ANALIZA DRGAŃ STRUNY

Cel: badanie kolejnych drgań harmonicznych struny pobudzanej metodą rezonansowa.

Przyrządy: elektromagnes , transformator , mikromierz .

Zagadnienia: drgania harmoniczne proste, podstawy akustyki

Wprowadzenie

Struna jest zawsze dwustronnie zamocowana i drga w jeden ze sposobów pokazanych na rysunku poniżej,

Rys.1.1 Różne możliwe sposoby drgań prętów i słupów powietrza.

tylko w przypadku, gdy jest pobudzana częstością v dającą się obliczyć przez podstawienie (11,4) do (11.8b), przypadek a

Podstawiając na c wyrażenie otrzymamy

Gdy strunę pobudzamy do drgań w miejscu przypadkowym, występują w niej równocześnie wszystkie drgania spełniające warunek na górze a więc drgania harmoniczne o częstościach

Lub ogólnie

Każdy element struny wykonuje wtedy drganie wypadkowe powstałe wskutek nałożenia drgań harmonicznych prostych v₁, V₂,..., które nie jest już drganiem sinusoidalnym, lecz zachowuje nadal periodyczność. Stosując metodę szeregów Fouriera możemy to drganie zanalizować rozkładając na drgania składowe. Pobudzając strunę do drgań w miejscu przewidzianej strzałki i dobierając wartość siły F możemy pobudzić stronę do drgań z dowolną częstością vn.

Aparatura

a. Struna pozioma. Zasadniczą częścią przyrządu (rys 1) jest stalowa struna S. Pobudzana do drgań w sposób rezonansowy za pomocą elektromagnesu E zasilanego prądem przemiennym o częstości 50 Hz. Struna jest przyciągana przy każdym maksimum i minimum natężenia, a więc z częstością 100 Hz. Ze względu na dwustronne zamocowanie, struna wykonuje drgania pokazane na rysunku 1.1a jeżeli spełniony jest warunek (2). Celem dobrania siły F zastosowano wagę sprężystą W wraz z mechanizmem śrubowym M.

Rys 1 Przyrząd do analizy drgań struny stalowej.

Rys 2Przyrząd do analizy drgań struny pionowej.

śrubowym M. Amplitudę drgań odczytujemy na podziałce P1, a położenie elektro­magnesu i podziałki P1, na podziałce P2. Bloczek B jest osadzony na łożysku kulkowym, dzięki czemu możemy zaniedbać tarcie. Dla wzbudzenia pierwszej harmonicznej

l (w = l) elektromagnes ustawiamy w połowie długości struny, dla n ==2 na 1/4 długości,

dla n = 3 na 1/6długości lub w połowie itd. Dla zwiększenia precyzji odczytu wychy­lenia należy stosować oświetlenie stroboskopowe (np. lampę jarzeniową).

b. Struna pionowa. W tym przyrządzie struną może być żyłka nylonowa lub nić. Jest ona pobudzana do drgań za pomocą płaskiej .żelaznej sprężyny Z. Dolny koniec tej sprężyny znajduje się między biegunami elektromagnesu E zasilanego prądem przemiennym. Sprężyna i elektromagnes stanowią części obwodu magnetycznego magnesu stałego lub elektromagnesu M. Zatem dolny koniec sprężyny jest stale biegunem magnesu (np. N) i w polu magnetycznym elektromagnesu E wykonuje drgania z częstością 50 Hz. (Sprężynę pobudzać można do drgań również w prostszy sposób, podobnie jak w przyrządzie z poziomą struną.) Dla uzyskania fali stojącej dobieramy obciążenie w taki sposób, by spełnione były warunki rezonansu. Przy dokładnym dobieraniu obciążenia, poza odważnikami, stosować możemy również piasek. Można również zamiast szalki zastosować naciąg sprężynowy. Do odczytywania amplitud i położenia strzałek wzdłuż struny służą podziałki Pl i P2. Struna jest rozciągnięta na tle matowej szyby M podświetlonej lampą jarzeniową dającą efekt stroboskopowy, co ułatwia odczyt amplitudy.

Pomiary

Sposób wykonania pomiarów nie zależy od typu stosowanego przyrządu. Jeżeli sprężyna W nie jest dynamometrem wyskalowanym, wzorcujemy ją wykonując pomiar zależności wydłużenia od obciążenia dla zakresu obciążeń wskazanych w instrukcji. Mierzymy długość i średnicę struny. Włączamy prąd w obwodzie elektromagnesu i siłę napinającą strunę oraz położenie elektromagnesu dobieramy w ten sposób, by uzyskać jedno z szukanych drgań harmonicznych. Analizujemy wynik pomiaru gęstości w oparciu o wzór (11.14a) i planujemy właściwy sposób pomiaru poszczególnych wielkości prostych. Wykonujemy ostateczne pomiary i mierzymy rozkład amplitud wzdłuż połowy długości fali stojącej dla l, 2 i 3-cich drgań harmonicznych.

Obliczenia

Wykreślamy przebieg zależności amplitudy drgań od położenia dla wszystkich badanych drgań harmonicznych. Na tym samym wykresie nanosimy sinusoidę o amplitudzie równej amplitudzie drgań struny i sprawdzamy zgodność punktów doświadczalnych z przebiegiem teoretycznym. Z wzoru (11.14) lub (11.8a) obliczamy gęstość struny dla każdej harmonicznej: Przyjmujemy, że częstość drgań jest znana i wynosi 100 Hz dla przyrządu omówionego w przypadku dla struny poziomej lub 50 Hz w przypadku dla struny pionowej. Ze wzoru (H.13) obliczamy prędkość rozchodzenia się fali w strunie. Jako wynik końcowy przyjmujemy wartości średnie q i c. Błędy obliczamy dla gęstości i prędkości dźwięku w oparciu o wyniki uzyskane dla l i 2-giej harmonicznej. Sprawdzamy wzajemną zgodność wyników obydwu harmonicznych oraz zgodność z tablicami fizycznymi.

10.01. DRGANIA HARMONICZNE PROSTE (Sl, § 43 i 44; Kl, rozdz. 7)

Drganiami harmonicznymi prostymi nazywamy drgania odbywające się pod wpływem siły F proporcjonalnej do wychylenia x i przeciwnie skierowanej.

F = -kx.

Współczynnik proporcjonalności k o wymiarze N • m ^-1 nazywamy silą kierującą. W przypadku drgań torsyjnych bryły sztywnej we wzorze powyższym siłę F należy zastąpić momentem siły M, a wychylenie x kątem skręcenia ϕ

M = - Dϕ (10.1)

Współczynnik proporcjonalności Z) o wymiarze N•m•rad^-1 nazywamy momentem kierującym. W dalszym ciągu zajmiemy się wyłącznie drganiami torsyjnymi bryły sztywnej. Przytaczać będziemy również, wzory dla punktu, w których wychylenie będziemy oznaczać przez x. Korzystając z równania ruchu obrotowego bryły sztywnej, moment siły możemy wyrazić wzorem M =J⋅α

gdzie przez J oznaczone moment bezwładności, a przez a przyspieszenie kątowe, które definiujemy jako drugą pochodną kąta względem czasu

Podstawiając ostatnie dwa wyrażenia do równania (10.1) otrzymamy

i analogiczne równanie dla drgającego punktu o masie m,

Dzielimy równanie (10.2) przez J i wprowadzamy oznaczenie

(10,3)

(10.3a)

(wielkość w o nazywa się częstością kołową drgań;, uzasadnienie tej nazwy znajdzie czytelnik w dalszych rozważaniach), otrzymując

(10.4)

i

(10.4a)

Równanie powyższe nazywa się równaniem ruchu harmonicznego prostego. Jest ono równaniem różniczkowym drugiego rzędu względem^ zmiennej <p. Nietrudno sprawdzić, że rozwiązaniem powyższego równania jest funkcja

(10.5) (10.5a)

Wielkość δ nazywamy fazą początkową lub przesunięciem fazowym, a wielkość ϕ amplitudą.

Z własności funkcji trygonometrycznych wynika, że również funkcja

(10.6)

spełnia równanie (10.4); wtedy

Rozwiązaniem równania (10.4) jest również kombinacja liniowa obydwu funkcji trygonometrycznych

(10.6a)

Zależnie od potrzeby stosować będziemy jedną z wymienionych postaci rozwiązania. W obecnym paragrafie zastosujemy rozwiązanie w postaci równania (10.5}. Zatem pod wpływem momentu siły M określonego równaniem (10.1) kąt y wychylenia z położenia równowagi zmięma się periodycznie w taki sposób jak funkcja cosinus (rys. 10.1). W praktyce ozaacza. to, że bryła oscyluje wokół położenia równowagi z częstością kołową Jeżeli przyjmujemy,, że. w chwili początkowej, gdy ( wtedy przesunięcie fazowe = O (rys. 10.1 b) i rozwiązanie równania przyjmie postać

(10.7)

i

(10.7a)

Funkcja cosinus jest funkcją periodyczną i jej wartości powtarzają się co 2w. Ko­rzystając z powyższej własności i równania (10,7) wyznaczyć możemy okres T, tzn. czas, po którym funkcja cosinus wraca do początkowej wartości

skąd

(10.8)

Podstawiając za Wartość z równania (10.3), otrzymamy

(10.9a)

Wzór powyższy posiada bardzo ważne znaczenie praktyczne, gdyż łączy on okres drgań bryły z jej momentem bezwładności i momentem kierującym. Przy praktycznym korzystaniu z powyższego wzoru należy pamiętać, że wszystkie wielkości muszą być określone względem tej samej osi oscylacji.

11. DRGANIA AKUSTYCZNE

11.01, RÓWNANIE FALI

Na element Δx struny wychylonej z położenia równowagi działają siły F i —F, tworzące z osią x niewielkie kąty α1 i α2 (rys. 11.1). Składowe tych sił w kierunku osi y wynoszą: -Fsinα1 i Fsin2, a wypadkowa w kierunku osi y wynosi F = (sinα2 - sinα1). Wychylenie struny i wartości kątów są nieznaczne, stąd przyjmujemy sinα1= tgα1.

A to jest równe

i siłę wypadkową wyrażamy wzorem

11.1. Odcinek wychylonej struny.

10.9

10.1. Drgania harmoniczne proste.

---