Matematyka w Fizyce, Zadania, Zestaw 3.

1. Wyliczyć pochodne funkcji f(x) poprzez wykonanie przejścia granicznego Δx →0 dla ilorazu

różnicowego:

dla następujących funkcji:

a) f(x)=ax +b, b) f(x)=√x, c) f(x)=xⁿ, d) f(x)=sin(x), g) f(x)=cos(x), h) f(x)=a^x, i) f(x)=e^x, j) f(x)=x^x,

f(x)=ln(x)

2. Pokazać, że (f(x)+g(x))'=f'(x)+g'(x)

3. Pokazać, że [f(x)g(x)]'=f'(x)g(x)+f(x)g'(x)

4. Pokazać, że

5. Obliczyć pochodną funkcji złożonej
:
= f'(g(x))·g'(x)=

a)

b)

c)

d)

6. Dla następujących figur płaskich, równobocznych, o ustalonym polu powierzchni P wyliczyć

długość obwodów: trójkąt, kwadrat, pięciokąt, sześciokąt, etc. Przechodząc do granicy liczby

kątów → ∞, pokazać, że figurą płaską o najmniejszym obwodzie przy ustalonym polu powierzchni

jest koło.

7. Uprawdopodobnić stwierdzenie, że spośród rozlicznych obiektów trójwymiarowych o objętości V,

kula ma najmniejszą powierzchnię (energia powierzchniowa, kropla cieczy).

8. Promień światła emitowany z punktu A pada na lustro w punkcie B, odbija się i dociera do punktu

C. Pokazać, że dotrze tam najszybciej, gdy trajektoria przebiega tak, że kąt padania jest równy

kątowi odbicia. (prawo Snelliusa, zasada Fermata, )

9. Z punktu A wyrusza promień światła, poruszając się z prędkością V_A w ośrodku „A”, następnie

w punkcie B przechodzi do ośrodka „C” dążąc do punktu C z prędkością V_C. Wykazać, że droga

ABC będzie pokonana w najkrótszym czasie, gdy relacja pomiędzy kątem padania α, a kątem β

załamania spełnia warunek
(prawo Snelliusa, zasada Fermata). Korzystając z

załączonego rysunku znaleźć minimum (f'(t)=0) czasu potrzebnego na przebycie drogi promienia.

10. Natężenie prądu wpływającego do elektrycznego obwodu rozgałęzionego, składającego się z

dwóch oporników R_A i R_B wynosi
. Wykazać, że moc wydzielana w całym obwodzie

osiąga minimum wtedy, gdy prądy w gałęziach A i B są odwrotnie proporcjonalne do oporów R_A i

R_B :
(prawa Kirchhoffa, prawo Ohma)

11. Dwie równe, połączone przepuszczalną przegrodą objętości V₁ i V₂ zawierają N ponumerowan-

ych (rozróżnialnych) cząstek gazu. Cząstki wędrują swobodnie, każda z cząstek może z takim

samym prawdopodobieństwem znaleźć się w V₁ lub V_2. Rozważyć najpierw rozkład N=4 cząstek,

przejść następnie do większej ich liczby, np. 5. Pokazać, że najbardziej prawdopodobny jest

rozkład równomierny: N(V₁)=N(V₂) (ekstremum funkcji rozkładu, równowaga termodynamiczna

w ujęciu fizyki statystycznej, proszę zapoznać się z pojęciami mikrostanu i makrostanu: pomocny

podręcznik A.K. Wróblewski, J.A. Zakrzewski - Wstęp do fizyki)

Zwiększenie liczby absolwentów innowacyjnych kierunków studiów:

Zaawansowane materiały i nanotechnologia oraz Studia matematyczno-przyrodnicze

Projekt współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Strona1

---