1. Pole figury płaskiej

1. Jeżeli
   w <a,b> to:

2. Jeżeli
   w <a,b> to:

rys

3. Jeżeli
   w <a,c> i
   w <c,b> to:

rys

4. Jeżeli mama obliczyć pole figury płaskiej zawartej między dwoma krzywymi
   i
   i np.
   w <a,b> to korzystamy ze wzoru:

rys

5. Jeżeli dojdzie jeszcze jedna krzywa to:

rys

2. Objętość bryły obrotowej.
   Jeżeli krzywa
   obrócimy wokół osi OX w przedziale <a,b> to powstanie bryła której objętość liczymy wg wzoru:

rys

3. Długość łuku krzywej
   ,
   [nie wymagane na kolowium]

rys

Przykład

1. Obliczyć pole obszaru ograniczonej krzywymi

rys

2. Obliczyć objętość bryły powstałej przy obrocie krzywej y=sinx wokół osi OX w

rys

Całka niewłaściwa w przedziale nieograniczonym:

1. Przedział nieograniczony z prawej strony
   rys
   Niech f(x) będzie określona w
   . Wówczas
   nazywamy ją zbieżną jeżeli granica występująca we wzorze istnieje i jest skończona. W przeciwnym razie nazywamy ją rozbieżną
   Przykład:
   
   
   Obliczyliśmy przy okazji pole między jedną gałęzią krzywej
   i osią OX dla
   .
   rys

2. Przedział nieograniczony z lewej strony
   rys
   Niech f(x) będzie określona w
   i całkowana w przedziale <T,b) wówczas: v nazywamy ją zbieżną jeżeli granica występująca we wzorze istnieje i jest skończona. W przeciwnym wypadku nazywamy ją rozbieżną.
   Przykład
   
   
   Tutaj obliczyliśmy pole obszaru ograniczonego krzywą wykładniczą i osią OX dla
   
   rys

3. Przedział nieograniczony z obu stron
   Jeżeli
   jest określona w
   i całkowalna w przedziale <T,a> , <a,T₂> to wówczas:
   . Całka jest zbieżna, o ile obydwie te całki są zbieżne jednocześnie.
   Przykład
   
   
   Obliczyliśmy pole obszaru ograniczonego krzywą
   , osią OX w całej Dr.
   rys Wykres y(0)=1 f. parzysta
   
   as pozioma obustronna y=0

4. Całka niewłaściwa w przedziale ograniczonym

1. Osobliwość w lewym końcu przedziału.
   Załóżmy, że f(x) jest określona w (a,b> i całkowalna w <h,b>, a<h<b i nieograniczona w (a,h) (ma osobliwość w a) . Wówczas
   .
   rys
   Całka jest zbieżna, jeżeli granica istnieje i jest skończona. W przeciwnym wypadku jest rozbieżna.
   Przykład
   
   
   całka rozbieżna i pole dla
   jest tym razem nieskończone
   rys

2. Osobliwość w prawym końcu przedziału
   Załóżmy, że f(x) jest określona w <a,b) i całkowalna w <a,h>, a<h<b i nieograniczona w (h,b) (ma osobliwość w b) . Wówczas
   .
   rys
   całka jest zbieżna, jeżeli granica istnieje i jest skończona. W przeciwnym razie całka jest rozbieżna.
   Przykład
   
   
   rys
   Przykład
   Obliczyć objętość bryły powstałej przy obrocie krzywej
   dla
   wokół osi OX
   d
   
   
   Obliczamy całkę nieoznaczoną
   
   

mgr Barbara Pakleza Matematyka Wykład 4

29.03.08

- 4 -