Krzysztof Woźniak 30.11.2012r.

L01, grupa IV

Wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego przy pomocy wahadła rewersyjnego

1. Wstęp

Prawo powszechnego ciążenia. Przyspieszenie ziemskie oraz ciężar ciała.

Prawo powszechnego ciążenia głosi, że każdy obiekt we wszechświecie przyciąga każdy inny obiekt z siłą, która jest wprost proporcjonalna do iloczynu ich mas i odwrotnie proporcjonalna do kwadratu odległości między ich środkami.

Przyspieszenie ziemskie - przyspieszenie grawitacyjne ciał swobodnie spadających na Ziemię, bez oporów ruchu.

Pomijając przyspieszenie wywołane ruchem obrotowym ciała niebieskiego, przyjmuje się, że jest równe liczbowo natężeniu pola grawitacyjnego Ziemi. Jednostkami przyspieszenia ziemskiego są jednostki przyspieszenia.

Do obliczeń nie wymagających bardzo wysokiej precyzji przyjmuje się tzw. przyspieszenie ziemskie normalne, oznaczane g_n:

Siła ciężkości, pot. ciężar - siła z jaką Ziemia lub inne ciało niebieskie przyciąga dane ciało, w układzie odniesienia związanym z powierzchnią ciała niebieskiego. Ciężar jest wypadkową sił przyciągania grawitacyjnego i siły odśrodkowej wynikającej z ruchu obrotowego określonego ciała niebieskiego.

Budowa wahadła rewersyjnego.

Wahadło rewersyjne (czyli odwracalne) to przyrząd będący rodzajem wahadła fizycznego o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy, używany do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego.

kłada się ono z metalowego pręta, dwóch ostrzy O i O` na których można je zawieszać oraz z dwóch lub trzech metalowych brył w kształcie soczewki (by zmniejszyć opory powietrza), z których jedna może być przesuwana po pręcie, pozwala to na zmianę okresu drgań wahadła. Zastosowanie takiej konstrukcji pozwala na wyeliminowane ze wzorów wielkości trudno mierzalnych, takich jak moment bezwładności i odległość do środka masy. Przy odpowiednio dobranym położeniu masy ruchomej okres drgań wahadła dla obu zawieszeń jest jednakowy i odpowiada okresowi drgań wahadła matematycznego o długości równej odległości między osiami obrotu. Odległość ta jest nazywana długością zredukowaną wahadła. Wahadło pozwala wyznaczyć dokładnie wartość przyspieszenia ziemskiego:

Długość zredukowana - jeden z parametrów wahadła fizycznego. Jest to taka długość wahadła matematycznego, które wykonuje drgania o takim samym okresie jak dane wahadło fizyczne. Wartość długości zredukowanej wyraża się równaniem:

gdzie:

I - moment bezwładności wahadła względem osi obrotu (kg·m2),

m - masa wahadła (kg),

l - odległość od osi obrotu do środka ciężkości (m).

Równanie ruchu wahadła fizycznego.

Bryła sztywna, która może wykonywać obroty dookoła poziomej osi przechodzącej ponad środkiem ciężkości tej bryły.

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:

Przez analogię do wahadła matematycznego wzór ten zapisuje się jako:

wprowadzając wielkość długość zredukowana wahadła:

gdzie:

d - odległość od punktu zawieszenia do środka ciężkości,

g - przyspieszenie ziemskie,

I - moment bezwładności ciała względem osi obrotu,

m - masa ciała.

_{Od czego zależy okres drgań wahadła fizycznego.}

Wzór na okres drgań wahadła fizycznego dla małych wychyleń:

Widzimy więc, że okres drgań zależy od momentu bezwładności ciała względem osi obrotu, masy ciała, przyspieszenia ziemskiego oraz odległości od punktu zawieszenia do środka ciężkości.

Moment bezwładności bryły sztywnej.

Jeżeli masa m jest rozłożona w sposób ciągły w objętości V, to moment bezwładności ciała względem dowolnej osi (przechodzącej przez objętość ciała lub poza nią) obliczamy na podstawie ogólnego równania:

gdzie r jest odległością elementu masy dm od osi obrotu, ρ - lokalną gęstością ciała, zaś dV - objętością zajmowaną przez element masy dm.

W ogólnym przypadku, całkowanie po całej objętości bryły w obliczaniu momentu bezwładności może być bardzo trudne albo niewykonalne. Jeżeli jednak bryła jest symetryczna względem osi, dla której obliczamy moment bezwładności, to całkowanie może być całkiem łatwe. Przykładem może być wydrążony walec o masie M i o promieniu wewnętrznym r, a zewnętrznym R:

Jeżeli moment bezwładności I liczymy względem osi walca, to standardowo dzielimy go na nieskończenie cienkie cylindry o grubości dx i masie dm.

Moment bezwładności takiego cienkiego cylindra wynosi dI = x² dm. Dlaczego? Moment bezwładności całego walca wyniesie

Twierdzenie Steinera.

Twierdzenie Steinera - twierdzenie mechaniki oraz wytrzymałości materiałów opisujące sposób znajdowania momentu bezwładności danej bryły względem danej osi przy danym momencie bezwładności względem osi równoległej i przechodzącej przez środek masy bryły. Jego autorem jest Jakob Steiner.

Mówi, że moment bezwładności bryły sztywnej względem dowolnej osi jest równy sumie momentu bezwładności względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między tymi dwiema osiami, co można wyrazić wzorem

gdzie:

- moment bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy,

- moment bezwładności względem osi równoległej do pierwszej osi,

- odległość między osiami,

- masa bryły.

Moment bezwładności osiąga minimalną wartość, gdy oś przechodzi przez środek masy.

2. Pomiary

S [cm]	t1 [s]	t1śr [s]	T1 [s]	t2 [s]	t2śr [s]	T2 [s]	TL [s]	g [m/s^2]
40	20,03	19,98667	1,998667	23,72	23,59667	2,359667	2,179167	8,313403
				19,94							23,6
				19,99							23,47
	50			19,43					19,48	1,948	21,12	21,08333	2,108333	2,028167	9,597375
				19,53							21,06
				19,48							21,07
	60			19,34					19,37333	1,937333	20,03	20,06	2,006	1,971667	10,1553
				19,42							20,06
				19,36							20,09
	70			19,28					19,24667	1,924667	19,78	19,73	1,973	1,948833	10,39466
				19,25							19,69
				19,21							19,72
	80			19,46					19,47667	1,947667	19,65	19,67	1,967	1,957333	10,30458
				19,47							19,7
				19,5							19,66
	90			19,56					19,61	1,961	20,13	20,17	2,017	1,989	9,979072
				19,67							20,16
				19,6							20,22
	100			20,18					20,22667	2,022667	20,71	20,65333	2,065333	2,044	9,449263
				20,22							20,6
				20,28							20,65

3. Obliczenia
   Obliczeń dokonano w programie MS Excel na podstawie wzorów:
   
   
   

4. Wykres

5. Wnioski

Wykresy powinny się przeciąć w dwóch miejscach, co nie nastąpiło ze względu na nieznaczne błędy pomiarów.

---