Wykład 6

Zarządzanie projektami (przedsięwzięciami) - modele sieciowe

1. Podstawowe pojęcia z zakresu zarządzania projektami

1. Metoda harmonogramowania

2. Istota metody PERT, GANTT

3. Pojęcia związane z czasem realizacji zadania

4. Zasady tworzenia sieci zdarzeń

5. Ustalanie relacji między zadaniami

2. Tworzenie modelu sieciowego

1. Tworzenie listy zadań

2. Ustalenie zależności między zadaniami

3. Zadania cykliczne

4. Grupowanie zadań

5. Pojęcie ścieżki krytycznej

3. Realizacja projektu

1. Procedura metod analizy sieciowej

2. Obliczenie terminów realizacji zdarzeń

3. Opracowanie zestawień zdarzeń i czynności

4. Przykłady modeli sieciowych

1. Podstawowe pojęcia z zakresu zarządzania projektami

1. Metoda harmonogramowania

System planowania i kierowania realizacją prac powinien zapewniać możliwość oceny stanu aktualnego i prognozowania dalszego biegu prac, a zwłaszcza możliwości takiego oddziaływania na ich przebieg, by zapewnić terminową realizację całego kompleksu zamierzeń z najmniejszymi nakładami.

Proces kierowania pracą składa się z następujących etapów:

1. opracowania wstępnego projektu planu realizacji prac,

2. kontrola przebiegu realizacji prac,

3. prezentacja aktualnego i perspektyw dalszego przebiegu prac,

4. podejmowanie decyzji co do wprowadzenia koniecznych zmian we wstępnym planie zamierzeń i powiadomienie o tym zespołu realizatorów.

Plan realizacji prac powinien być traktowany jako model zamierzenia. W każdym przypadku model jest systemem, w którym wzajemne stosunki między jego elementami odzwierciedlają w jakiejś mierze relacje pomiędzy zadaniami składowymi projektu.

Z zasady model jest prostszy od swego wzoru w tym sensie, że odtwarza jedynie cechy decydujące o osiągnięciu celu.

Drugim podstawowym dla dowolnego modelu wymaganiem jest jego adekwatność stosunku do modelowanego zamierzenia. Oznacza to, że stany modelu powinny być jednoznaczne ze stanami realizowanego zamierzenia.

Mogą się zdarzyć zauważalne rozbieżności w stanach systemu .w oddzielnych fragmentach planu. Różne możliwe stany mogą oznaczać na przykład zakończenie lub nie zakończenie prac, realizację prac zgodnie z założonymi terminami lub niedotrzymywanie tych terminów.

Do prac planistycznych oraz zarządzania złożonymi przedsięwzięciami korzystano z metod graficznych, jako najbardziej uniwersalnych i dających poglądową informację o przebiegu procesu. Stosowano dwa typy wykresów, dla potrzeb planowania oraz wykresy ewidencyjno - kontrolne.

Do wykresów planowania zalicza się tzw. wykresy Gantta. Obrazują one podział prac według rodzaju i przeznaczenia między szeregiem wykonawców oraz zakres prac. Drugi rodzaj wykresów, to harmonogramy realizacji.

Wykresy Gantta przyporządkowuje się skali czasu obowiązującej dla całego projektu, z podziałem na poszczególne czynności zamiast skali czasu tworzonej na podstawie analizy czasu trwania każdej z prac.

Procesy produkcyjne planuje się zazwyczaj z takim wyliczeniem, aby w wyniku równorzędnego ustawienia prac i właściwego doboru sekwencji realizacji poszczególnych węzłów i detali, zapewnić dotrzymanie końcowego terminu zakończenia procesu produkcji .

Harmonogramy, odzwierciedlają schematy realizacji procesu we wszystkich kolejno wykonywanych operacjach, pozwalają wpływać na przebieg procesu w całym łańcuchu czynności, przez regulację obciążenia uczestników także maszyn i urządzeń oraz czasu trwania przedsięwzięcia produkcyjnego.

Wykresy ewidencyjno - kontrolne stosuje się z zasady do celów kontroli i obserwacji bieżącej produkcji, przebiegu kompletowania montażu, zaopatrzenia w materiały, części, podzespoły itp. Wykresy są dostatecznie proste i przejrzyste, lecz wymagają pełnej informacji. Np. do kontroli stanu przygotowania prac montażowych opracowuje się tzw. wykresy kompletowania, na które nanosi się linie, wskazujące, do jakiego momentu czasu, produkcja ma zapewnione zaopatrzenie.

1. Istota metod sieciowych. Metoda PERT

Tradycyjne metody planowania przedsięwzięć oraz metody ewidencyjno - kontrolne wobec złożoności przedsięwzięć powodowały zazwyczaj wydłużanie terminów ich realizacji. Przyczyną tego stanu rzeczy był brak koordynacji poszczególnych operacji. Ten brak koordynacji przejawiał się, po pierwsze, w powstawaniu przestojów, kiedy opóźnienia nie pozwalały wykonawcom przejść do kolejnych czynności, po drugie, w nierównomiernym obciążeniu wykonawców. Powodowało to, że kiedy ustalony termin zakończenia prac nie mógł być zmieniony, często końcowe prace realizowano w warunkach „półeksploatacyjnych”, co prowadziło do dodatkowej straty czasu i środków.

Chcąc złagodzić możliwe odchylenia planu od rzeczywistego przebiegu opracowania, wydłuża się niekiedy świadomie planowane okresy oraz ogólnikowo formułuje zarówno treść prac, jak i materiały sprawozdawcze, dotyczące ich realizacji. W wyniku praca planowana staje się w dużej mierze formalna i nie sprzyja przyspieszaniu terminów oraz zmniejszaniu nakładów.

Poważnym brakiem wymienionych metod planowania były ograniczone możliwości przewidywania przebiegu prac, co utrudniało wybór właściwych decyzji dotyczących organizacji dalszych prac.

Dotychczasowe systemy planowania i zarządzania były więc mało elastyczne wobec dynamiki nowoczesnych realizacji prac. To powodowało, iż systemy planowania stały się czynnikiem obniżającym efektywność procesu kierowania. Nie zapewniały one:

1. Planowania, które w należyty sposób uwzględniałoby kontrolę i przejrzystość wszystkich operacji oraz powiązań międzyoperacyjnych, jak również umożliwiałoby korelacje wszystkich czynności w jednolitą całość,

2. analizy rzeczywistego i perspektywicznego stanu realizacji prac z punktu widzenia wpływu na bieżące wykonanie planu i jego pełne urzeczywistnienie w przyszłości,

3. Korekty planu z uwzględnieniem bieżących i przewidywanych zmian stanu prac, uzyskiwania nowych informacji i wprowadzania nowości technicznych,

4. przekazywania zarówno celów samego projektu i planów, jak powziętych decyzji odpowiednim wykonawcom.

W rezultacie uświadomienia zauważalnych ułomności dotychczasowych metod planowania zaczęto wprowadzać nowe systemy, nazwane metodami analizy sieciowej, które pozwalały na formułowanie odpowiedzi na pytania dotyczące:

1. kolejności realizacji czynności składowych projektów,

2. czynności tzw. krytycznych,

3. czasu realizacji projektu,

4. kosztów realizacji projektu

5. możliwości skrócenia czasu realizacji projektu i co się z tym wiąże oszacowanie kosztów takiego przyspieszenia.

Prekursorami stosowania nowych metod byli Amerykanie, to w USA powstały i były stosowane w praktyce nowe metody w rodzaju: CPM, PERT, PAR, PRISM, LESS, TOES, TOPS i szereg innych.

1. Pojęcia związane z czasem realizacji zadania

Metodologiczną podstawą analizy sieci są badania operacji i teoria grafów skierowanych.

Nowe metody analizy sieci oparto na kilku podstawowych pojęciach:

1. sieć jest graficzną postacią programu prac, wskazującą na wzajemne powiązania wszystkich przedsięwzięć objętych programem, prowadzącym do osiągnięcia celu,

2. przedsięwzięcie rozumiemy jako zorganizowane działanie zmierzające do określonego celu, zawarte w skończonym przedziale czasu - z wyróżnionym początkiem i końcem - oraz zrealizowane przez skończoną liczbę osób, środków technicznych, energii, materiałów, środków finansowych i informacji.

3. zdarzenie stanowi stan, który można jednoznacznie określić w chwili ich zajścia, jest wynikiem realizacji pewnych czynności poprzednich, stanowiąc jednocześnie punkt wyjścia do innych czynności następnych,

4. czynność czyli działanie stanowi proces niezbędny do zaistnienia każdego zdarzenia w sieci, odbywa się w przeciągu określonego czasu.

PERT /Program Evalution and Review Technik/ to metoda oceny i kontroli programu. System ten dla właściwego funkcjonowania wymaga określenia trzech ocen czasu potrzebnego do zakończenia czynności:

1. ocena optymistyczna,

2. ocena pesymistyczna,

3. ocena najbardziej prawdopodobna.

1. Zasady konstrukcji sieci zdarzeń

Poprawnie skonstruowana sieć zależności wymaga wystąpienia jednocześnie trzech cech:

1. należy ustalić treść zdarzenia końcowego lub zdarzeń końcowych,

2. należy określić wszystkie bez wyjątku zdarzenia, które mogą rzutować na osiągnięcie celu końcowego,

3. należy opracować tzw. zestawienie zdarzeń, każdemu zdarzeniu zestawienia nadaje się oznaczenie cyfrowe.

Sporządzenie zestawienia zdarzeń prowadzi do następnego etapu prac jakim jest wykonanie wykresu sieciowego. Jego wykonanie wymaga realizacji trzech zasadniczych „kroków”:

1. naniesienia zdarzeń na wykres oraz ich numeracja,

2. połączenie zdarzeń czynnościami,

3. wprowadzenie w szczególnych sytuacjach zdarzeń i czynności pozornych.

Zasady kreślenia wykresów sieciowych:

1. do wszystkich zdarzeń, oprócz początkowych, prowadzić muszą określone czynności,

2. wszystkie zdarzenia muszą być bezpośrednio powiązane z całym zespołem zdarzeń strzałkami czynności,

3. niedopuszczalne jest funkcjonowanie odcinków izolowanych,

4. wykluczone funkcjonowanie pętli czynności i zdarzeń.

1. Ustalanie relacji między zadaniami

Analizując sieci zdarzeń nietrudno zauważyć, że różnią się one nie tylko liczbą zdarzeń, lecz i liczbą czynności między nimi. W praktyce zauważono, że liczba czynności nie pozostaje bez wpływu na zestawienie sieci. Stosunek liczby czynności do liczby zdarzeń nazwano „współczynnikiem złożoności sieci”. Sieci mające współczynnik w granicach 1,1 - 1,2, zaliczane są do prostych, wykresy o współczynniku 1,5 do złożonych a zbliżające się do 2 - do bardzo skomplikowanych.

W przypadku sieci rozbudowanej, w której można równie dobrze zastąpić kilka czynności - jedną, a także na odwrót - rozdzielić czynności na mniejsze, wątpliwe jest, by współczynnik ten wahał się w dużych granicach. Stąd wniosek, że może on w sposób wystarczająco obiektywny charakteryzować stopień złożoności programu realizacji prac.

Uniwersalność programowania sieciowego sprzyja stosowaniu tego narzędzia na wszystkich szczeblach kierowania. Z drugiej strony, całkowicie zrozumiały staje się fakt, że wykonawcy poszczególnych zadań lub czynności nie muszą orientować się w realizacji sieci całego programu.

Zupełnie analogiczna sytuacja istnieje na wyższym szczeblu organizacyjnym. Tu z kolei całkowicie zbędna staje się informacja o szczegółach prac poszczególnych wykonawców. Istotny jest przy tym fakt, że przy dużej liczbie zdarzeń i czynności zatraca się jedną z podstawowych cech, a mianowicie przejrzystość.

Na każdym szczeblu zarządzania stosować należy sieci o różnej skali, i to zarówno co do zakresu oraz liczby włączanych w nią prac, jak też stopnia szczegółowości zbioru zdarzeń i czynności. Można za tym wydzielić trzy umowne stopnie szczegółowości sieci:

1. wyższe - koordynujące prace komórek naukowo - badawczych, konstrukcyjnych, projektowych itp.

2. średnie - odpowiedzialne za realizację powierzanych poszczególnym wydziałom,

3. niższe - odpowiedzialne za realizację prac w ramach działu.

Sieć zależności wyższego szczebla powinna obejmować cały projekt, przy czym obejmuje tylko zdarzenia i czynności ważniejsze w skali poszczególnych organizacji. W oparciu o taką sieć, opracowuje się sieci szczebla średniego. Wykres sieci każdej organizacji uczestniczącej w realizacji zamierzenia powinien obejmować zarówno zdarzenia i czynności będące w zakresie jej zadań, jak również te, które są z nią bezpośrednio związane i rzutują na jej udział. W oparciu o tę samą zasadę - na podstawie sieci szczebla średniego - wykonuje się wykresy szczebla niższego.

5. Konstrukcja harmonogramu

2.1 Analiza czasu trwania przedsięwzięcia.

1. Opis projektu /przedsięwzięcia/ - lista czynności

Definicja przedsięwzięcia identyfikuje je jako zbiór czynności wzajemnie powiązanych pomiędzy sobą w czasie. W praktyce oznacza to sporządzenie listy czynności opartej na elementach zbioru definiującego przedsięwzięcie.

2. Ustalenie zależności między czynnościami

Pierwszym i często najtrudniejszym pytaniem zadawanym podczas realizacji projektu jest: „czego właściwie należy dokonać?”. Istotne staje się zatem przeprowadzenie wnikliwej analizy czynności, których wykonanie składa się na realizację przedsięwzięcia.

Dalej powstaje zagadnienie następstwa: „ jakie jest miejsce czynności w całym przedsięwzięciu”. Oznacza to konieczność wyznaczenia wszystkich czynności, które muszą być zakończone, zanim rozpocznie się realizacja innych czynności i dalej, czynności następujących po tych czynnościach.

3. Pojęcie ścieżki krytycznej

Pojecie ścieżki krytycznej dotyka analizy ilościowej związanej z analizą sieciową a dokładniej wiąże się z oznaczeniem zapasu czasu dla realizacji poszczególnych zdarzeń. W wymiarze czasowym każde zdarzenie określają trzy parametry:

1. najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia zdarzenia „j” tzn. t_j,

2. najpóźniejszy dopuszczalny termin zdarzenia „j” tzn. T_j,

3. zapas czasu pomiędzy zakończeniem zdarzenia „i” a rozpoczęciem zdarzenia „j” tzn. Z_ij.

Obliczeń dokonujemy według następujących zasad:

1. najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia zdarzenia początkowego jest równy zeru,

2. najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia zdarzenia następnego „j” jest równy sumie najwcześniejszego możliwego momentu zaistnienia zdarzenia poprzedniego „i” i czasu trwania czynności prowadzącej do zdarzenia „j”, tzn. t_i-j,

3. w przypadku gdy do zdarzenia dochodzi więcej niż jedna czynność, najwcześniejszy możliwy moment zaistnienia tego zdarzenia jest równy maksymalnej z tak obliczonych wielkości, czyli t_j = max {t_i - t_i-j},

i

4. aby przedsięwzięcie zrealizować w możliwie najkrótszym czasie, przyjmuje się, że najpóźniejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia końcowego jest równy najwcześniejszemu możliwemu terminowi jego zaistnienia, najpóźniejszy dopuszczalny moment zaistnienia zdarzenia poprzedniego „i” obliczamy /poczynając od zdarzenia końcowego/ odejmując od najpóźniejszego dopuszczalnego terminu zdarzenia następnego „j” czas trwania czynności (i,j), jeśli do tego zdarzenia dochodzi więcej niż jedna czynność, wybieramy najmniejszą, czyli T_i=min{T_j - t_i-j},

5. zapas czasu dla zdarzenia stanowi różnicę między najpóźniejszym dopuszczalnym a najwcześniejszym możliwym terminem jego zaistnienia, natomiast zapas czasu dla czynności definiujemy jako: Z_ij = (T_j - t_i-j) - t_i.

DEFINICJA. Ścieżka krytyczna to taka droga realizacji czynności schematu sieciowego dla której zapas czasu czynności krytycznych jest równy zero.

Sieci zestawiane w postaci modelu, mogą być dwojakiego rodzaju: zdeterminowane i stochastyczne.

Sieć zdeterminowana to sieć, w której wszystkie czynności są wykonane w czasie tzw. dyrektywnym - nie ulega zmianie.

Sieć stochastyczna to sieć, w której pewna grupa czynności może być realizowana w czasie z określonym prawdopodobieństwem.

Modele sieciowe typu PERT należą do grupy sieci o strukturze logicznej zdeterminowanej. Jednak parametry opisujące poszczególne czynności projektu mogą mieć charakter probabilistyczny. Do oceny parametrów poszczególnych czynności wykorzystuje się wartości stochastyczne, przyjmując, że rozkład prawdopodobieństwa występowania różnych czasów trwania odpowiada rozkładowi beta, stąd wartość przeciętna zmiennej losowej t wyraża się wzorem:

t_e = (a + 4m +b)/6,

gdzie: a - czas optymistyczny /najkrótszy możliwy czas trwania czynności/,

b - czas pesymistyczny /najdłuższy dopuszczalny czas trwania czynności/,

m - czas modalny, najbardziej prawdopodobny.

Ponieważ termin zakończenia przedsięwzięcia jest wielkością losową, a planowany termin zakończenia - wielkością określoną, więc chcemy wiedzieć jaka jest spodziewana wielkość odchylenia rzeczywistego terminu realizacji od terminu końcowego wyznaczonego z sieci jakie jest prawdopodobieństwo dotrzymania terminu zakończenia przedsięwzięcia.

Aby sformułować odpowiedź na pytanie pierwsze należy obliczyć wariancje czasów trwania poszczególnych czynności:

σ²_ij = (b - a)²/6.

Ponieważ interesuje nas rząd wielkości błędu popełnionego przy wyznaczaniu terminu końcowego przedsięwzięcia, wobec tego wariancję czasów trwania obliczamy dla ścieżki krytycznej, korygując jednocześnie o jej wartość, obliczony termin zakończenia zadania.

Aby określić jakie jest prawdopodobieństwo, że przedsięwzięcie będzie zakończone w terminie założonym, skorzystamy ze statystyki χ:

χ = (t_d - t_w)/σ_tw,

gdzie: t_d - termin założony /dyrektywny/,

t_w - oczekiwany termin wykonania przedsięwzięcia /najwcześniejszy możliwy termin zdarzenia końcowego/.

Prawdopodobieństwo dotrzymania terminu założonego odczytujemy z tablic dystrybuanty rozkładu normalnego:

P{t_d ≤ t_w} = F(χ).

Wartość prawdopodobieństwa dotrzymania terminu planowanego powinna znajdować się w granicach 0,25 - 0,6. Jeśli F(χ) ≤ 0,25, to istnieje znikoma szansa dotrzymania terminu. Jeżeli F(χ) > 0,6, to istnieją nie wykorzystane moce produkcyjne do wykonania przedsięwzięcia w terminie dyrektywnym.

1. Analiza czasowo - kosztowa

Obok analizy ilościowej nie mniej ważnym zagadnieniem jest aspekt ekonomiczny realizacji projektu i możliwości modyfikacji modelu przez kompresję sieci wynikającą ze zbyt długiego dla inwestora lub odbiorcy okresu realizacji projektu. Względy ekonomiczne powodują, że należy wówczas rozpatrzyć techniczne możliwości skrócenia terminu wykonania całego programu w taki sposób, aby koszty związane z jego realizacją były jak najniższe. Określenie optymalnego terminu realizacji projektu wiązać się będzie z takim ułożeniem programu przyspieszenia, aby największa akceleracja przypadała na te czynności krytyczne, których koszty przyspieszenia będą najniższe, ponieważ każde przyspieszenie terminu wykonania czynności powoduje wzrost kosztów, a odbiorca oczekuje efektu przy minimum wzrostu kosztów.

Oznaczenia:

t_n - normalny czas trwania czynności, któremu odpowiadają najniższe koszty wykonania czynności K_n,

t_gr -czas graniczny, najkrótszy możliwy czas wykonania czynności przy koszcie granicznym K_gr.

Zakładając liniowy przebieg zależności kosztów wykonania czynności od czasu jej trwania, można wyznaczyć tzw. średni gradient kosztu S:

S = (K_gr - K_n)/(t_n - t_gr).

Współczynnik S określa przyrost kosztów wykonania czynności spowodowany skróceniem czasu wykonania czynności o jednostkę.

Algorytm kompresji sieci. Zasady skracania czasu trwania czynności krytycznych:

1. na podstawie normalnych czasów trwania czynności wyznaczyć termin końcowy oraz ścieżkę krytyczną,

2. zestawić czynności krytyczne i obliczyć dla nich gradienty kosztów S,

3. wyeliminować z zestawienia te czynności krytyczne, dla których średni gradient kosztów nie istnieje, tzn. t_n = t_gr,

4. proces skracania rozpocząć od czynności krytycznej o najniższym gradiencie kosztów S,

5. skracać czas trwania czynności o jak największą liczbę jednostek czasu, obowiązują dwa ograniczenia:

1. czas graniczny czynności t_gr,

2. pojawienie się nowej ścieżki krytycznej

Nowa ścieżka krytyczna pojawi się, jeżeli zniknie zapas czasu w ciągu czynności niekrytycznych.

6. jeżeli występują dwie lub więcej ścieżki krytyczne w sieci, należy skracać czas o tę samą wielkość na wszystkich równoległych ścieżkach krytycznych,

7. najkrótszy termin wykonania projektu uzyskuje się, gdy wszystkie czynności leżące na którejkolwiek drodze krytycznej osiągną czasy graniczne t_gr, dalsze skracanie czasu wykonania staje się wówczas niemożliwe,

8. koszty przyspieszenia na każdym etapie oblicza się jako iloczyn gradientu kosztów S dla danej czynności i liczby jednostek czasu o które czynność krytyczna została skrócona, łączne koszty przyspieszenia są sumą kosztów poniesionych na poszczególnych etapach.

2. Metody programowania liniowego w optymalizacji czasu trwania przedsięwzięcia.

1. Pojęcie modelu liniowego

Oznaczenia:

A. Wektor X = {x_i} jest zbiorem zmiennych decyzyjnych, rozumianych jako czasy trwania czynności, które mogą ulec skróceniu w „kompresowanym” modelu sieciowym, /i = 1, … n/,

B. Wektor c = [c_i], składowe c_i są kosztem poniesionym na realizacje „i” czynności w skróconym czasie x_i,

C. Wektor a = [A_i], składowe A_i są czasem realizacji „i” czynności w założonym nie skróconym czasie zakończenia przedsięwzięcia

D. Wektor C = [C_i], składowe C_i są kosztem realizacji „i' czynności w założonym nie skróconym czasie zakończenia przedsięwzięcia

E. Elementy wektora K = [k_i] to parametry funkcji kosztu wykonania przedsięwzięcia, stanowią iloraz kosztu realizacji „i” czynności C_i do założonego czasu jej trwania czynności a_i,

F. Wektor B = [b_j] stanowi ograniczenia utożsamiane z czasem zakończenia przedsięwzięcia realizowanego według wszystkich „j' możliwych ścieżek realizacji projektu,

G. Wektor A_j = [A_ij], jego składowe utożsamiane są z założonym czasem trwania „i” czynności w „j' z możliwych zbiorów czynności według którego można zrealizować projekt,

Załóżmy, że w „j” zbiorze czynności pozwalającym zrealizować przedsięwzięcie /tzw. „j” ścieżka realizacji przedsięwzięcia/ niektóre z czynności mogą ulec skróceniu, wówczas czas trwania przedsięwzięcia jest równy:

h_j l_j

Σ A_ij + Σ x_i ≤ b_j

i = 1 i = 1

Powyższa nierówność definiuje zbiór warunków wewnętrznej zgodności.

Jeśli C_i oznacza wykonanie czynności „i” w czasie A_i, to chcielibyśmy wiedzieć jaki będzie koszt c_i wykonania tej czynności w skróconym czasie x_i?.

Odpowiedź na powyżej sformułowane pytanie daje zależność:

(c_i - C_i)/C_i = 2(A_i - x_i)/A_i.

Wyznaczając z powyższej relacji c_i, otrzymujemy:

c_i = C_i (3 - 2x_i/A_i),

Stąd sumując koszty c_i poniesione w rezultacie skrócenia „i' czynności otrzymamy:

l

F(x_i) = ∑ C_i(3 - 2x_i/A_i).

i = 1

Funkcja F(x_i) osiąga minimum jeśli wartość maksymalną osiągnie składnik:

l

F(x_i) = ∑ (x_i * Ci/A_i).

i = 1

Ponadto nowe skrócone czasy trwania czynności powinny spełniać warunki brzegowe:

0 ≤ x_i ≤ A_i.

Rozwiązania {x_i}, które spełniają warunki wewnętrznej zgodności oraz warunki brzegowe tworzą zbiór rozwiązań dopuszczalnych. Spośród rozwiązań dopuszczalnych wybieramy rozwiązanie, które maksymalizuje składnik ∑ (x_i * Ci/A_i), rozwiązanie, które spełnia ten warunek jest poszukiwanym rozwiązaniem optymalnym.

W rezultacie otrzymujemy informację o „nowych” skróconych czasach trwania czynności oraz informacje o kosztach przeprowadzonej „kompresji” czasu.

6. Realizacja projektu

1. Metoda analizy sieciowej:

1. Przedstawienie i akceptacja listy czynności oraz rozwiązanie zagadnienia następstwa prowadzi do sporządzenia obrazu czynności oraz relacji jakie pomiędzy nimi zachodzą, tym samym zostaje sporządzony model sieciowy przedsięwzięcia.

2. Wyznacza się drogę krytyczną przedsięwzięcia.

3. Określenie czasu realizacji przedsięwzięcia oraz w przypadku analiz czasu i kosztu, kosztu jego realizacji.

4. Optymalizacja czasu trwania przedsięwzięcia tzw. kompresja czasu trwania czynności składowych przedsięwzięcia. Określenie kosztów „kompresji”.

2. Przygotowanie wdrożenia projektu organizacyjnego.

Po rozwiązaniu zagadnienia rzeczą naturalną jest wykorzystanie uzyskanych wyników. Jednakże ten kończący etap prac zależeć będzie od właściwości rozwiązania a w szczególności:

1. stopnia konkretności strategii,

2. pewności wyniku,

3. powtarzalności rozwiązania,

4. stopnia odwracalności,

5. trwałości rozwiązania.

7. Przykłady rozwiązań modeli sieciowych

1. Ustalanie listy czynności przyłącza do sieci nowego klienta.

Czynności

Opis czynności

A	Złożenie wniosku + komplet dokumentów
B	Analiza kosztów wykonania węzła
C	Wydanie WT, projekt umowy, negocjacje, przygotowanie i podpisanie umowy o przyłączenie
D	Rejestracja podpisanej umowy
E	Przygotowanie specyfikacji technicznej na przygotowanie projektu
F	Przygotowanie dokumentacji przetargowej na wykonanie projektu
G	Rozstrzygnięcie przetargu, podpisanie umowy z wykonawcą projektu, wykonanie projektu
H	Przygotowanie specyfikacji technicznej wykonania węzła
I	Przygotowanie i złożenie wniosku dotyczącego przetargu na wykonanie węzła
J	Przygotowanie specyfikacji przetargowej wykonania węzła + projekt umowy wykonawczej
K	Oczekiwanie na ogłoszenie przetargu w prasie
L	Rozstrzygnięcie przetargu
M	Podpisanie umowy z wykonawcą
N	Rejestracja dziennika budowy
O	Realizacja
P	Odbiór węzła
Q	Dobór ciepłomierza
R	Zlecenie na wykonanie montażu ciepłomierza
S	Dostawa, montaż i odbiór ciepłomierza
T	Przygotowanie, negocjacje i podpisanie umowy sprzedaży ciepła
U	Dostawa ciepła

2. Ustalenie zależności między czynnościami

Zestawienie czynności uzupełniono o informację o zależnościach pomiędzy czynnościami.

Czynności	Opis czynności	Czynności poprzedzające
A	Złożenie wniosku + komplet dokumentów	-
B	Analiza kosztów wykonania węzła	A
C	Wydanie WT, projekt umowy, negocjacje, przygotowanie i podpisanie umowy o przyłączenie	B
D	Rejestracja podpisanej umowy	C
E	Przygotowanie specyfikacji technicznej na przygotowanie projektu	D
F	Przygotowanie dokumentacji przetargowej na wykonanie projektu	E
G	Rozstrzygnięcie przetargu, podpisanie umowy z wykonawcą projektu, wykonanie projektu	E
H	Przygotowanie specyfikacji technicznej wykonania węzła	G
I	Przygotowanie i złożenie wniosku dotyczącego przetargu na wykonanie węzła	H,V
J	Przygotowanie specyfikacji przetargowej wykonania węzła + projekt umowy wykonawczej	H,V
K	Oczekiwanie na ogłoszenie przetargu w prasie	J,W
L	Rozstrzygnięcie przetargu	K
M	Podpisanie umowy z wykonawcą	L
N	Rejestracja dziennika budowy	M
O	Realizacja	M
P	Odbiór węzła	O,X
Q	Dobór ciepłomierza	P
R	Zlecenie na wykonanie montażu ciepłomierza	Q
S	Dostawa, montaż i odbiór ciepłomierza	E
T	Przygotowanie, negocjacje i podpisanie umowy sprzedaży ciepła	G
U	Dostawa ciepła	Y,Z,T

3. Opracowanie zestawień zdarzeń i czynności

Czynności	Opis czynności	Czas trwania tij	Czynności poprzedzające
A	Złożenie wniosku + komplet dokumentów	1	-
B	Analiza kosztów wykonania węzła	3	A
C	Wydanie WT, projekt umowy, negocjacje, przygotowanie i podpisanie umowy o przyłączenie	3	B
D	Rejestracja podpisanej umowy	3	C
E	Przygotowanie specyfikacji technicznej na przygotowanie projektu	3	D
F	Przygotowanie dokumentacji przetargowej na wykonanie projektu	1	E
G	Rozstrzygnięcie przetargu, podpisanie umowy z wykonawcą projektu, wykonanie projektu	120	E
H	Przygotowanie specyfikacji technicznej wykonania węzła	5	G
I	Przygotowanie i złożenie wniosku dotyczącego przetargu na wykonanie węzła	1	H,V
J	Przygotowanie specyfikacji przetargowej wykonania węzła + projekt umowy wykonawczej	3	H,V
K	Oczekiwanie na ogłoszenie przetargu w prasie	14	J,W
L	Rozstrzygnięcie przetargu	7	K
M	Podpisanie umowy z wykonawcą	1	L
N	Rejestracja dziennika budowy	7	M
O	Realizacja	28	M
P	Odbiór węzła	1	O,X
Q	Dobór ciepłomierza	1	P
R	Zlecenie na wykonanie montażu ciepłomierza	1	Q
S	Dostawa, montaż i odbiór ciepłomierza	2	E
T	Przygotowanie, negocjacje i podpisanie umowy sprzedaży ciepła	2	G
U	Dostawa ciepła	1	Y,Z,T

Uwaga: Czynności cykliczne.

Bywa, że konstrukcja struktury logicznej modelu sieciowego przedsięwzięcia wymaga zwrócenia uwagi na relację jaka zachodzi pomiędzy czynnościami np.„n, k, l, oraz m”. Z uwagi na akceptacje pewnych zasad o których mówiliśmy wcześniej nie można tej części schematu nakreślić tak jak poniżej:

Zasady konstrukcji modeli sieciowych wymagają wprowadzenia czynności pozornych, odzwierciedlających tylko następstwo w czasie, przy czym czas trwania jest równy zero; poprawnie wykres powinien wyglądać:

Przed czynnością „n” zostaną wykonane czynności „m, k oraz l” a jednocześnie wymagania dotyczące poprawności konstrukcji sieci zostały spełnione.

Następstwa czynności określone w zestawieniu czynności oraz zasady konstrukcji modelu sieciowego określone powyżej, nakazują wprowadzić pięć czynności pozornych, czas trwania których jest równy zero.

Czynności	Opis czynności	Czas trwania tij	Czynności poprzedzające
V	Czynność pozorna	0	F
W	Czynność pozorna	0	I
X	Czynność pozorna	0	N
Y	Czynność pozorna	0	S
Z	Czynność pozorna	0	R

Kolejne etapy analizy sieciowej:

4. Obliczenie terminów realizacji zdarzeń - określenie czasów: najwcześniejszego możliwego, najpóźniejszego dopuszczalnego oraz zapasu czasu.

5. Określenie drogi krytycznej oraz czasu zakończenia przedsięwzięcia.

Projekt reorganizacji i zatrudnienia pionu sprzedaży /PS/

Nazwa czynności	Czynności	Czynności poprzedzające	tn	tgr	Kn	Kgr
A	Analiza systemu zarządzania		7	5	12000	15000
B	Przygotowanie raportu	A	5	3	2500	3800
C	Podjęcie decyzji o zmianie organizac.	B	1	1	900	900
D	Opracowanie nowej struktury	C	14	10	15000	19000
E	Określenie kompetencji pracownik.	D	5	5	750	750
F	Symulacja funkcjonowania nowej st.	F	14	12	3500	3700
G	Weryfikacja założeń nowej struktury	E,(S),F	5	3	2000	2500
H	Zatwierdzenie nowej struktury	G	30	30	2200	2200
I	Określenie potrzeb sprzętowych	H	5	3	800	950
J	Wzory dokumentów /wew. i zewn./	H	14	10	2000	2500
K	Przetarg na zakup sprzętu	I,J	30	30	1900	1900
L	Przetarg na wykonanie dokumentów	I,(T),J	30	30	1900	1900
M	Przetarg na organizację szkoleń prac.	I,J	30	30	1900	1900
N	Szkolenie dotychczas ocena pracow. dotychczas zatrudnionych w „PS”	K,(U),L,(V),M	5	5	12000	12000
O	Ocena przydatności dotychczas prac.	N	2	2	1000	1000
P	Ogłoszenie o zatrudnieniu nowych pr	O	2	2	1000	1000
Q	Weryfikacja zgłoszeń	P	3	3	1200	1200
R	Podpisanie umów z nowo zatrudnion.	Q	3	2	500	650

Czynności: S,T,U oraz V są czynnościami pozornymi. Wprowadzenie tych czynności gwarantuje zgodność schematu sieciowego z zasadami konstrukcji takich schematów.

S	Czynność pozorna	E	0	0	0	0
T	Czynność pozorna	I	0	0	0	0
U	Czynność pozorna	K	0	0	0	0
V	Czynność pozorna	L	0	0	0	0

W oparciu o założenia zamieszczone powyżej dokonać analizy przedsięwzięcia:

1. Sporządzić schemat sieciowy przedsięwzięcia,

2. Wyznaczyć czas: - najwcześniejszy możliwy zaistnienia zdarzenia,

• najpóźniejszy dopuszczalny czas zaistnienia zdarzenia,

• zapas czasu pomiędzy czasem najpóźniejszym najwcześniejszym.

Wyznaczyć drogę krytyczną oraz czas zakończenia przedsięwzięcia,

Sporządzić harmonogram Gantta,

Wyznaczyć gradient kosztu dla czynności drogi krytycznej,

Dokonać „kompresji” czasu trwania przedsięwzięcia,

Oszacować koszt realizacji przedsięwzięcia w nowych warunkach określonych przez p-kt 6.

Przygotowanie i realizacja inwestycji

Inwestor wydzielił w całym przedsięwzięciu 12 zadań /czynności/, powierzając wykonanie każdego z nich wyspecjalizowanym przedsiębiorstwom.

Zadania	Zadania poprzedzające	Czas wykon.	Koszt realizacji
A. Opracowanie założeń		4	400.000
B. Uzyskanie niezbędnych zezwoleń	A	5	30.000
C. Przygotowanie i ogłoszenie przetargu	D	3	6.000
D. Uzyskanie gwarancji finansowych	B	6	18.000
E. Podpisanie umów na realizację zadań	B,C	3	15.000
F. Prace geodezyjne	E	1	7.000
G. Ubezpieczenie inwestycji od ryzyk bud. Montażowych	E	1	43.000
H. Wykonanie poziomu „0”, betonowanie fundamentów	F,G	6	3.500.000
I. Prace budowlane powyżej poziomu „0”	H	4	18.700.000
J. Instalacja okien, drzwi oraz elewacji	E,I	7	3.100.000
K. Odbiór inwestycji. Ubezpieczenie inwestycji od zdarzeń losowych	J	1	32.000
Razem		47	25.851.000

1. Jeśli zadania miałyby być realizowane kolejno tak jak został zdefiniowany zbiór zadań, to czas realizacji całego przedsięwzięcia trwałby 47 miesięcy. Jak należy zorganizować realizację zadań, aby czas zakończenia był minimalny? Jak długo będzie trwała cała inwestycja?

1. Określić kalendarz prac, tzn. wyznaczyć datę rozpoczęcia każdego zadania. Określić dla każdego zadania datę graniczną rozpoczęcia, aby nie został przekroczony całkowity czas realizacji przedsięwzięcia.

2. Sporządzić harmonogram zadań - wykres Gantta.

3. Zbadać możliwość realizacji przedsięwzięcia w ciągu 31, 32 lub 34 miesięcy.

4. Aby zrealizować przedsięwzięcie w czasie 31 - 34 m-cy Inwestor uzyskał deklaracje wykonawców o możliwości skrócenia czasu realizacji zadań. Niestety nie dotyczą one realizacji zadań: A, E, F, G, I, K. Skrócenie czasu wykonania zadania o 10% zwiększa koszt realizacji o 20%.

Rozwiązanie:

Model sieciowy projektu

Czynności czasu których nie można skrócić: A, E, F, G, I, K.

Czas trwania czynności: A(4),B(x₁),D(x₂),C(x₃),E(3),F(1),G(1),H(x₄),I(4),J(x₅), K(1).

Warunki brzegowe: 0≤x₁≤5, 0≤x₂≤6, 0≤x₃≤3, 0≤x₄≤6, 0≤x₅≤7.

Możliwe drogi realizacji:

A,B,D,C,E,N,J,K

A,B,L,E,N,J,K

A,B,D,C,E,F,M,H,I,J,K

A,B,D,C,E,G,H,I,J,K

A,B,L,E,F,M,H,I,J,K

A,B,L,E,G,H,I,J,K

Zależności:

4+x₁+x₂+x₃+3+0+x₅+1 ≤ 34

4+x₁+0+3+0+x₅+1 ≤ 34

4+x₁+x₂+x₃+3+1+0+x₄+4+x₅+1 ≤ 34

4+x₁+x₂+x₃+3+1+x₄+4+x₅+1 ≤ 34

4+x₁+0+3+1+0+x₄+4+x₅+1 ≤ 34

4+x₁+0+3+1+x₄+4+x₅+1 ≤ 34

Funkcja kryterium:

F = 30.000x₁/5 + 18.000x₂/6 + 6.000x₃/3 + 3.500.000x₄/6 + 3.100.000x₅/7

8. Zadania do samodzielnego rozwiązania

Zadanie 1.

1. Sporządzić model sieciowy przedsięwzięcia mającego przyłączyć nowego klienta do sieci ciepłowniczej,

2. Wyznaczyć drogę krytyczną oraz określić czas realizacji przedsięwzięcia,

3. Dokonano zmiany założeń, czasy realizacji czynności zostały określone na poziomie czasu optymistycznego, pesymistycznego i czasu modalnego. Określić czas realizacji przedsięwzięcia przyjmując dane zawarte poniżej w zestawieniu:

Nazwa czynności	Czynności	Czynności poprzedzające	top	tmod	tpes
A	Złożenie wniosku + komplet dokumentów		1	5	5
B	Analiza kosztów wykonania węzła	A	3	3	25
C	Wydanie WT, projekt umowy, negocjacje, przygotowanie i podpisanie umowy o przyłączenie	B	3	21	26
D	Rejestracja podpisanej umowy	C	3	10	183
E	Przygotowanie specyfikacji technicznej na przygotowanie projektu	D	3	15	20
F	Przygotowanie dokumentacji przetargowej na wykonanie projektu	E	1	2	3
G	Rozstrzygnięcie przetargu, podpisanie umowy z wykonawcą projektu, wykonanie projektu	E	120	150	360
H	Przygotowanie specyfikacji technicznej wykonania węzła	G	5	14	29
I	Przygotowanie i złożenie wniosku dotyczącego przetargu na wykonanie węzła	H,V	1	2	4
J	Przygotowanie specyfikacji przetargowej wykonania węzła + projekt umowy wykonawczej	H,V	3	10	16
K	Oczekiwanie na ogłoszenie przetargu w prasie	J,W	14	30	42
L	Rozstrzygnięcie przetargu	K	7	10	14
M	Podpisanie umowy z wykonawcą	L	1	3	7
N	Rejestracja dziennika budowy	M	7	10	14
O	Realizacja	M	28	40	56
P	Odbiór węzła	O,X	1	3	7
Q	Dobór ciepłomierza	P	1	3	7
R	Zlecenie na wykonanie montażu ciepłomierza	Q	1	5	14
S	Dostawa, montaż i odbiór ciepłomierza	E	2	5	10
T	Przygotowanie, negocjacje i podpisanie umowy sprzedaży ciepła	G	2	7	19
U	Dostawa ciepła	Y,Z,T	1	1	2

Zadanie 2.

Przeprowadzić analizę problemu zmiany struktury organizacji pionu sprzedaży /PS/.

Zadanie 3. Zanalizować projekt przygotowania i realizacji inwestycji.

---