wyklad 6, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, III rok Ekonometria


Wykład 4

IV. Decyzje wielostopniowe, programowanie dynamiczne

  1. Problem alokacji zasobów. Algorytm Bellmana.

Podstawy programowania dynamicznego opracowane zostały przez Richarda Bellmana i opublikowane w podstawowej pracy z tego zakresu badań Dynamic Programing /New Jersey 1957r/. Autor omówił w niej zasady podejmowania decyzji optymalnych w procesach wieloetapowych.

Charakterystyczną cechą tych procesów jest to, że składają się one z ciągu przedsięwzięć, w których efekty osiągnięte w poprzednim przedsięwzięciu wykorzystywane są do sterowania przebiegiem przedsięwzięć następnych.

Teoria programowania dynamicznego przedstawiona przez R. Bellmana daje rozwiązania decyzyjnych modeli tak deterministycznych jak i stochastycznych, także wtedy gdy analizowany proces jest procesem ciągłym, oraz gdy jest procesem dyskretnym.

Podstawą teorii jest zasada optymalności Bellmana - „polityka optymalna ma tę własność, że niezależnie od początkowego stanu i początkowej decyzji, pozostałe decyzje muszą stanowić politykę optymalną ze względu na stan wynikający z pierwszej decyzji”.

Zasada sformułowana przez R. Bellmana prowadzi do definicji równań funkcyjnych, tworzących układ równań rekurencyjnych, które stanowią model /obraz/ ciągu przedsięwzięć o których mowa powyżej.

Idea metody programowania dynamicznego sprowadza się do wyznaczenia optimum funkcji wielu zmiennych przez wielokrotne wyznaczenie optimum funkcji jednej zmiennej. Funkcje jednej zmiennej o których mowa są definiowane w szczególny sposób, w jaki?, przeanalizujmy przykład.

Inwestor dysponuje kapitałem K, który może zainwestować w n różnych przedsięwzięć. Na podstawie przeprowadzonych analiz, wynikających z oczekiwań związanych ze zwrotem poniesionych nakładów inwestycyjnych, oszacowano ciąg funkcji zwrotu nakładów 0x01 graphic
; gdzie 0x01 graphic
, i=1,…n, oznacza wartość zwrotu nakładów poniesionych na inwestycje w i - te przedsięwzięcie, zaś 0x01 graphic
wielkość poniesionych nakładów w i przedsięwzięcie.

Inwestor chce znać odpowiedź na następujące pytania:

  1. Jak podzielić nakłady finansowe /kwotę K/ pomiędzy n przedsięwzięć, by łączny zwrot z tytułu poniesionych nakładów był maksymalny,

  2. Jak duży będzie to zwrot nakładów, czy konieczna jest cała kwota nakładu by oczekiwany maksymalny zwrot uzyskać.

Rozwiązanie:

Niech 0x01 graphic
oznacza funkcję zwrotu nakładów. Oczekujemy takich decyzji, które określą nieujemne wartości 0x01 graphic
, i=1,…n, tak, że funkcja 0x01 graphic
przyjmie wartość maksymalną przy założeniu 0x01 graphic
K.

Postać analityczna funkcji nie jest zdefiniowana, należy zatem rozwiązać kwestię definicji tej funkcji jak?.

Etap I: 0x01 graphic
, oznacza zwrot nakładów poniesionych w całej kwocie nakładów K, tylko w przedsięwzięcie pierwsze, 0x01 graphic
K,

Etap II: Niech 0x01 graphic
, gdzie: 0x01 graphic
K, funkcja 0x01 graphic
pozwala wyznaczyć maximum zwrotu nakładów w pierwsze i drugie przedsięwzięcie łącznie.

Etap III: 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
K, funkcja 0x01 graphic
określa maximum zwrotu nakładów w przedsięwzięcie pierwsze, drugie i trzecie.

…………………………………………………………………………………

Etap n-1: 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
K, funkcja 0x01 graphic
wyznacza maximum zwrotu nakładów w przedsięwzięcie od pierwszego do n-1.

Etap n: 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
K.

Funkcja 0x01 graphic
, teza ta wynika z definicji funkcji 0x01 graphic
. Oznacza to, że po realizacji n etapów, w których definiujemy funkcje zwrotu nakładów w kolejno dołączane przedsięwzięcia otrzymujemy odpowiedź na sformułowane na wstępie pytania o wartość zwrotu łącznego oraz odpowiedź na pytanie o alokację nakładów.

Przykład: Zarząd pewnej firmy zamierza zainwestować w budowę sieci sklepów w trzech miejscowościach. Dysponuje kwotą 30 mln PLN, dział analiz opracował dane dotyczące zwrotu nakładów przy nakładach na poziomie 10, 20 i 30 mln PLN.

Nakłady

Zwrot w miejsc. A

Zwrot w miejsc. B

Zwrot w miejsc. C

0

0

0

0

10

0,26

0,24

0,27

20

0,55

0,56

0,54

30

0,62

0,63

0,65

Dokonać takiej alokacji nakładów by łączny zwrot nakładów był maksymalny.

Etap I: 0x01 graphic
= 0,62. Gdyby Inwestor podjął decyzje o inwestycji tylko w miejscowości A, wówczas spodziewany zwrot nakładów wyniósłby 0,62 mln PLN.

Etap II: 0x01 graphic
, rozkład {0,0},

0x01 graphic
, {10,0},

0x01 graphic
,

0x01 graphic
, {0,20},

0x01 graphic

0x01 graphic
, {10,20}.

Etap III: 0x01 graphic
, rozkład {0,0,0},

0x01 graphic
, {0,0,10},

0x01 graphic
,

0x01 graphic
, {0,20,0},

0x01 graphic
0x01 graphic
, rozkład {0,20,10}.

Spodziewany maksymalny zwrot z inwestycji sięga 0,83 mln PLN. Wynik ten można osiągnąć inwestując 20 mln PLN w miejscowości B, dalsze 10 mln PLN należy zainwestować w miejscowości C, inwestycji w miejscowości A nie należy brać pod uwagę.

Powyższy wynik otrzymano przy założeniu iż zwrot nakładów został oszacowano w przestrzeni dyskretnej co oznacza, że oszacowano zwrot przy nakładach na poziomie 10,20 i 30 mln PLN. Niewątpliwie bardziej interesujący wynik otrzymalibyśmy zakładając, że zwrot nakładów ma charakter ciągły, co osiągniemy opisując zwrot nakładów za pomocą funkcji ciągłych.

Niech 0x01 graphic
, 0x01 graphic
,…, 0x01 graphic
są funkcjami ciągłymi aproksymującymi zwrot nakładów odpowiednio w miejscowości A1,A2 ,…, An, nakłady inwestycyjne na poziomie K. Określić tak zmienne 0x01 graphic
,…0x01 graphic
, by łączny efekt 0x01 graphic
osiągnął wartość maksymalną, przy założeniu, że:

0x01 graphic
K oraz 0x01 graphic
.

Rozwiązanie:

Niech 0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

……………………………………………………………………….

0x01 graphic
.

Przykład: Oszacowano parametry funkcji ciągłych, definiujących zwrot nakładów w trzy produkty finansowe: 0x01 graphic
,

0x01 graphic
,

0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic
, nakład inwestycyjny K=10 mln PLN.

Oszacować tak zmienne decyzyjne 0x01 graphic
/oznaczają wielkość nakładów odpowiednio w produkt pierwszy, drugi i trzeci/ aby łączny efekt;

0x01 graphic
osiągnął wartość maksymalną, przy założeniu, że: 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
.

Rozwiązanie:

Etap I: Oznaczamy taką wartość 0x01 graphic
dla której 0x01 graphic
, jest to tzw. punkt krytyczny funkcji 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic

Warunek 0x01 graphic
jest spełniony dla 0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
.

Wartość 0x01 graphic
, oraz 0x01 graphic
, 0x01 graphic
. Porównując te trzy wartości otrzymamy:

0x01 graphic
oraz 0x01 graphic
, zatem 0x01 graphic
dla 0x01 graphic
, gdzie 0x01 graphic

Etap II: Rozwiązujemy równanie 0x01 graphic
, gdzie: 0x01 graphic
,

tzn. 0x01 graphic
, stąd 0x01 graphic
.

Wartość 0x01 graphic
, oraz 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

Zatem w punkcie 0x01 graphic
realizuje się największa wartość funkcji0x01 graphic
w przedziale [0;10]. Stąd 0x01 graphic
, 0x01 graphic
.

0x01 graphic
, tzn., że funkcja 0x01 graphic
osiąga maximum dla 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, 0x01 graphic
, które wynosi 28.19mln PLN.



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
wyklad 4, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, III rok Ekonometria
model, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, III rok Ekonometria
cwek 03 4, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, III rok Ekonometria
cwek 03 5, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, III rok Ekonometria
cwek 03 1, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, III rok Ekonometria
cwek 03 2, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, III rok Ekonometria
wek 03 3, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, III rok Ekonometria
model, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, III rok Ekonometria
uzasadnienie do ustawy budzetowej na 2005r, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, IV rok Finanse Public
uzasadnienie do ustawy budzetowej na 2005r, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, IV rok Finanse Public
uzasadnienie do ustawy budzetowej na 2005r, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, IV rok Finanse Public
uzasadnienie do ustawy budzetowej na 2005r, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, IV rok Finanse Public
uzasadnienie do ustawy budzetowej na 2005r, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, IV rok Finanse Public
uzasadnienie do ustawy budzetowej na 2005r, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, IV rok Finanse Public
uzasadnienie do ustawy budzetowej na 2005r, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, IV rok Finanse Public
uzasadnienie do ustawy budzetowej na 2005r, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, IV rok Finanse Public
uzasadnienie do ustawy budzetowej na 2005r, Pomoce naukowe, studia, Ekonomia2, IV rok Finanse Public

więcej podobnych podstron