8. Ruch harmoniczny, drgania, fale

Drgania - procesy, w trakcie których wielkości fizyczne na przemian rosną i maleją w czasie.

Szczególnymi rodzajami drgań rozpatrywanymi w fizyce są:

1. drgania mechaniczne (ruch drgający): wahadło matematyczne, ciało na sprężynie, wahadło fizyczne, drgania cząsteczek sieci krystalicznych, drgania strun instrumentów muzycznych, drgania powietrza itp.

2. drgania elektryczne: okresowe zmiany natężenia prądu np. w układzie kondensatora i cewki itp.

3. drgania elektromechaniczne: np. drgania krystalicznych sieci jonowych, drgania plazmy w polu magnetycznym lub elektrycznym itp.

Szczególnym przypadkiem drgań są drgania harmoniczne.

Drgania tłumione (gasnące)

Z doświadczenia wiemy, że wahadło pobudzone jednorazowo do drgań przez wychylenie go z położenia równowagi waha się w miarę upływu czasu coraz słabiej, aż wreszcie zatrzymuje się. Świadczy to o rozpraszaniu energii.

Drgania swobodne (drgania własne) są to drgania ciała wywołane wychyleniem z położenia równowagi trwałej, kiedy na ciało nie działają żadne siły, poza siłami określającymi położenie równowagi i siłami dążącymi do jej przywrócenia.

Jeżeli na drgający układ ma wpływ inny drgający układ (siła wymuszająca), to drgania nazywa się wymuszonymi.

Wibracje - wstrząsy danego ciała o niskiej amplitudzie i częstotliwości kilkunastu-kilkudziesięciu Hz.

Ruch drgający prosty jest ruchem najczęściej spotykanym w przyrodzie. Przykładami takiego ruchu są: ruch struny instrumentu, ruch ciężarka zawieszonego na sprężynie, ruch wahadła czy ruch tłoka w silniku. Przyczyną tego ruchu jest siła sprężystości.

Ruch drgający można rozpatrywać jako rzut ruchu po okręgu.




Z rysunku odczytujemy, że:

Ruch harmoniczny - jest ruchem drgającym. Ruch ten odbywa się pod wpływem siły zwróconej zawsze w stronę położenia równowagi i posiadającej wartość wprost proporcjonalną do wychylenia z położenia równowagi.

Ruch harmoniczny są to drgania opisane funkcją sinusoidalną (harmoniczną)

Przykłady ruchu harmonicznego - sprężyna z ciężarkiem.
Ciało o masie m zaczepione do jednego końca sprężyny wykonuje drgania harmoniczne pod wpływem siły F = - kx, jeśli zostanie wychylone z położenia równowagi poprzez naciągnięcie lub ściśnięcie sprężyny:

Wielkości związane z tym ruchem:
x - wychylenie w danej chwili, odległość ciała od położenia równowagi
A - amplituda drgań, największe wychylenie z położenia równowagi
T - okres drgań
f - częstotliwość drgań, ilość drgań w jednostce czasu

Innym przykładem ruchu harmonicznego jest ruch wahadła matematycznego, które składa się z punktu materialnego o masie m zawieszonego na cienkiej i nierozciągliwej nici. Jeżeli wychylimy tę masę z położenia równowagi o bardzo mały kąt i puścimy swobodnie, to będzie ona wykonywała drgania harmoniczne, pod wpływem siły.

Rozkład sił w wahadle matematycznym:

Rysunek przedstawia wahadło o długości l i masie m, odchylone od pionu o kąt α. Na masę m działa siła przyciągania grawitacyjnego (siła ciężkości) wyrażana wzorem Q = mg oraz siła naprężenia (naciągu) nici N.
Siłę ciężkości rozkładamy na składowe:
- jedna składowa równoważy siłę naprężenia

- druga składowa dostarcza niezbędnego przyspieszenia dośrodkowego do utrzymania ruchu po łuku okręgu; siła ta jest zwrócona przeciwnie do przesunięcia, więc

Minus oczywiście nie oznacza, że wartość siły jest ujemna, tylko to, że zwrot działania siły jest przeciwny do zwrotu przesunięcia.

Jeżeli kąt α jest mały, to sinα jest bardzo bliskie α mierzonemu w radianach:

x	sin x	Różnica w %
0^o = 0.00000 rad	0.00000	0.00
2^o = 0.03491 rad	0.03490	0.03
5^o = 0.08727 rad	0.08716	0.24
10^o = 0.17453 rad	0.17365	0.50
15^o = 0.26180 rad	0.25882	1.14

Przemieszczenie wzdłuż łuku wynosi

i dla małych kątów ruch jest w przybliżeniu prostoliniowy. Przyjmując, że

otrzymujemy:

Zauważ, że stała mg/l określa stałą k w równaniu F = -kx

Przy małej amplitudzie okres wahadła matematycznego wynosi więc

Zauważ, że okres nie zależy od masy wahadła.

Wahadło torsyjne - ciało wykonujące wahadłowy ruch obrotowy, siłą kierującą jest siła sprężystości.

Może to być ciało, zawieszone na sprężystym drucie. Okres drgań takiego wahadła wynosi:

gdzie:

• I jest momentem bezwładności,

• D momentem siły skręcającej przypadającym na jednostkowy kąt skręcenia.

Wahadło torsyjne ze sprężyną w postaci drutu poddawanego naprężeniom skręcającym

Ciekłe wahadło- Jeśli rurkę o kształcie U i stałym przekroju S napełnimy cieczą o gęstości ၲ, ustala się po pewnym czasie równowaga. Jeśli w
jednej rurce przesuniemy o y poziom cieczy, powstaje różnica poziomów 2y między rurkami. Ciężar wystającego słupa cieczy o masie m2y powoduje pojawienie się siły zwrotnej.

Ruch falowy. Rodzaje fal.

Fala to zaburzenie, które rozprzestrzenia się w ośrodku lub przestrzeni. Fale przenoszą energię z jednego miejsca do drugiego bez transportu jakiejkolwiek materii. W przypadku fal mechanicznych cząstki ośrodka, w którym rozchodzi się fala, oscylują wokół położenia równowagi.

Przykładem ruchu falowego są fale rozchodzące się kołowo na powierzchni wody po wrzuceniu kamienia. Obserwując zachowanie się trocin lub słomek pływających na powierzchni wody, można łatwo stwierdzić, że rzeczywisty ruch cząsteczek wody polega na ich podnoszeniu się i opadania w jednym miejscu, natomiast sama fala, przenosząca te drgania, rozchodzi się po powierzchni wody. Ośrodek nie porusza się więc wraz z rozchodzącą się falą, lecz jedynie jego cząsteczki drgają wokół położeń równowagi, zaś istotę ruchu falowego stanowi przenoszenie się tych drgań na coraz to dalsze warstwy ośrodka.

Promień fali to kierunek rozchodzenia się fali.

Czoło fali jest to zbiór punktów, do których dotarła fala.

Powierzchnia falowa to zbiór punktów mających tą samą fazę drgań.

Fale mechaniczne (ze względu na wymiar) dzielimy na:

• fale liniowe (jednowymiarowe) - np. na gumowym wężu,

• fale powierzchniowe (dwuwymiarowe) - np. na wodzie,

• fale przestrzenne (trójwymiarowe) - np. dźwięk w powietrzu.

Fala poprzeczna to taka fala, której cząsteczki ośrodka drgają w kierunku prostopadłym do kierunku rozchodzenia się fali.

Można ją otrzymać na przykład przez szybkie poruszanie się w górę i w dół jednego końca gumowego sznura, przymocowanego drugim końcem do ściany. Powstanie fali poprzecznej wiąże się ze zmianą kształtu ciała, a więc może się ona rozchodzić jedynie w ośrodkach mających sprężystość postaci (głównie w ciałach stałych). Cząsteczki ośrodków doskonale sprężystych wykonują drgania harmoniczne, zatem fala poprzeczna rozchodząca się w takim ośrodku ma postać sinusoidy.

Fala podłużna jest to fala, której cząsteczki ośrodka drgają w kierunku zgodnym z kierunkiem rozchodzenia się fali.

Można ją otrzymać uderzając z jednej strony młotkiem w koniec długiej sprężyny z cienkiego drutu zawieszonej na niteczkach. Obserwujemy wówczas zagęszczanie się zwojów sprężyny w pobliżu miejsca uderzenia i przesuwanie się tego zagęszczenia wzdłuż jej osi, przy czym kierunek drgań zwojów sprężyny, jest zgodny z kierunkiem rozchodzenia się fali.




Podobne zjawisko rozchodzenia się drgań cząsteczek można zaobserwować w rurze wypełnionej powietrzem, jeżeli w jednym z jej końców wywołane zostanie zagęszczenie. Rozchodząca się w rurze fala podłużna polega na zagęszczaniu i rozrzedzaniu drgających warstw powietrza.

Ponieważ rozchodzenie się fal podłużnych jest związane z okresowymi zmianami gęstości ośrodka, fale te mogą się rozchodzić we wszystkich ośrodkach wykazujących sprężystość objętości, a więc zarówno w ciałach stałych, cieczach jak i w gazach.

Zasada Huygensa

Opis ruchu falowego komplikuje się z chwilą, gdy czoło fali dociera do granicy obszaru swobodnego rozprzestrzeniania się fali, lub do granicy dwu ośrodków, w których prędkości rozchodzenia się fal są różne. Metody opisu ruchu falowego w tym przypadku dostarcza zasada Huygensa.

Interferencja to zjawisko nakładania się fal prowadzące do zwiększania(wzmocnienia) lub zmniejszania (osłabienia) amplitudy fali wypadkowej. Interferencja zachodzi dla wszystkich rodzajów fal, we wszystkich ośrodkach, w których mogą rozchodzić się dane fale.

Jeżeli obie fale będą miały takie same amplitudy to nastąpi maksymalne wzmocnienie.

Wygaszenie następuje we wszystkich punktach, dla których różnica odległości od źródeł jest równa nieparzystej wielokrotności połowy długości fali.

Fala stojąca (struny w instrumentach muzycznych)

Szczególnym przypadkiem interferencji fal jest powstawanie fali stojącej, będącej wynikiem nakładania się dwóch fal o jednakowych amplitudach, częstościach i prędkościach, rozchodzących się w przeciwnych kierunkach.

Falę stojącą można otrzymać najprościej na naciągniętym sprężystym sznurze. Jeśli jeden z jego końców tego sznura wprawimy w ruch drgający harmoniczny, to biegnąca wzdłuż niego fala, po dotarciu do punktu zamocowania sznura odbije się od niego, przy czym fala odbita ma tę samą częstotliwość i amplitudę, co pierwotna fala, lecz porusza się w przeciwnym kierunku. W wyniku nakładania się fali pierwotnej i fali odbitej cząsteczki sznura uzyskują, w zależności od ich położenia wzdłuż kierunku rozchodzenia się fali, różne amplitudy drgań, zawarte w granicach od zera do wartości podwójnej amplitudy fali pierwotnej. Drgania te nazywamy właśnie falą stojącą.

STRZAŁKA
Fala stojąca jest strzałką, gdy odległość jest równa całkowitej wielokrotności połowy długości

Strzałki fali stojącej to punkty o największej amplitudzie drgań

WĘZEŁ
Fala stojąca jest węzłem, gdy odległość jest równa nieparzystej wielokrotności ćwiartki długości fali.
Węzły fali stojącej to punkty niedrgające (nie wykonujące drgań)

Dyfrakcja fali nazywamy ugięcie fali, czyli zmianę kierunku rozchodzenia się fali na szczelinach, krawędziach, przeszkodach, itp. (a)

a)
(b)

(b)Umieszczając w zbiorniku z wodą przegrodę z dwiema szczelinami, równoległą do powierzchni wytwarzanej fali płaskiej, możemy obserwować zarówno dyfrakcję jak i interferencję fal ugiętych. Ponieważ powierzchnia fali płaskiej dochodzi do obydwu szczelin w tej samej chwili, stają się one, zgodnie z zasadą Huygensa, źródłami elementarnych fal kołowych o jednakowych fazach i amplitudach. amplitudach wyniku nakładania się fal w tych punktach powierzchni wody, do których dojdą fale o jednakowych fazach, następuje wzmocnienie drgań i powierzchnia wody staje się silniej pofałdowana, w innych zaś, do których dojdą fale o fazach przeciwnych , następuje wygaszenie drgań i powierzchnia wody staje się gładka, tworząc charakterystyczne "linie węzłów".

Fale dźwiękowe - to rodzaj fal ciśnienia. Ośrodki, w których mogą się poruszać, to ośrodki sprężyste (ciało stałe, ciecz, gaz). Zaburzenia te polegają na przenoszeniu energii mechanicznej przez drgające cząstki ośrodka (zgęszczenia i rozrzedzenia) bez zmiany ich średniego położenia. Drgania mają kierunek oscylacji zgodny z kierunkiem ruchu fali (są to fale podłużne).

Dźwięk charakteryzuje się:

wysokością f

natężeniem I

barwą ( amplitudami harmonicznych )

Ze względu na zakres częstotliwości można rozróżnić cztery rodzaje tych fal:

• Infradźwięki - poniżej 20 Hz,

• Dźwięki słyszalne 16 Hz - 20 kHz - słyszy je większość ludzi,

• Ultradźwięki - powyżej 20 kHz,

• Hiperdźwięki - powyżej 10¹⁰ Hz.

l

y

y

---