Pole figury płaskiej
Jeżeli
w <a,b> to:
Jeżeli
w <a,b> to:
rys
Jeżeli
w <a,c> i
w <c,b> to:
rys
Jeżeli mama obliczyć pole figury płaskiej zawartej między dwoma krzywymi
i
i np.
w <a,b> to korzystamy ze wzoru:
rys
Jeżeli dojdzie jeszcze jedna krzywa to:
rys
Objętość bryły obrotowej.
Jeżeli krzywa
obrócimy wokół osi OX w przedziale <a,b> to powstanie bryła której objętość liczymy wg wzoru:
rys
Długość łuku krzywej
,
[nie wymagane na kolowium]
rys
Przykład
1. Obliczyć pole obszaru ograniczonej krzywymi
rys
2. Obliczyć objętość bryły powstałej przy obrocie krzywej y=sinx wokół osi OX w
rys
Całka niewłaściwa w przedziale nieograniczonym:
Przedział nieograniczony z prawej strony
rys
Niech f(x) będzie określona w
. Wówczas
nazywamy ją zbieżną jeżeli granica występująca we wzorze istnieje i jest skończona. W przeciwnym razie nazywamy ją rozbieżną
Przykład:
Obliczyliśmy przy okazji pole między jedną gałęzią krzywej
i osią OX dla
.
rys
Przedział nieograniczony z lewej strony
rys
Niech f(x) będzie określona w
i całkowana w przedziale <T,b) wówczas: v nazywamy ją zbieżną jeżeli granica występująca we wzorze istnieje i jest skończona. W przeciwnym wypadku nazywamy ją rozbieżną.
Przykład
Tutaj obliczyliśmy pole obszaru ograniczonego krzywą wykładniczą i osią OX dla
rys
Przedział nieograniczony z obu stron
Jeżeli
jest określona w
i całkowalna w przedziale <T,a> , <a,T2> to wówczas:
. Całka jest zbieżna, o ile obydwie te całki są zbieżne jednocześnie.
Przykład
Obliczyliśmy pole obszaru ograniczonego krzywą
, osią OX w całej Dr.
rys Wykres y(0)=1 f. parzysta
as pozioma obustronna y=0
Całka niewłaściwa w przedziale ograniczonym
Osobliwość w lewym końcu przedziału.
Załóżmy, że f(x) jest określona w (a,b> i całkowalna w <h,b>, a<h<b i nieograniczona w (a,h) (ma osobliwość w a) . Wówczas
.
rys
Całka jest zbieżna, jeżeli granica istnieje i jest skończona. W przeciwnym wypadku jest rozbieżna.
Przykład
całka rozbieżna i pole dla
jest tym razem nieskończone
rys
Osobliwość w prawym końcu przedziału
Załóżmy, że f(x) jest określona w <a,b) i całkowalna w <a,h>, a<h<b i nieograniczona w (h,b) (ma osobliwość w b) . Wówczas
.
rys
całka jest zbieżna, jeżeli granica istnieje i jest skończona. W przeciwnym razie całka jest rozbieżna.
Przykład
rys
Przykład
Obliczyć objętość bryły powstałej przy obrocie krzywej
dla
wokół osi OX
d
Obliczamy całkę nieoznaczoną
mgr Barbara Pakleza Matematyka Wykład 4
29.03.08
- 4 -