SYMETRIA OSIOWA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH

Twierdzenie: Jeżeli punkt A`=(x`, y`) jest obrazem punktu A=(x, y):

a) względem osi odciętych (x), to x` = x (pierwsza współrzędna punktu pozostaje bez zmian), y` = -y (druga współrzędna punktu zmienia się na przeciwną)

b) względem osi rzędnych (y), to x` = -x (pierwsza współrzędna punktu zmienia się na przeciwną), y` = y (druga współrzędna pozostaje bez zmian).

H = (-2, 1), L = (2, 1) to punkty symetryczne względem osi y, gdyż pierwsze współrzędne mają przeciwne, a drugie jednakowe.

H = (-2, 1), K = ( -2, -1) to punkty symetryczne względem osi x, gdyż pierwsze współrzędne są takie same, a drugie przeciwne.

Symetria względem dowolnej prostej

Jeżeli prosta k jest równoległa do jednej z osi układu współrzędnych, to dla dowolnego punktu A bardzo łatwo ustalić współrzędne punktu do niego symetrycznego względem prostej k.

Zadanie 1.

Znajdź obraz punktu A=(8,-5) w symetrii względem prostej y = -4.

Rozwiązanie:

Prosta y = -4 jest równoległa do osi x. Obraz punktu A w symetrii względem tej prostej musi być położony w takiej samej odległości od prostej jak punkt a, lecz po drugiej stronie.

A' = (x', y') -obraz punktu A w symetrii względem prostej y = -4, więc pierwsza współrzędna jest taka sama jak punktu A. Zatem x' = 8. Odległość punktu A od prostej y = -4 wynosi 1. Zatem punkt A' też musi być położony w takiej samej odległości, więc y' = -4 + 1 . Stąd y' = -3.

Obrazem punktu A= (8, -5) w symetrii względem prostej y = -4 jest punkt A' = (8,-3).

Ćwiczenie 1

Rozwiąż zadanie 1, 2, 3 str. 134 z podręcznika.

SYMETRIA ŚRODKOWA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH

Twierdzenie: Jeżeli punkt A` = (x`, y`) jest symetryczny do punktu A = (x, y), względem początku układu współrzędnych, tzn. punktu (0, 0), to x` = -x i y` = -y (obie współrzędne punktu zmieniają się na przeciwne).

Punkty G = (-2, 3) i H = (2, -3) są symetryczne względem początku układu współrzędnych, ponieważ mają przeciwne współrzędne.

Przykład:

Trójkąty EFG i HKL oraz trójkąty PQR i OMN są symetryczne względem osi rzędnych.

Trójkąty EFG i PQR oraz trójkąty HKL i OMN są symetryczne względem osi odciętych.

Trójkąty EFG i OMN oraz trójkąty HKL i PQR są symetryczne względem początku układu współrzędnych.

Dwa punkty są symetryczne do siebie względem punktu S, jeżeli punkt S jest środkiem odcinka, którego końcami są te punkty. Do znajdowania obrazów punktów w symetrii środkowej możemy wykorzystać własność , która mówi, że współrzędne środka odcinka są średnimi arytmetycznymi odpowiednich współrzędnych jego końców.

A=(x₁,y₁) S=(x_s, y_s) B=(x_2, y₂)

x_s =
y_s =

Zadanie 2

Znajdź współrzędne punktu, który jest obrazem punktu A = (-10,2) w symetrii o środku S = (1,0).

Rozwiązanie

A = (-10,2) S = (1,0) S_S(A) = A'

A' = (x, y)

Ponieważ punkt S jest środkiem odcinka AA', więc otrzymujemy następujące równania po podstawieniu do powyższych wzorów

1=
0 =

Po przekształceniach otrzymujemy

x₂ = 2+10 y₂ =-2

x₂ = 12 y₂ =-2

Zatem obrazem punktu a jest punkt o współrzędnych A' = (12, -2).

Zadanie 3

Znajdź środek symetrii, w której punkt A' = (-4, -3) jest obrazem punktu A= (-2,5).

Rozwiązanie

Podstawiając współrzędne punktów A i A' będących końcami odcinka AA', otrzymuję

x_s =
y_s =

x_s =
y_s =

x_s = -3 y_s = 1

Zatem środek symetrii ma współrzędne S = (-3, 1).

Ćwiczenie 2

Rozwiąż zadanie 5,6 str. 134 z podręcznika.

TRANSLACJA W UKŁADZIE WSPÓŁRZĘDNYCH

Twierdzenie: Jeżeli punkt A` = (x`, y`) jest obrazem punktu A = (x, y) w translacji o wektor u = (a, b), to:

x` = x + a
y` = y + b

Punkt B = (1, 2) jest obrazem punktu A = (-3, -1) w translacji o wektor a = [4, 3], ponieważ: 1 = -3 + 4,

natomiast 2 = -1 + 3.

Przykład:

Czworokąt RSTU jest obrazem czworokąta MNOP w translacji o wektor a

Każdy wektor w układzie współrzędnych opisujemy za pomocą dwóch liczb zwanych współrzędnymi wektora. Znając współrzędne punktów będących początkiem i końcem wektora możemy znaleźć jego współrzędne będące różnicami odciętych i rzędnych końca i początku wektora, tzn.

Jeżeli punkty A=(x₁,y₁) i B=(x₂,y₂) są odpowiednio początkiem i końcem wektora
, to współrzędne tego wektora wyznaczamy korzystając z następującej reguły

Współrzędne wektora informują, jak poruszając się równolegle do osi układu współrzędnych, można przesunąć dowolną figurę o ten wektor. Pierwsza współrzędna opisuje przesunięcie wzdłuż osi x, a druga - wzdłuż osi y.

x

B

-y

y AB = [x, y]

A x

Mając dane współrzędne wektora możemy wyznaczyć również jego długość, korzystając z zależności wynikającej z tw. Pitagorasa

Jeżeli A=(x₁,y₁) i B=(x₂,y₂), to
.

Jeżeli
, to

Długość wektora jest równa odległości między jego początkiem a końcem.

---