Ćwiczenia nr 3/ zastosowanie ciągów/

1)Pensja pracownika w pewnym roku zatrudnienia wynosi 1000zł, przy czym po każdym roku zatrudnienia ma wzrosnąć o 40zł. Kiedy pensja przekroczy 1400zł?

2)Ile będzie wynosiła łączna pensja pracownika z poprzedniego przykładu za n = 11 lat (zakładamy, że na początku każdego roku wzrasta o 40 zł)?

3)W pewnym zakładzie obroty w 2002r wynosiły 200 000zł i rocznie wzrastają o 
. Jakie będą obroty w 2011 roku?

4)Jaką kwotę należy złożyć w banku, by po 10 latach mieć kwotę 6000 zł (oprocentowanie proste na r=10% rocznie).

5)Dokonujemy zakupu towaru w fabryce za 200 000 zł. Firma proponuje nam następujący system sprzedaży: przy płatności natychmiast otrzymujemy 3% rabatu, w przeciwnym wypadku termin płatności wynosi 2 miesiące.

Będę dysponował gotówką za 2 miesiące, więc rozważam wzięcie kredytu komercyjnego oprocentowanego 1% miesięcznie. Czy warto?

6)Chcemy dokonać lokaty kapitału. Mamy możliwość wyboru jednego z dwóch banków A oraz B. Ich oferta jest następująca:

Bank A - kapitalizacja z dołu, r = 11%, Bank B - kapitalizacja z góry, r = 10%. Który Bank wybrać?

7)W pewnym banku ROR-y były oprocentowane 8% przy miesięcznej kapitalizacji odsetek, następnie obniżono oprocentowanie na 3%, a kapitalizację zmieniono na roczną. O ile pogorszono warunki?

8) W banku A i B z takiego samego kapitału uzyskano po 2,5 latach taką samą wartość. W banku A kapitalizacja była półroczna z nominalną stopą procentową 12%. W banku B kapitalizacja była ciągła. Wyznacz nominalną stopę procentową dla banku B. Który bank w perspektywie 3 lat oferuje korzystniejsze warunki?

9) Na jaki procent należy złożyć kapitał, aby przy ciągłej kapitalizacji odsetek potroił on swoją wartość po 10 latach

10) Jaki był kapitał początkowy, jeżeli po 4 latach przy nominalnej stopie procentowej 9% i kwartalnej kapitalizacji odsetek z góry wzrósł on do kwoty 15.000 zł.

11) Jaki był kapitał początkowy, jeżeli po 3 latach przy nominalnej stopie procentowej 9% i ciągłej kapitalizacji odsetek wzrósł on do kwoty 10.000 zł?

• I Kapitalizacja odsetek

Oznaczenia, jakie stosujemy:

-kapitał początkowy

stopa procentowa

-okres kapitalizacji odsetek

1)Kapitalizacja prosta

2)Kapitalizacja złożona z góry

3)Kapitalizacja złożona z dołu

4) Kapitalizacja ciągła

Jeżeli kapitalizacja odsetek następuje w podokresach, wówczas nasze wzory przyjmą następujące postaci:

1)Kapitalizacja prosta

2)Kapitalizacja złożona z góry

3)Kapitalizacja złożona z dołu

4) Kapitalizacja ciągła

- kapitał końcowy

- czas trwania lokaty w latach

Rozwiązania:

Ad. 1)

a₁ = 1000 r = 40

a₂ = 1000 + 40 itd.

a_n = 1400 = 1000 + (n-1)⋅40

stąd

n = 11

zatem dla n > 11 pensja przekroczy 1400zł.

Ad.2)

a₁ = 1000⋅12 = 12000 zł (łączna pensja za pierwszy rok pracy),

a₂ = 1040⋅12 = 12000 zł + 480 zł (łączna pensja za drugi rok pracy),

a₃ = 1080⋅12 = 12000zł + 2⋅480zł (łączna pensja za trzeci rok pracy).

Mamy więc do czynienia z ciągiem arytmetycznym, w którym:

a₁ = 12000zł r = 480zł

Ad.3)

a₁ = 200000 zł. = O₀₂

a₂ = 200000 + 0,02 ⋅ 200000 = 1,02 ⋅200 000 =O₀₃

. . . . . . . . .. . . .. . .. . . . .. . .. .. . .. .. . . . .. . . .. . . ..

a₉ = a₁ ⋅ 1,02⁸ = 234 330 zł, czyli obroty w 2011 roku wyniosą 234330 zł (przy zachowaniu stałego tempa wzrostu).

Ad. 4)

Ad.5)

zapłata za 2 miesiące - 200 000 zł

zapłata z wykorzystaniem kredytu:

zaciągam kredyt na kwotę

200 000 zł - 0,03·200 000 zł = 200 000 zł - 6 000 zł = 194 000 zł

po dwóch miesiącach spłacam

194 000(1 + 0,01)² = 197 889,40 zł

Wniosek:

Warto wziąć kredyt i zapłacić natychmiast, chociaż różnica jest nieznaczna

Ad. 6)

Bank A - kapitalizacja z dołu, r = 11%, K_n = K_0⋅(1 + 0,11)ⁿ

Bank B - kapitalizacja z góry, r = 10%, W_n = K₀⋅(1 - 0,1)^-n

Który bank wybrać?

stąd : B oferuje nieznacznie lepsze warunki, mimo iż nominalnie jego oprocentowanie jest gorsze o jeden punkt procentowy.

Ad. 7)

Efektywna stopa procentowa odpowiadająca stopie oprocentowania składanego, to roczna stopa procentowa z rocznym okresem kapitalizacji odsetek równoważna danej stopie.

stąd

Rozwiązanie zadania nr7:

Po obniżeniu oprocentowania mamy wzór na wartość przyszłą:

K_n = K₀(1 + 0,03)ⁿ

r = 3% jest oprocentowaniem efektywnym rachunku. Według wcześniejszych warunków wartość przyszłą należało wyznaczyć zgodnie ze wzorem:

.

1,0829995 = 1 + r_ef

r_ef = (1,0067)¹² - 1 = 1,0829995 - 1 ≈ 8,3%

r_ef - 3% = 5,3 p.p. - o tyle pogorszono warunki oprocentowania

Ad.8)

LOGARYTMY

≡ a^y = x, a > 0, a ≠ 1, x > 0

Przykład :

log₁₀100 = 2 ≡ 10² = 100,

log₂
≡ 2^-4 =

Przykład :

Rozwiązać równanie

(1,02)^n-1 = 2

Mamy (n-1)log 1,02 = log 2

stąd n-1 =

Własności:

log_a1 = 0

log_aa = 1

log_a(xy) = log_ax + log_ay

log_a
= log_ax - log_ay

log_a(xⁿ) = n log_ax

log_ax =
,

oznaczenia: log₁₀x = log x

log_ex = ln x

Uwaga:

log x = M ln x gdzie M = log₁₀e =

Rozwiązanie zadania nr 8.

Z tego samego kapitału po 2,5 latach otrzymano w obydwu bankach taką samą wartość więc zachodzi równość:

Zatem w banku B obowiązywała stopa procentowa na poziomie 11,65%

Który bank w perspektywie 3 lat oferuje korzystniejsze warunki?

A:

B:

Zatem w perspektywie 3 lat bank A oferuje lepsze warunki.

Ad.9)

Ad.10)

Ad. 11)

---