Adam Marcinkiewicz 20.11.2008

Grupa Aa

Temat: Wielkości charakteryzujące tłumienie ruchu

Ruch harmoniczny prosty

Mówimy, że ciało wykonuje ruch harmoniczny prosty, jeśli siła na nie działająca jest wprost proporcjonalna do jego wychylenia z położenia równowagi, ale skierowana przeciwnie do kierunku wychylenia, a wychylenia ciała opisywane są funkcją sinusoidalną zależną od czasu.

Zgodnie z prawem Hooka wartość siły dla małych wychyleń zapisujemy wzorem:

Gdzie:

- siła,

k - współczynnik proporcjonalności,

- wychylenie z położenia równowagi.

Równanie ruchu (skalarne dla kierunku OX) dla takiego ciała można zapisać (z II zasady dynamiki Newtona) jako:

albo w postaci różniczkowej:

Natomiast zmiana położenia ciała opisana jest funkcją

x = Asin ωt

Gdzie:

x - wychylenie punktu drgającego od położenia równowagi

t - czas

A i ω - wielkości stałe w danym ruchu, tzn. nie zależne od czasu

ω - częstotliwość kątowa

charakterystycznymi wielkościami dla ruchu harmonicznego jest

T okres [s]- czas potrzebny na przebycie pełnego cyklu

Przykłady ruchy harmonicznego prostego:

Wahadło matematyczne / wahadło torsyjne

Ruch harmoniczny tłumiony występuje wtedy, gdy na ciało działa dodatkowo siła oporu ośrodka proporcjonalna do prędkości:

Równanie ruchu ma wtedy postać:

Równanie to ma dwie klasy rozwiązań:

Oscylator przetłumiony

Gdy:

odpowiada to tak zwanemu oscylatorowi przetłumionemu - w tej sytuacji nie występuje ruch wahadłowy, a jedynie eksponencjalny zanik wychylenia z czasem.

Oscylator drgający

Gdy

Przykład ruchu harmonicznego tłumionego:

Wykres ruchu harmonicznego:

Położenie w ruchu harmonicznym nie tłumionym (zielony), tłumionym (czerwony), obwiednia ruchu tłumionego (czarny)

Dekrement logarytmiczny tłumienia - wielkość fizyczna, która charakteryzuje tłumienie drgań. Jest to logarytm naturalny stosunku amplitud dwóch kolejnych wychyleń w tę samą stronę drgającej cząsteczki z których druga amplituda następuje po pierwszej po czasie równym okresowi - T.

Dekrement logarytmiczny tłumienia jest logarytmem naturalnym stosunku dwóch amplitud odpowiadających chwilom
i

- współczynnik zwany stałą tłumienia

- początkowa maksymalna amplituda

- podstawa logarytmów naturalnych

- dekrement logarytmiczny tłumienia

Oscylator harmoniczny, wyidealizowany układ fizyczny - punkt materialny o masie m, na który działa siła proporcjonalna do chwilowego wychylenia x od pewnego położenia równowagi. co oznacza, że punkt materialny wykonuje drgania harmoniczne o częstości kołowej