0

δx

Vx= * 100 V - współczynnik zmienności

x stosunek odchylenie standardowego do średniej arytmetycznej

2,5 7,2

Vx= * 100 = 25 % (kobiety) , Vx= * 100 = 48 % (mężczyźni)

10 15








∑i ( xi - x )^2ni

δx= wariancja w szeregach rozdzielczych o klasach

∑_i n _i pojedynczych

xi - x	(xi - x) ^2	(xi - x) ^2ni
-15	225	2250
-10	100	2000
-5	25	1000
0	0	0
5	25	1000
10	100	2000
15	225	2250
--------	---------	10500






10500

δx = = 7,24 szt. (mężczyźni)

200

(15 ± 7,2) - typowy obszar zmienności cechy (średnia i odchylenie)

x - D

WAS= (współczynnik asymetrii)

δ_x

10 - 12 15 - 15

WAS= = - 0,8 (kobiety) , WAS = = 0 (mężczyźni)

2,5 7,2

Wnioski:

Mężczyźni wypalali zdecydowanie więcej papierosów dziennie o czym świadczą wszystkie średnie. Jednocześnie zbiorowość mężczyzn jest bardziej silnie zróżnicowana pod względem liczby wypalanych papierosów. Rozkład liczby wypalanych papierosów w zbiorowości kobiet jest asymetryczny. Stopień asymetrii jest wysoki = 0,8, a szereg jest lewostronnie skośny (asymetria ujemna). Natomiast w zbiorowości mężczyzn rozkład liczby wypalanych papierosów jest symetryczny.

Zadanie 3

W hurtowni znajdują się konserwy mięsne produkowane przez dwóch producentów A i B. Średnia waga puszki od producenta A = 1 kg przy odchyleniu standardowym 0,12 kg. Rozkład wagi puszek jest symetryczny. Struktura puszek ze względu na wagę od producenta B podano w szeregu.

Waga puszki	Odsetek puszek
xi	ni
0,7	10
0,8	10
0,9	20
1	30
1,1	15
1,2	10
1,3	5
Ogółem:	100

Właściciel sklepu chce zakupić partię towarów, którego producenta należy polecić, aby liczba reklamacji związanych ze zbyt dużym odchyleniem ciężaru puszek była mniejsza. Obliczyć udział puszek od producenta B, których waga przekroczyła 1 kg.

Rozwiązanie:

xi ni	nisk	xi^2
7	10	4,9
8	20	6,4
18	40	16,2
30	70	30,0
16,5	85	18,15
12	95	14,40
6,5	100	8,45
98,0	---------	98,50

Parametry	Hurtownie
_	A	B
x	1kg	0,98 kg
D	1kg	1kg
M	1kg	1kg
Vx	12 %	14,28 %
δx	0,12 kg	0,14 kg

30 puszek posiada wagę 1 kg, więc to jest dominanta.

∑i xi^2 ni

δx^2= - x ^2 wariancja w szeregach rozdzielczych o klasach

∑_i n_i pojedynczych

98,0

δx^2= - (0,98)^2 = 0,14 kg

100

0,12 0,14

VA= * 100 = 12 % ; VA = * 100 = 14,28 %

• 0,98

Udział puszek, których waga przekracza 1 kg.

ni 15 + 10 + 5

W struktury = = 30 %

Wnioski:

Polecamy hurtownię A, ponieważ średnia waga puszek wynosi 1kg, a V_x = 12 %.

Z analizy danych wynika, że należy polecić producenta A, ponieważ średnia waga puszki jest tutaj wyższa a odchylenie od wagi (zróżnicowanie wagi) mniejsze. Można więc oczekiwać mniejszej liczby reklamacji.

Zadanie 4

Przeprowadzono badania z użycia energii elektrycznej przez rodziny w Łodzi i Warszawie. Okazało się, że średnie zużycie wśród rodzin łódzkich wynosiło 55 kwh, przy odchyleniu standardowym 11kwh. Połowa rodzin zużywał niemniej niż 53 kwh, a dominująca grupa 50 kwh. Zużycie energii elektrycznej wśród rodzin w Warszawie było następujące:

Zużycie energii w kwh	Liczba rodzin
xi	ni
35 - 45	60
45 - 55	100
55 - 65	150
65 - 75	110
75 - 85	80
--------	500

Przeprowadzić możliwie wszechstronną analizę struktury rodzin wg poziomu zużycia energii elektrycznej w obu zbiorowościach.

Rozwiązanie:

Jest to szereg rozdzielczy o przedziałach klasowych.

Obliczamy środki przedziałów.

xi	xi ni
40	2400
50	5000
60	9000
70	7700
80	6400
--------	30500

(35 + 45)/2 = 40

(45 + 55)/2 = 50 itd.

Obliczamy średnią arytmetyczną.




__ ∑i xi ni

X = = 20500/50 = 61 kwh

∑_i n_i

Parametry	Łódź	Warszawa
x	55 kwh	61 kwh
D	50 kwh	60,6 kwh
M	53 kwh	61 kwh
Vx	20 %	20 %
δx	11 kwh	12,6 kwh
Was	0,45	0,03

Wyznaczamy medianę:

500/2 = 250

55 ≤ M ≤ 65




Wyznaczamy skumulowany szereg zbiorowości.

nisk	xi - x	(xi - x)^2	(xi - x)^2ni
60	40 - 61 = -21	441	28460
160	50 - 61 = -11	121	12100
320	-1	1	150
420	9	81	9810
500	19	361	28880

65 - 55 = 10 to rozpiętość przedziału mediany

ho

M = x 0 + (NM - n isk - 1) = 55 + 10/150(250 - 160) = 61 kwh

n_o

55 ≤ D ≤ 65

D = 55 + [(150 - 100) - 10]/(150 - 100) + (150 - 110) = 66,6 kwh

∑i ( xi - x )^2ni

δx^2= = sqrt (157) = 12,6

∑_i n _i

V_Ł = 11/55 * 100 = 20 %

V_W = 12,6/61 * 100 = 20%

W_as = (55 - 50)/11 = 0,45%

W_as = (61 - 60,6) = 0,03 %

Wnioski:

Zużycie energii elektrycznej jest zdecydowanie wyższe w rodzinach warszawskich na co wskazują wszystkie obliczone średnie. Poziom zróżnicowania w oby zbiorowościach jest jednakowy. Rozkład cechy wykazuje znaczny stopień asymetrii dla rodzin łódzkich. Dla zbiorowości rodzin warszawskich szereg jest niemal symetryczny. kierunek asymetrii dla obu zbiorowości jest dodatni (prawostronny).

Zadania

10

www.wkuwanko.pl

---