Matematyka - Wykład 3, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Matematyka


Jeżeli 0x01 graphic
tzn 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Uwaga!

Jeżeli obliczamy całkę typu 0x01 graphic
gdzie n,m- liczba parzysta (łącznie z 0) to mimo spełnienia warunku parzystości nie stosujemy podstawienia tgx=t ze względu na sprowadzenie funkcji wymiernej do ułamków IV- ego rodzaju w tego typu całkach wykorzystujemy dwa wzory trygonometryczne

0x01 graphic

Przykład

1. 0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Podstawieni uniwersalne (brak parzystości i nieparzystości

0x01 graphic
podstawienie

a) Wówczas: 0x01 graphic

Czyli 0x01 graphic

b) 0x01 graphic

czyli 0x01 graphic

Przykład

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Całkowanie wybranych typów funkcji niewymiernych

1. 0x01 graphic
gdzie R(…) - wyrażenie wymierne.

Stosujemy podstawienie ax+b=tN, gdzie N-NWW (k,l,…). Podstawienie to sprowadzi całkę niewymierną do całki wymiernej.

Przykład

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Całka oznaczona (Reimanna)

Niech f(x) - ograniczona funkcja w <a,b> i 0x01 graphic

Dzielimy <a,b> na n-części (niekoniecznie równych) tak, aby był spełniony warunek a=x0<x1<x2<xn=b.

Liczby xi nazywamy punktem podziału. Tworzymy n-przedziałów. <x0:x1>,…<xn-1,xn> i wówczas 0x01 graphic
xl=xl-xl-1, l=1,2,…,n będzie oznaczała długości poszczególnych przedziałów.

Niech s oznacza największą z tych długości 0x01 graphic

Nazywamy wówczas tę liczbę średnicą podziału.

Niech 0x01 graphic
- dowolny punkt 0x01 graphic

Tworzymy iloczyn 0x01 graphic
i wszystkie sumujemy. Podział przedziałów <a,b> może być wykonany na wiele sposobów. Jeżeli wówczas będzie spełniony warunek, że średnice tych podziałów będą 0 to taki ciąg podziałów <a,b> nazywamy normalnym.

Def. Jeżeli dla dowolnego ciągu normalnego podziałów przedziału <a,b> niezależnie od sposobu doboru 0x01 graphic
istnieje skończona granicy sumy: 0x01 graphic
, przy 0x01 graphic
to nazywamy ją całkę oznaczoną i oznaczmy:

0x01 graphic

Mamy więc 0x01 graphic
gdzie a,b odpowiednio dolna, górna granica całkowania.

Z def wynika że całka oznaczona jest liczbą

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej.

Sens geometryczny całki oznaczonej przy założeniu, że f(x) jest ograniczona w <a,b> i dodatnia w tym przedziale to pole obszaru leżącego na płaszczyźnie OXY między wykresem funkcji i osią OX w pasie 0x01 graphic

Własności całki oznaczonej:

  1. 0x01 graphic

  2. 0x01 graphic

  3. 0x01 graphic
    gdzie 0x01 graphic

  4. 0x01 graphic

  5. 0x01 graphic

Twierdzenie Newtona-Leibnitza

Jeżeli f(x) jest ciągła w <a,b>, a F(x) jest jej funkcją pierwotną w <a,b> to zachodzi równość:

0x01 graphic

Różnicę 0x01 graphic
zapisujemy w postaci 0x01 graphic

Całkowanie przez podstawienie dla całki oznaczonej

Jeżeli f(x) jest ciągła w <a,b> i 0x01 graphic
jest ciągła w 0x01 graphic
wraz ze swoją pochodną gdzie 0x01 graphic
, 0x01 graphic
to zachodzi wzór:

0x01 graphic

Przykład

1. 0x01 graphic

Całkowanie przez części dla całki oznaczonej

Tw. Jeżeli funkcje u(x) i v(x) są ciągłe wraz z pochodnymi u'(x) i v'(x) w <a,b> to zachodzi wzór:

0x01 graphic

Przykład:

1. 0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

2. 0x01 graphic

Możemy obliczyć też na początku całkę nieoznaczoną, a potem skorzystać z twierdzenia Newtona-Leibnitza

0x01 graphic

0x01 graphic

mgr Barbara Pakleza Matematyka 15.03.08

Wykład 3

- 2 -



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Matematyka - Wykład 1, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Matematyka
Matematyka - Wykład 4, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Matematyka
Matematyka - Wykład 5, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Matematyka
Makroekonomia - Wykład 5, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Makroekonomia
Makroekonomia - Wykład 6, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Makroekonomia
Makroekonomia - Wykład 7, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Makroekonomia
Makroekonomia - Wykład 2, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Makroekonomia
Makroekonomia - Wykład 3, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Makroekonomia
Makroekonomia - Wykład 4, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Makroekonomia
Mat met Wykład 1, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Materiały metalowe
Matematyka sem III wyklad 2, Studia, ZiIP, SEMESTR III, Matematyka
Filozofia wykład 2, Studia, ZiIP, SEMESTR V, Fizozofia
Stale Konstrukcujne, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Materiały metalowe
materiały metalowe zestaw 4, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Materiały metalowe, kartkówka 1
Obróbka cieplna mini, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Materiały metalowe
Mechanika lab ćw C, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Mechanika
ZESTAWY PYTAŃ Z PNOM, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Materiały metalowe, kartkówka 1
Filozofia wykład 1, Studia, ZiIP, SEMESTR V, Fizozofia

więcej podobnych podstron