Estymacja punktowa

1. Zgodność estymatora

Można ją zbadać dwoma sposobami:
I.

, gdzie
>0 (co oznacza, że ze wzrostem liczności próbki wzrasta dokładność oszacowania parametru
-
maleje, czyli przedział „naokoło” parametru
maleje).

II.
oraz

2. Nieobciążoność estymatora

Estymator jest nieobciążony, gdy dla każdego n mamy:

Jeśli jednak
, to
nazywamy estymatorem obciążonym parametru
, a B_n(
) =
obciążeniem estymatora.

Jeśli
to estymator
jest estymatorem asymptotycznie nieobciążonym parametru
.

3. Efektywność estymatora

Jeśli mamy kilka estymatorów nieobciążonych, to efektywniejszy(lepszy) jest ten, który ma mniejszą wariancję.

Jeśli
, to efektywniejszy jest
. (Nierówność Rao-Cramera trzeba badać tylko dla rozkładu równomiernego).

Efektywność estymatora:
, gdzie
- estymator efektywny par.
,
- inny nieobciążony estymator par.
,
.

jest to asymptotyczna efektywność estymatora
.

4. Metoda Największej Wiarygodności

Funkcja wiarygodności:
, gdzie f(x;
₁,...,
_k) to gęstość prawdopodobieństwa dla cechy typu ciągłego lub funkcja rozkładu prawdopodobieństwa dla cechy typu skokowego.

Następnie należy funkcję L zlogarytmować oraz
(gdy mamy jeden parametr
; gdy jest ich więcej, przyrównujemy do zera poszczególne pochodne cząstkowe i tworzymy układ równań).

Estymacja przedziałowa

Przedział ufności:
- jego końce
₁=
₁(X₁,...,X_n) oraz
₂=
₂(X₁,...,X_n) są funkcjami próby losowej i nie zależą od parametru

- P(
₁(X₁,...,X_n) <
<
₂(X₁,...,X_n)) = 1 - α, gdzie 1 - α to współczynnik ufności.

1. Przedziały ufności dla nieznanej wartości przeciętnej

Model 1. ( cecha X ma rozkład
o nieznanej wartości przeciętnej m i znanym odchyleniu standardowym σ). Zad1

Bierzemy statystykę
, która ma rozkład
i ją standaryzujemy:
. Statystyka U ma rozkład N(0,1).

Następnie mamy:
, a po przekształceniach wchodzi przedział:
, gdzie
to kwantyl rzędu
(odczytywany z tablic).

Model 2. (cecha X ma rozkład
o nieznanej wartości przeciętnej m i nieznanym odchyleniu standardowym σ). Zad2

Do obliczeń wybieramy statystykę t-Studenta o n-1 stopniach swobody, bo nie zależy ona od nieznanych parametrów.

Poprzez analogię do modelu 1 (zamiast σ wpisujemy S; zamiast U mamy t i zamiast
mamy
) zapisujemy przedział:
.

II. Przedziały ufności dla wariancji i odchylenia standardowego.

Model 1. (cecha X ma rozkład
o nieznanych m i σ; próba liczności
) zad3

Wykorzystamy tutaj statystykę chi-kwadrat o n-1 stopniach swobody:

. Po odpowiednich przekształceniach mamy:

Model 2. (cecha X ma rozkład
o nieznanych m i σ; próba liczności
) zad4

Wykorzystamy tu fakt, że statystyka

ma w przybliżeniu rozkład N(
. Zatem otrzymujemy:
. Po odpowiednich przekształceniach mamy przedział:

III. Przedziały ufności dla wskaźnika struktury populacji.

Model 1. (cecha ma rozkład dwupunktowy z parametrem p; niewielkie n)

Mamy przedział (f₁(k,n,α), f₂(k,n,α)); gdzie k - liczba wyróżnionych elementów próbki).

Model 2.(cecha ma rozkład dwupunktowy z parametrem p; próba o liczności
). Zad5

Statystyka
ma rozkład
. Standaryzujemy p:
, U ma w przybliżeniu rozkład N(0,1) zatem
. Otrzymujemy przedział : A(B-C) < p < A(B+C), gdzie:

,
oraz
.

IV. Minimalna liczność próby niezbędna do uzyskania przedziału ufności o zadanej długości.

Model 1. (cecha ma rozkład
o znanym σ; przedział ufności dla wartości przeciętnej ma być nie większy niż 2l) zad6

Mamy zatem:
. Rozwiązując tą nierówność względem n mamy:
. Jeśli nie jest to liczba całkowita, to korzystamy z wzoru:
.

Model 3. (cecha ma rozkład
o nieznanych parametrach; przedział ufności dla wartości przeciętnej ma być nie większy niż 2l) zad7

Z wcześniejszych wzorów(zad.2) wiemy, że:
. Analogicznie do modelu 1 mamy:
, a stąd:
. Nie można z tego wzoru obliczyć n (ze względu na zmianę wartości wariancji zależnie od próbki), ale można obliczyć k. Pobieramy próbkę wstępną o liczności n₀, obliczamy k i sprawdzamy:

• jeśli
  , to przedział ufności jest taki jak wyżej (jak w zad.2).

• jeśli
  , to do wstępnej próbki n₀ pobieramy jeszcze próbkę o liczności n₁=[k]-n₀+1.

Następnie liczymy:
a przedział ufności spełniający odpowiednie warunki ma postać:
gdzie s² jest obliczone z próbki wstępnej.

---