Jeżeli
tzn
Uwaga!
Jeżeli obliczamy całkę typu
gdzie n,m- liczba parzysta (łącznie z 0) to mimo spełnienia warunku parzystości nie stosujemy podstawienia tgx=t ze względu na sprowadzenie funkcji wymiernej do ułamków IV- ego rodzaju w tego typu całkach wykorzystujemy dwa wzory trygonometryczne
Przykład
1.
Podstawieni uniwersalne (brak parzystości i nieparzystości
podstawienie
a) Wówczas:
Czyli
b)
czyli
Przykład
Całkowanie wybranych typów funkcji niewymiernych
1.
gdzie R(…) - wyrażenie wymierne.
Stosujemy podstawienie ax+b=tN, gdzie N-NWW (k,l,…). Podstawienie to sprowadzi całkę niewymierną do całki wymiernej.
Przykład
Całka oznaczona (Reimanna)
Niech f(x) - ograniczona funkcja w <a,b> i
Dzielimy <a,b> na n-części (niekoniecznie równych) tak, aby był spełniony warunek a=x0<x1<x2<xn=b.
Liczby xi nazywamy punktem podziału. Tworzymy n-przedziałów. <x0:x1>,…<xn-1,xn> i wówczas
xl=xl-xl-1, l=1,2,…,n będzie oznaczała długości poszczególnych przedziałów.
Niech s oznacza największą z tych długości
Nazywamy wówczas tę liczbę średnicą podziału.
Niech
- dowolny punkt
Tworzymy iloczyn
i wszystkie sumujemy. Podział przedziałów <a,b> może być wykonany na wiele sposobów. Jeżeli wówczas będzie spełniony warunek, że średnice tych podziałów będą 0 to taki ciąg podziałów <a,b> nazywamy normalnym.
Def. Jeżeli dla dowolnego ciągu normalnego podziałów przedziału <a,b> niezależnie od sposobu doboru
istnieje skończona granicy sumy:
, przy
to nazywamy ją całkę oznaczoną i oznaczmy:
Mamy więc
gdzie a,b odpowiednio dolna, górna granica całkowania.
Z def wynika że całka oznaczona jest liczbą
Interpretacja geometryczna całki oznaczonej.
Sens geometryczny całki oznaczonej przy założeniu, że f(x) jest ograniczona w <a,b> i dodatnia w tym przedziale to pole obszaru leżącego na płaszczyźnie OXY między wykresem funkcji i osią OX w pasie
Własności całki oznaczonej:
gdzie
Twierdzenie Newtona-Leibnitza
Jeżeli f(x) jest ciągła w <a,b>, a F(x) jest jej funkcją pierwotną w <a,b> to zachodzi równość:
Różnicę
zapisujemy w postaci
Całkowanie przez podstawienie dla całki oznaczonej
Jeżeli f(x) jest ciągła w <a,b> i
jest ciągła w
wraz ze swoją pochodną gdzie
,
to zachodzi wzór:
Przykład
1.
Całkowanie przez części dla całki oznaczonej
Tw. Jeżeli funkcje u(x) i v(x) są ciągłe wraz z pochodnymi u'(x) i v'(x) w <a,b> to zachodzi wzór:
Przykład:
1.
2.
Możemy obliczyć też na początku całkę nieoznaczoną, a potem skorzystać z twierdzenia Newtona-Leibnitza
mgr Barbara Pakleza Matematyka 15.03.08
Wykład 3
- 2 -