Jeżeli
tzn

Uwaga!

Jeżeli obliczamy całkę typu
gdzie n,m- liczba parzysta (łącznie z 0) to mimo spełnienia warunku parzystości nie stosujemy podstawienia tgx=t ze względu na sprowadzenie funkcji wymiernej do ułamków IV- ego rodzaju w tego typu całkach wykorzystujemy dwa wzory trygonometryczne

Przykład

1.

Podstawieni uniwersalne (brak parzystości i nieparzystości

podstawienie

a) Wówczas:

Czyli

b)

czyli

Przykład

Całkowanie wybranych typów funkcji niewymiernych

1.
gdzie R(…) - wyrażenie wymierne.

Stosujemy podstawienie ax+b=t^N, gdzie N-NWW (k,l,…). Podstawienie to sprowadzi całkę niewymierną do całki wymiernej.

Przykład

Całka oznaczona (Reimanna)

Niech f(x) - ograniczona funkcja w <a,b> i

Dzielimy <a,b> na n-części (niekoniecznie równych) tak, aby był spełniony warunek a=x₀<x₁<x₂<x_n=b.

Liczby x_i nazywamy punktem podziału. Tworzymy n-przedziałów. <x₀:x₁>,…<x_n-1,x_n> i wówczas
x_l=x_l-x_l-1, l=1,2,…,n będzie oznaczała długości poszczególnych przedziałów.

Niech s oznacza największą z tych długości

Nazywamy wówczas tę liczbę średnicą podziału.

Niech
- dowolny punkt

Tworzymy iloczyn
i wszystkie sumujemy. Podział przedziałów <a,b> może być wykonany na wiele sposobów. Jeżeli wówczas będzie spełniony warunek, że średnice tych podziałów będą 0 to taki ciąg podziałów <a,b> nazywamy normalnym.

Def. Jeżeli dla dowolnego ciągu normalnego podziałów przedziału <a,b> niezależnie od sposobu doboru
istnieje skończona granicy sumy:
, przy
to nazywamy ją całkę oznaczoną i oznaczmy:

Mamy więc
gdzie a,b odpowiednio dolna, górna granica całkowania.

Z def wynika że całka oznaczona jest liczbą

Interpretacja geometryczna całki oznaczonej.

Sens geometryczny całki oznaczonej przy założeniu, że f(x) jest ograniczona w <a,b> i dodatnia w tym przedziale to pole obszaru leżącego na płaszczyźnie OXY między wykresem funkcji i osią OX w pasie

Własności całki oznaczonej:

1. 
   

2. 
   

3. 
   gdzie
   

4. 
   

5. 
   

Twierdzenie Newtona-Leibnitza

Jeżeli f(x) jest ciągła w <a,b>, a F(x) jest jej funkcją pierwotną w <a,b> to zachodzi równość:

Różnicę
zapisujemy w postaci

Całkowanie przez podstawienie dla całki oznaczonej

Jeżeli f(x) jest ciągła w <a,b> i
jest ciągła w
wraz ze swoją pochodną gdzie
,
to zachodzi wzór:

Przykład

1.

Całkowanie przez części dla całki oznaczonej

Tw. Jeżeli funkcje u(x) i v(x) są ciągłe wraz z pochodnymi u'(x) i v'(x) w <a,b> to zachodzi wzór:

Przykład:

1.

2.

Możemy obliczyć też na początku całkę nieoznaczoną, a potem skorzystać z twierdzenia Newtona-Leibnitza

mgr Barbara Pakleza Matematyka 15.03.08

Wykład 3

- 2 -