Charakterystyki częstotliwościowe

Rozpatrzmy układ liniowy stacjonarny pobudzany wymuszeniem sinusoidalnym u(t)=Usin t. Składowa wymuszona tego układu y(t) jest również wielkością sinusoidalnie zmienną (rys 7.1).

Rysunek 7.1 Reprezentacja obiektu przez transmitancję widmową

Definicja [7]: Transmitancją widmową T(j) liniowego układu stacjonarnego nazywać będziemy wielkość określoną jako stosunek wartości zespolonej składowej wymuszonej odpowiedzi Y(j) wywołanej wymuszeniem sinusoidalnym do wartości tego wymuszenia U(j):

Transmitancja widmowa T(j) z transmitancją operatorową układu ciągłego jest związana zależnością

T(j) = T(s)|_s=j         (7.1)

co wynika bezpośrednio z definicji transmitancji operatorowej oraz transmitancji widmowej.

Wartość funkcji T(j ) jest wielkością zespoloną zależną od parametrów układu oraz od pulsacji wymuszenia :

T(j )=P( )+jQ( ).         (7.2)

Przy czym

P( ) := Re T(j ), Q( ) := Im T(j ),

gdzie:

P( ) - charakterystyka rzeczywista,

Q( ) - charakterystyka urojona,

A( ) - moduł transmitancji widmowej - charakterystyka amplitudowa,

 ( ) - argument transmitancji widmowej - charakterystyka fazowa.

Charakterystykami częstotliwościowymi nazywamy krzywe przedstawiające transmitancję widmową T(j ) w funkcji pulsacji [7 rozdz. 3.1.5].

Między charakterystykami zachodzą związki jak między liczbami zespolonymi, a więc:

Oraz można wykazać, że część rzeczywista P( ) transmitancji widmowej T(j ) jest funkcją parzystą  , a część urojona Q( ) - funkcją nieparzystą tej pulsacji  :

P(- ) = P( ), Q(- ) = -Q( ).

Najczęściej spotykane rodzaje charakterystyk to:

• charakterystyka amplitudowo-fazowa (charakterystyka Nyquista),

• logarytmiczne; charakterystyka częstotliwościowa amplitudowa oraz charakterystyka częstotliwościowa fazowa zwane charakterystykami Bodego.

7.1 Charakterystyki Nyquista

Charakterystyka Nyquista jest wykresem transmitancji widmowej T(j)=P()+jQ() we współrzędnych zespolonych (P,Q).

Przykład:

Weźmy transmitancję obiektu z rozdziału drugiego
Transmitancja widmowa tego układu zgodnie z zależnością (7.1) wynosi
W celu wyrysowania charakterystyki Nyquista użyjemy funkcji nyquist Matlaba. Po wykonaniu poleceń:

s=tf('s');

H=3/(1+2*s); niech RC = 2, K=3

nyquist(H);

otrzymamy (rys 7.2):

Rysunek 7.2 Charakterystyka amplitudowo-fazowa G(jw)

Wykonując polecenie [P,Q]=nyquist(H,{0.001,70}); uzyskamy funkcje P( ) oraz Q( ). Parametry w nawiasach oznaczają zakres pulsacji w rad/sek.

W praktyce interesuje nas jedynie część wykresu charakterystyki dla pulsacji dodatnich. Strzałka na charakterystyce (7.2) określa wzrost pulsacji  . Z wykresu można odczytać maksimum charakterystyki amplitudowej A()=K dla pulsacji  =0 (równanie 7.3, P( )=K, Q( )=0 ) oraz pulsację  ₁ przy której
. Dla  _T odczytujemy że  = - 45 . Przy  dążącej do nieskończoności amplituda zmierza do zera a faza do -90 . Z wykresu Nyquista możemy odczytać, że  =0 gdy punkt charakterystyki leży na dodatniej półosi rzeczywistej ( P( )>0 ,Q( )=0),  = - 90 dla ( P( )=0 ,Q( )<0) itd. Amplitudę odczytujemy jako odległość danego punktu charakterystyki od środka układu współrzędnych. Charakterystyki typowych, prostych transmitancji można znaleźć w [7 str.82-85].

7.2 Charakterystyki Bodego

Charakterystyki Bodego są charakterystykami logarytmicznymi. Tą nazwą obejmujemy dwie charakterystyki [1 rozdz.7.3.2]:

Logarytmiczna charakterystyka modułu - krzywa we współrzędnych prostokątnych, gdzie na osi odciętych odkładamy pulsację w skali logarytmicznej, a na osi rzędnych moduł M( ) transmitancji widmowej G(j ) wyrażony w decybelach odkładamy na skali liniowej

M( )|_[dB] = 20 log ( |G(j )| ) = 20 log A( )

Logarytmiczna charakterystyka fazy - krzywa we współrzędnych prostokątnych, gdzie na osi odciętych odkładamy również pulsację w skali logarytmicznej, a na osi rzędnych faza  ( ) w skali liniowej wyrażoną w stopniach

 ( ) = arg [G(j )].

Charakterystyki te łącznie w pełni opisują liniowy układ dynamiczny. Charakterystyki Bodego mają tę zaletę, iż można je łatwo przedstawić za pomocą asymptot. Taka przybliżona charakterystyka zwana charakterystyką asymptotyczną jest linią łamaną składającą się z odcinków asymptot charakterystyki rzeczywistej. Prostota polega na tym, że w transmitancjach widmowych występuje kilka typowych wyrażeń o charakterystycznym rozłożeniu zer i biegunów i można do nich stosować kilka prostych reguł.

Przykład1:

Niech za przykład posłuży nam transmitancja z poprzedniego rozdziału. Wykres Bodego uzyskamy wydając następujące polecenia:

s=tf('s');

H=3/(1+2*s); niech T=RC = 2, K=3

bode(G);

Nasza transmitancja ma postać
. W ogólnym przypadku najczęściej możemy zapisać transmitancję w postaci:

,

co w naszym konkretnym przypadku mamy
.

Rysunek 7.3 Wykres Bodego z przykładem charakterystyki asymptotycznej

Aproksymację zaczynamy dla pulsacji  → 0.

Dla charakterystyki amplitudowej zasady są następujące:

• dla czynnika niezależnego od częstotliwości (wzmocnienie) asymptota jest płaska i ma wartość 20log(L), L=3 stąd amplituda A( )| ₌₀=20log(3) = 9.54dB.

• dla bieguna w punkcie  _T = 1/T ( 1/2 = 0.5[rad/sek]) asymptotą jest prosta o nachyleniu -20dB/dek zaczynająca się w tym punkcie jak pokazano na (rys 8.3).

• dla zera postępujemy odwrotnie niż dla bieguna (w badanym przykładzie brak jest skończonych zer) mianowicie dla  ₁ = 1/T₁ (zero w punkcie  ₁) asymptotą jest prosta lecz o nachyleniu +20dB/dek.

Dla charakterystyki częstotliwościowej fazowej zasady są następujące:

• czynnik niezależny (wzmocnienie) nie wpływa na charakterystykę fazową,

• w punkcie występowania bieguna odejmujemy od bieżącej fazy 90 i szkicujemy krzywą przechodzącą przez środek (jak pokazuje wzór (8.4) jest to funkcja arcustangensa),

• w punkcie występowania zera natomiast dodajemy 90 .

Przykład2:

Wyznaczmy aproksymowaną charakterystykę modułu oraz fazy dla transmitancji

.

W pierwszej kolejności znajdujemy miejsca w których występują osobliwości:

• zero -  =1/0.1=10 [rad/sek]

• bieguny -  =1/0.01=100[rad/sek] oraz podwójny biegun  =1/0.001=1000[rad/sek]

• dla charakterystyki modułu zaczynamy od wzmocnienia rysując prostą na poziomie 20log(10)=20dB.

• w dalszym kroku postępując zgodnie z regułami (od częstotliwości najmniejszych) rysujemy asymptotę +20dB/dek dla zera, rozpoczynającą się w  =10[rad/sek].

• przy pulsacji  =100[rad/sek] występuje biegun zmieniający nachylenie charakterystyki o –20dB/dek. Ponieważ wcześniej charakterystyka wznosiła się o +20dB/dek otrzymamy wynikowe nachylenie 0dB/dek.

• następną częstotliwością przy której występuje osobliwość jest  =1000[rad/sek]. Znajduje się tu podwójny biegun. Otrzymujemy zmianę nachylenia charakterystyki od każdego bieguna po –20dB/dek. W związku z tym, iż w poprzednim punkcie charakterystyka była płaska (0dB/dek) rysujemy od tego punktu asymptotę o nachyleniu –40dB/dek (w przypadku fazy w tym punkcie wyniesie ona -180 ). Aby wygenerować charakterystykę amplitudową w Matlabie wykonujemy poniższe polecenia:

s=tf('s');

G=10*(0.1*s+1)/((0.01*s+1)*(0.001*s+1)^2);

bodemag(G);

Rysunek 7.4 Porównanie wykresu modułu transmitancji G(s) wykonanego techniką aproksymacji asymptotami z wykresem rzeczywistym

Sposób aproksymacji charakterystyki fazowej pokazano na rys. 8.5

Rysunek 7.5 Porównanie wykresu fazy transmitancji G(s) wykonanego techniką aproksymacji asymptotami z wykresem rzeczywistym

7.3 Zapas modułu i zapas fazy

Określanie stabilności układu regulacji automatycznej przy zastosowaniu częstotliwościowej metody analizy opiera się na kryterium Nyquista. Dotyczy ono badania stabilności układu zamkniętego G_z(s) na podstawie charakterystyk częstotliwościowych układu otwartego G(s). Formalne wyprowadzenie tego kryterium [2] opiera się na teorii funkcji zmiennej zespolonej.

    Stabilność względna systemu jest określona przez parametry takie jak zapas wzmocnienia i zapas fazy, które pozwalają na określenie "jak daleko" system znajduje się od granicy stabilności wyznaczonej przez punkt (-1, j0) (kryterium Nyquista). Parametry te łatwo wyznaczyć metodą graficzną na podstawie wykresów Bodego lub Nyquista układu otwartego.

Parametry te są jednoznacznie zdefiniowane jedynie dla przypadku gdy układ otwarty jest stabilny.

Zapas wzmocnienia (gain margin) - wartość Gm=1/G gdzie G jest wzmocnieniem przy pulsacji _cg , dla której faza osiąga -180 (faza wyrażona w stopniach). Zapas wzmocnienia w dB jest wyrażony zależnością Gm_dB = 20*log10(Gm). Jego wartość oznacza o ile dB można zwiększyć lub zmniejszyć wzmocnienie zanim stracimy stabilność.

Zapas fazy (phase margin) - jest to wartość fazy dla pulsacji  _cp , przy której wzmocnienie wynosi 1 (0dB). Oznacza o ile stopni można zmniejszyć przesunięcie fazowe zanim utracimy stabilność.

    Na rysunku 8.6 znajduje się wykres przykładowej transmitancji układu otwartego. Została ona wygenerowana poleceniem rmodel Matlaba. Dodatnie zapasy modułu i fazy oznaczają, że układ po zamknięciu pętli sprzężenia będzie stabilny. Im większe wartości tych parametrów tym lepiej, jakkolwiek w praktyce zakłada się pewne wystarczające ich wartości. Przyjmuje się ponadto, że poprawnie zaprojektowany układ powinien posiadać zapas modułu około 8-12dB oraz fazy około 40-60[1].

Aby uzyskać charakterystykę Bodego układu otwartego G(s) z zaznaczonym zapasem modułu (wzmocnienia) i fazy należy posłużyć się funkcją margin:

margin(G); %rysuje charakterystykę

[Gm,Gp,wcg,wcp]=margin(G) ; %tylko zwraca wartości

Aby odczytać zapas wzmocnienia odczytujemy z charakterystyki fazowej pulsację  _cg. Na poniższym wykresie jest to  _cg=1.9[rad/sek]. Dla niej na charakterystyce amplitudowej odczytujemy wzmocnienie. Wynosi ono -11.6 dB. Oznacza to, że po zamknięciu pętli sprzężenia możemy zwiększyć wzmocnienie (patrz wzór 1) o 11.6 dB zanim układ zamknięty utraci stabilność. Ta wartość jest zapasem wzmocnienia ( _g lub Gm).

Rysunek 7.6 Charakterystyka Bodego układu otwartego wygenerowana funkcją "margin"

Aby odczytać zapas fazy odczytujemy na charakterystyce wzmocnienia pulsację  _cp. W rozpatrywanym przykładzie jest to  _cp=0.24[rad/sek]. Dla niej odszukujemy na charakterystyce fazowej wartość fazy. Wartość ta wynosi -48 . Odległość do -180 jest zapasem fazy tzn. ( _p lub Pm)..

Parametry zapasu wzmocnienia i fazy mogą być traktowane jako wytyczne podczas projektowania. Podczas projektowania układu regulacji automatycznej ocenia się zarówno wskaźniki jakości w dziedzinie czasu jak i zapas stabilności.

---