Zespół Szkół Samochodowych im. inż. Tadeusza Tańskiego w Poznaniu
Opracował:	mgr inż. Mirosław Pietrasz
Temat:	Podstawowe funkcje logiczne

1. Funkcja logiczne I (AND)

Do przedstawienia iloczynu logicznego X np. dwu zmiennych A i B są stosowane wyrażenia:

Najczęściej używane jest pierwsze i drugie wyrażenie.
Funkcję I (AND) dwóch zmiennych boolowskich przedstawiono w tabeli prawdy 1.1.

Funkcja iloczynu logicznego przyjmuje wartość 1 wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie zmienne, A i B przyjmują wartość 1. W każdym innym przypadku iloczyn logiczny tych sygnałów wynosi 0.

A	B	X = AB
0	0	0
0	1	0
1	0	0
1	1	1

1.1 Tablica prawdy dwuargumentowej funkcji I (AND).

Rys.1.2 Realizacja fizyczna dwuargumentowej funkcji I (AND)

Operację iloczynu logicznego X, realizują szeregowo połączone klucze A i B w obwodzie elektrycznym. Napięcie baterii będzie wykorzystane do rozświecenia żarówki, tzn. X = 1 tylko wtedy, jeśli zarówno klucz A, jak i klucz B będą zamknięte, tzn. A = 1 i B = 1 (patrz rys. 1.2).

2. Funkcja logiczne LUB (OR)

Do przedstawienia sumy logicznej Y np. dwu zmiennych A i B są stosowane wyrażenia:

Najczęściej używane jest pierwsze wyrażenie.

Jeżeli na wejścia układu podamy sygnał A i sygnał B, to na jego wyjściu otrzymamy sygnał będący ich sumą A + B. Przyjmuje ona poziom 1, gdy A lub B ma poziom 1. Funkcja sumy logicznej przyjmuje wartość 0 wtedy, gdy wszystkie zmienne przyjmują wartość 0.

Funkcję LUB (OR) dwóch zmiennych boolowskich przedstawiono na rys. 2.1, który ilustruje różnicę między sumą logiczną a sumą arytmetyczną. W ostatnim wierszu tablicy widzimy, że 1 + 1 = 1 dla sumy logicznej. Liczba zmiennych sumowanych logicznie może być dowolna.

A	B	Y=A+B
0	0	0
0	1	1
1	0	1
1	1	1

Rys. 2.1 Tablica dwuargumentowej funkcji LUB (OR).

Obwód elektryczny z równolegle połączonymi kluczami A i B, które realizują operację sumy logicznej Y, jest przedstawiony na rys. 2.2. Napięcie baterii rozświeci żarówkę, tzn. Y = l, wówczas, gdy klucz A lub klucz B, lub obydwa są zamknięte (patrz rys. 2.2).

Rys. 2.2 Realizacja fizyczna dwuargumentowej funkcji LUB (OR).

3. Funkcja NIE (NOT)

Do przedstawienia negacji N np. zmiennej A są stosowane wyrażenia:

Najczęściej używane jest pierwsze wyrażenie. Symbol A odczytuje się jako „nie A” lub „A zanegowane”, lub „dopełnienie A".

Funkcja NIE (NOT) polega na inwersji (negacji) zmiennej, zamienia stan wysoki (1) na stan niski (0) lub odwrotnie. Jeżeli na wejście podamy sygnał logiczny A, to na wyjściu otrzymamy jego negację
(„nie A”). Funkcję NIE (NOT) przedstawiono na rys. 3.1.

A	N
0	1
1	0

Rys. 3.1 Tablica funkcji NIE (NOT).

4. Podstawowe prawa algebry Boole'a

W algebrze Boole'a obowiązują następujące podstawowe prawa:

Prawo przemienności mnożenia i dodawania:

a	A+B = B+A
b	A · B = B · A

Prawo łączności:

a	dodawania A+B+C = A+(B+C) = (A+B)+C
b	mnożenia A · B · C = A · (B · C) = (A · B) ·C

Prawo rozdzielczości:

a	mnożenia względem dodawania A ·(B + C) = A · B + A ·C
b	dodawania względem mnożenia A + B · C = (A + B) · (A + C)

Prawa podstawowe:

a	A + 1 = 1
b	A · 1 = A
a	A + 0=A
b	A · 0 = 0
a	A + A = A
b	A · A = A
a
b

Prawa de Morgana:

a
b

Podstawowe tożsamości algebry Boole'a:

a	A · B + A · C = A · (B + C)
b	(A + B) · (A + C) = A + B · C
a	A · B +B·C+ ·C=A·B+ -C
b	(A + B) · (B + C) · ( +C) = (A+B) · ( + C)
a	A · B + · B = B
b	(A + B) · ( + B) = B

Funkcje: sumy, iloczynu i negacji tworzą tzw. podstawowy system funkcjonalnie pełny. System funkcji logicznych nazywamy funkcjonalnie pełnym, jeśli za pomocą zasad superpozycji i podstawiania argumentów można uzyskać dowolną funkcję logiczną. Podstawowy system funkcjonalnie pełny nie jest minimalny, ponieważ sumę lub iloczyn można zrealizować za pomocą dwóch pozostałych operatorów, korzystając z praw de Morgana:

Operacja sumy logicznej jest zdefiniowana następująco:

• jeżeli co najmniej jeden z argumentów jest równy 1, to wynik jest równy 1. Zatem suma logiczna jest równa 0 tylko dla przypadku, gdy wszystkie argumenty są równe 0.

Operacja iloczynu logicznego jest zdefiniowana następująco:

• wynik iloczynu jest równy 1, wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie argumenty przyjmują wartość 1.

Operacja negacji jest operacją jednoargumentową i jest zdefiniowana, jako zmiana wartości argumentu, tj. jeśli argument ma wartość 1, to operacja ta daje w wyniku wartość 0, a jeśli argument ma wartość 0, to operacja ta daje w wyniku wartość 1.

Łatwo można wykazać, że:

• dowolna n - argumentowa funkcja logiczna jest określona dla 2ⁿ różnych kombinacji argumentów,

• liczba różnych n - argumentowych funkcji logicznych jest skończona i równa 2ⁿ.

Dowolną funkcję logiczną można wyrazić przez funkcje logiczne dwóch zmiennych.

Do funkcji takich należą funkcje:

• I (AND),

• LUB (OR),

• I - NIE (NAND),

• LUB - NIE (NOR),

• ALBO (Ex - OR),

• NIE (NOT) oraz wzmacniacz logiczny (IDENTITY).

Bibliografia:

1. http://home.agh.edu.pl/~kca/R4_Uklady_cyfrowe.doc

2. http://www.math.edu.pl/system-binarny

D:\Fronter\EiEWPS\MATERIAŁY DYDAKTYCZNE\Klasa 3 TS\Dział 01 - PODSTAWOWE UKŁADY ELEKTRONICZNE \Materiały\ 09_podstawowe funkcje logiczne.doc

4

B

A

Y = A+B

X = AB

A B

U 1

---