Matematyka - Wykład 4, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Matematyka


  1. Pole figury płaskiej

    1. Jeżeli 0x01 graphic
      w <a,b> to:

0x01 graphic

    1. Jeżeli 0x01 graphic
      w <a,b> to:

0x01 graphic

rys

    1. Jeżeli 0x01 graphic
      w <a,c> i 0x01 graphic
      w <c,b> to:

0x01 graphic

rys

    1. Jeżeli mama obliczyć pole figury płaskiej zawartej między dwoma krzywymi 0x01 graphic
      i 0x01 graphic
      i np. 0x01 graphic
      w <a,b> to korzystamy ze wzoru:

0x01 graphic

rys

    1. Jeżeli dojdzie jeszcze jedna krzywa to:

0x01 graphic

rys

  1. Objętość bryły obrotowej.
    Jeżeli krzywa 0x01 graphic
    obrócimy wokół osi OX w przedziale <a,b> to powstanie bryła której objętość liczymy wg wzoru:

0x01 graphic

rys

  1. Długość łuku krzywej 0x01 graphic
    , 0x01 graphic
    [nie wymagane na kolowium]

0x01 graphic

rys

Przykład

1. Obliczyć pole obszaru ograniczonej krzywymi

rys

0x01 graphic
2. Obliczyć objętość bryły powstałej przy obrocie krzywej y=sinx wokół osi OX w 0x01 graphic

rys

0x01 graphic

Całka niewłaściwa w przedziale nieograniczonym:

  1. Przedział nieograniczony z prawej strony
    rys
    Niech f(x) będzie określona w 0x01 graphic
    . Wówczas 0x01 graphic
    nazywamy ją zbieżną jeżeli granica występująca we wzorze istnieje i jest skończona. W przeciwnym razie nazywamy ją rozbieżną
    Przykład:
    0x01 graphic

    Obliczyliśmy przy okazji pole między jedną gałęzią krzywej 0x01 graphic
    i osią OX dla 0x01 graphic
    .
    rys

  2. Przedział nieograniczony z lewej strony
    rys
    Niech f(x) będzie określona w 0x01 graphic
    i całkowana w przedziale <T,b) wówczas: v nazywamy ją zbieżną jeżeli granica występująca we wzorze istnieje i jest skończona. W przeciwnym wypadku nazywamy ją rozbieżną.
    Przykład
    0x01 graphic

    Tutaj obliczyliśmy pole obszaru ograniczonego krzywą wykładniczą i osią OX dla 0x01 graphic

    rys

  3. Przedział nieograniczony z obu stron
    Jeżeli 0x01 graphic
    jest określona w 0x01 graphic
    i całkowalna w przedziale <T,a> , <a,T2> to wówczas: 0x01 graphic
    . Całka jest zbieżna, o ile obydwie te całki są zbieżne jednocześnie.
    Przykład
    0x01 graphic

    Obliczyliśmy pole obszaru ograniczonego krzywą 0x01 graphic
    , osią OX w całej Dr.
    rys Wykres y(0)=1 f. parzysta
    0x01 graphic
    as pozioma obustronna y=0

  1. Całka niewłaściwa w przedziale ograniczonym

    1. Osobliwość w lewym końcu przedziału.
      Załóżmy, że f(x) jest określona w (a,b> i całkowalna w <h,b>, a<h<b i nieograniczona w (a,h) (ma osobliwość w a) . Wówczas 0x01 graphic
      .
      rys
      Całka jest zbieżna, jeżeli granica istnieje i jest skończona. W przeciwnym wypadku jest rozbieżna.
      Przykład
      0x01 graphic

      całka rozbieżna i pole dla 0x01 graphic
      jest tym razem nieskończone
      rys

    2. Osobliwość w prawym końcu przedziału
      Załóżmy, że f(x) jest określona w <a,b) i całkowalna w <a,h>, a<h<b i nieograniczona w (h,b) (ma osobliwość w b) . Wówczas 0x01 graphic
      .
      rys
      całka jest zbieżna, jeżeli granica istnieje i jest skończona. W przeciwnym razie całka jest rozbieżna.
      Przykład
      0x01 graphic

      rys
      Przykład
      Obliczyć objętość bryły powstałej przy obrocie krzywej 0x01 graphic
      dla 0x01 graphic
      wokół osi OX
      d
      0x01 graphic

      Obliczamy całkę nieoznaczoną
      0x01 graphic

mgr Barbara Pakleza Matematyka Wykład 4

29.03.08

- 4 -



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
Matematyka - Wykład 1, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Matematyka
Matematyka - Wykład 5, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Matematyka
Matematyka - Wykład 3, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Matematyka
Makroekonomia - Wykład 5, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Makroekonomia
Makroekonomia - Wykład 6, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Makroekonomia
Makroekonomia - Wykład 7, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Makroekonomia
Makroekonomia - Wykład 2, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Makroekonomia
Makroekonomia - Wykład 3, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Makroekonomia
Makroekonomia - Wykład 4, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Makroekonomia
Mat met Wykład 1, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Materiały metalowe
Matematyka sem III wyklad 2, Studia, ZiIP, SEMESTR III, Matematyka
Filozofia wykład 2, Studia, ZiIP, SEMESTR V, Fizozofia
Stale Konstrukcujne, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Materiały metalowe
materiały metalowe zestaw 4, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Materiały metalowe, kartkówka 1
Obróbka cieplna mini, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Materiały metalowe
Mechanika lab ćw C, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Mechanika
ZESTAWY PYTAŃ Z PNOM, Studia, ZiIP, SEMESTR II, Materiały metalowe, kartkówka 1
Filozofia wykład 1, Studia, ZiIP, SEMESTR V, Fizozofia

więcej podobnych podstron