1. Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z prawem Hagena - Poiseuille'a, określenie spadku ciśnienia cieczy na długości przewodu oraz współczynnika oporu liniowego.

2. Zakres wymaganych wiadomości.

Dawniej ciśnienie w danym punkcie obszaru ciekłego określano jako ciężar słupa cieczy o podstawie równej jedności i wysokości odpowiadającej głębokości rozpatrywanego punktu pod powierzchnią swobodna cieczy.

Określenie to jest ścisłe w odniesieniu do cieczy znajdującej się w jednorodnym polu ciężkości.

Dopiero matematyk Leonard Euler wprowadził określenie ciśnienia jako stosunku nieskończenie małej siły do elementu powierzchniowego, na który ta siła działa.

Iloraz różnicowy
nazywamy ciśnieniem średnim, działającym na powierzchnię ΔF, a iloraz różniczkowy
- ciśnieniem w rozpatrywanym punkcie cieczy.

Ciśnienie jest wektorem zwróconym ku powierzchni, na którą działa.

Do pomiaru ciśnienia służą piezometry i manometry hydrostatyczne otwarte. Jako ciecz manometryczna stosuje się rtęć lub wodę, oraz inne ciecze nie mieszające się z wodą.

Piezometr jest najprostszym typem manometru hydrostatycznego otwartego; jest to pionowa otwarta u góry rurka szklana, połączona u dołu z obszarem cieczy pod ciśnieniem i wypełniona tą samą cieczą. Jednoramienność oraz zastosowanie tej samej cieczy odróżnia piezometry od manometrów hydrostatycznych otwartych, w których ciecz wskazująca jest na ogół inna niż ciecz, której ciśnienie mierzymy.

Barometr mierzy ciężar słupa powietrza znajdującego się w danym miejscu.

Za jednostkę ciśnienia barometrycznego obrano ciśnienie jakie wywiera słup rtęci o wysokości 760 mm umieszczony na poziomie morza na szerokości geograficznej 45° w temperaturze 0°C. Ten stan barometru przyjęto uważać za stan normalny atmosfery, a odpowiadające mu ciśnienie powietrza nazwano jedną atmosfera fizyczną ( 1 atm).

Jednostką ciśnienia atmosferycznego jest jeden pascal
.

Natężenie przepływu. Weźmy pod uwagę dowolny element powierzchniowy
, położony na dowolnej powierzchni F. Oznaczmy przez
prędkość miejscową w punkcie
, przez
rzut wektora
na kierunek
prostopadły do elementu powierzchniowego, a przez
kąt, jaki wektor
zawiera z dodatnim kierunkiem normalnej
.

Elementem natężenia przepływu nazywamy wielkość określoną wzorem

Natężenie przepływu całkowite przez powierzchnię F

Występujący w równaniach ciągłości ruchu iloczyn
przedstawia objętość cieczy przepływającej przez przekrój
w jednostce czasu. Iloczyn ten nazywamy objętościowym natężeniem przepływu lub krótko natężeniem przepływu

Mnożąc objętościowe natężenie przepływu przez gęstość cieczy otrzymujemy masowe natężenie przepływu

Wymiary natężeń przepływu:
w obu układach;

w układzie LMT.

Wielkość
występująca w tych równaniach stanowi średnią prędkość przepływu w przekroju

Natężenie przepływu i średnia prędkość przepływu należą do najczęściej występujących wielkości hydromechanicznych.

Prędkości wyrażamy najczęściej w m/s, a natężenia przepływu objętościowe w m³/sek, m³/h, 1/min i 1/sek; natężenia przepływu masowe w kg/sek.

Prawo Hagena-Poiseuille'a opisuje zależność wydatku
cieczy przepływającej ruchem laminarnym przez prostą gładką rurkę o przekroju kołowym, od spadku ciśnienia
między dwoma przekrojami rury, od średnicy rury d, odległości L między przekrojami, oraz lepkości dynamicznej η.

Zależność tę opisuje klasyczny wzór:

Powyższy wzór jest ścisłym równaniem równania NAVIERA - STOKESA dla przepływu laminarnego w rurze o przekroju kołowym. Zależność tę można przekształcić do postaci:

gdzie:

a

jest liczbą Reynoldsa.

Przekształcając powyższe wzory otrzymujemy zależność na lepkość dynamiczną

i współczynnik oporu

Na podstawie tego wzoru można określić lepkość przepływającej cieczy.

Przepływy, w których warstewki elementarne zsuwają się po sobie z oporami określonymi prawem Newtona, nazywamy przepływami uwarstwionymi lub laminarnymi.

Ciecz ściśliwą i lepką, o własnościach określonych wzorami:

nazywamy cieczą Newtona.

Powolny ruch cieczy, obserwowany przez Poiseuille'a, odbywał się w rurkach szklanych, gładkich, o nieznacznym przekroju, w których adhezyjne w znacznej mierze wpływają na spokojny charakter przebiegu zjawiska. W rurkach o nieco większych przekrojach ruch uwarstwiony tylko z trudem może być utrzymany, a po przekroczeniu pewnej wartości liczbowej średniej prędkości przepływu zasadniczo zmienia swój charakter, przybierając formę przepływu burzliwego.

Przy przepływie cieczy rzeczywistych przez rurę o kołowym przekroju stosujemy dwa wzory określające stan burzliwości:

przy czym w pierwszym z nich występuje promień rury r, a w drugim średnica wewnętrzna d.

Wzór na straconą wysokość zarówno dla ruchu laminarnego, jak i turbulentnego piszemy za zwyczaj w postaci:

,

gdzie λ jest tzw. współczynnikiem strat (na tarcie).

Dla ruchu laminarnego

(tj. K₁=63, b₁=1, K₂, K₃,...=0)

Dla ruchu turbulentnego współczynnik strat λ nie daje się określić na drodze analitycznej, jak to uczyniliśmy w przypadku ruchu laminarnego.

Dla przepływów turbulentnych współczynnik ten określa się doświadczalnie. Istnieje wiele wzorów wyrażających wartość współczynnika λ dla gładkich rur w funkcji liczby Reynoldsa.

Do najpopularniejszych należy tzw. wzór Blasiusa:

dający dobrą zgodność z doświadczeniem dla przepływów turbulentnych w granicach Re~80 000.

Szorstkość powierzchni rury wpływa na wielkość współczynnika strat tylko przy przepływach turbulentnych. W zakresie przepływów laminarnych (Re<2300) nie obserwuje się zmiany wartości tego współczynnika (
) w przypadku ścian szorstkich.

Przy każdej szorstkości względnej istnieje pewna dostatecznie duża wartość liczby Reynoldsa, powyżej której ustala się wartość współczynnika strat λ. Oznacza to, że dla każdej szorstkości istnieje zakres, w którym straty energii są dokładnie proporcjonalne do kwadratu średniej prędkości przepływu.

Natomiast Nikuradse podał następujący wzór opisujący współczynnik strat przy różnych szorstkościach:

3. Schemat stanowiska.

4. Opis przebiegu doświadczenia.

Włączyłyśmy urządzenie, po czym w rotametrze ustawiałyśmy położenie pływaka ( wskazówki ), który wskazuje wielkość strumienia objętości. Następnie odczytywałyśmy różnicę poziomów wody ( w dwóch gładkich rurkach o przekroju kołowym ), która wskazywała spadek ciśnienia Δp. Różnicę notowałyśmy. Zmieniałyśmy położenie pływaka, tym samym zmieniała się różnica poziomów wody i spadek ciśnienia. Notowałyśmy. Czynności te powtarzałyśmy 30 razy i otrzymałyśmy 30 różnych wyników.

5. Przykładowe obliczenia.

6. Tabela pomiarowa.

Lp.	Temperatura	Lepkość kinematyczna	V		U	Re	Δp		λ	η
		T [ K ]	υ [ m^2/s ]	dm^3/h	m^3/s	m/s	[-]	mH2O	N/m^2	[-]	N/m^2s
1	8°C 273 + 8 = 281 K	1,385•10^-6	190	52,77•10^-6	0,67	4837,5	0,13	1275,1	0,032	0,003
2					180	50•10^-6	0,64	4620,9	0,12	1177,0	0,032	0,003
3					170	47,222•10^-6	0,60	4332,1	0,107	1049,5	0,032	0,003
4					160	44,444•10^-6	0,56	4043,3	0,097	951,4	0,034	0,003
5					150	41,666•10^-6	0,53	3826,7	0,09	882,8	0,035	0,003
6					140	38,888•10^-6	0,50	3610,1	0,08	784,7	0,035	0,003
7					135	37,5•10^-6	0,48	3465,7	0,072	706,2	0,034	0,002
8					130	36,111•10^-6	0,46	3321,3	0,07	686,6	0,036	0,002
9					125	34,722•10^-6	0,44	3176,9	0,06	588,5	0,034	0,002
10					120	33,333•10^-6	0,42	3032,5	0,06	588,5	0,037	0,002
11					110	30,555•10^-6	0,39	2815,9	0,05	490,4	0,036	0,002
12					105	29,166•10^-6	0,37	2671,5	0,046	451,2	0,037	0,002
13					100	27,777•10^-6	0,35	2527,1	0,04	392,3	0,036	0,002
14					95	26,388•10^-6	0,34	2454,9	0,037	362,9	0,035	0,002
15					90	25•10^-6	0,32	2310,5	0,03	294,2	0,032	0,002
16					85	23,611•10^-6	0,30	2166,1	0,031	304,1	0,038	0,002
17					80	22,222•10^-6	0,28	2021,7	0,02	196,2	0,028	0,001
18					75	20,833•10^-6	0,26	1877,2	0,022	215,8	0,035	0,001
19					70	19,444•10^-6	0,25	1805,1	0,018	176,6	0,031	0,001
20					65	18,055•10^-6	0,23	1660,6	0,015	147,1	0,031	0,001
21					60	16,666•10^-6	0,21	1516,2	0,013	127,5	0,032	0,001
22					55	15,277•10^-6	0,19	1371,8	0,013	127,5	0,039	0,001
23					50	13,888•10^-6	0,18	1299,6	0,01	98,1	0,034	0,0009
24					45	12,5•10^-6	0,16	1155,2	0,009	88,3	0,038	0,0009
25					40	11,111•10^-6	0,14	1010,8	0,004	39,2	0,022	0,0005
26					35	9,722•10^-6	0,12	866,4	0,006	58,8	0,045	0,0008
27					30	8,333•10^-6	0,11	794,2	0,003	29,4	0,027	0,0005
28					25	6,944•10^-6	0,09	649,8	0,004	39,2	0,054	0,0008
29					20	5,555•10^-6	0,07	505,4	0,002	19,6	0,044	0,0005

7. Wykresy

8. Wnioski i obserwacje.