Sprawozdanie z ćwiczenia nr 1 TEMAT: Wyznaczenie momentu bezwładności i sprawdzenie twierdzenia Steinera.	Laboratorium z fizyki ogólnej Instytut fizyki Politechniki Wrocławskiej
Mateusz Olejnik	Data wykonania ćwiczenia: .V.2000. Prowadzący: mgr Grażyna Jaworska
Wydział: ME Rok: 2	OCENA:

1. Celem ćwiczenia jest :

a) stwierdzenie zależności okresu drgań wahadła od momentu bezwładności

b) doświadczalne potwierdzenie doświadczenia Steinera

c) wyznaczenie momentu bezwładności ciał względem osi przechodzącej przez środek masy

2. Wiadomości wstępne:

Podstawą całego doświadczenia jest twierdzenie Steinera które mówi że: różnica momentów bezwładności ciała względem dwóch równoległych osi, z których jedna przechodzi przez środek masy, równa jest iloczynowi masy ciała m i kwadratu odległości d miedzy osiami: . Moment bezwładności I dany jest zależnością: , natomiast jest momentem bezwładności względem osi przechodzącej przez środek masy ciała. Natomiast moment bezwładności z definicji wyraża się wzorem gdzie r jest odległością elementarnej masy dm od środka masy ciała.

Z twierdzenia Steinera wynika bardzo ważny wniosek a mianowicie, że dla dwóch różnych odległości d₁ i d₂ od osi przechodzącej przez środek masy ciała mamy: a podstawiając wzór na I otrzymujemy: Powyższa zależność oraz wynikająca z niej stała wartość C posłuży mi jako dowód twierdzenia Steinera. Korzystając z tej stałej możemy w łatwy sposób obliczyć .

3. Model doświadczenia:

Modelem w wykonywaniu doświadczenia będzie wahadło fizyczne (metalowa tarcza z symetrycznie nawiercanymi otworami oraz pierścień metalowy) zawieszone na metalowej podporze, okres drgań będzie mierzony stoperem elektronicznym, natomiast masa ciał wagą laboratoryjną elektroniczną.

4. Przebieg doświadczenia:

POMIAR DLA TARCZY Z OTWORAMI

a) Pomiar podwojonej odległości od osi obrotu do środka masy tarczy:

2d₁=149,76 [mm] 2d₂=100,12 [mm] 2d₃=50,36 [mm]

b) Średni okres drgań (czas trwania 100 drgań):

Tabela pomiarowa :

		d1			d2			d3
	100T [min]	T [s]	T [s]	100T [min]	T [s]	T [s]	100T [min]	T [s]	T [s]
1	1,09,02	0,6902	0,00365	1,08,40	0,6840	-0,0016	1,18,25	0,7825	-0,00485
2	1,10,07	0,7007	-0,00485	1,08,42	0,6842	-0,0018	1,16,48	0,7648	0,01285
3	1,09,77	0,6977	-0,00185	1,07,69	0,6769	0,0055	1,18,24	0,7824	-0,00475

T₁=0,69585 =1,6*0,0018567 T₂=0,6824 =1,6*0,0018362 T₃=0,77765 =1,6*0,0043082

T₁=0,696 0,003 [s] T₂=0,682 0,003 [s] T₃=0,778 0,007 [s]

c) Obliczenie stałej C:

C=

C₁=0,35568 - 0,22135 = 0,13432 m² C₁=0,05507 m²

C₂=0,22868 - 0,09893 = 0,12974 m² C₂=0,03275 m²

C₃=0,14938 - 0,02503 = 0,12434 m² C₃=0,06986 m²

C= 0,12946 m² C=0,05256 m²

C=0,130 C=0,053 [m²]

d) Masa tarczy: m=1061,5 g

e) Na podstawie równania obliczam moment bezwładności ciała względem osi

środkowej:

I₀= 3,48093 gm² I₀= =1,41356 gm²

I₀=3,48 1,42 [gm²]

POMIAR DLA PIERŚCIENIA METALOWEGO

a) Pomiar podwojonej odległości od osi obrotu do środka masy pierścienia:

2d= 104,42 [mm]

b) Średni okres drgań (czas trwania 100 drgań):

Tabela pomiarowa

		d
	100T [min]	T [s]	T [s]
1	1,07,73	0,6773	-0.00352
2	1,07,71	0,6771	-0,00332
3	1,0743	0,6743	-0,00520
4	1,06,60	0,6660	0,00778
5	1,07,72	0,6742	-0,00420

T=0,67378 =1,5*0,0025359

T=0,674 0,004 [s]

c) Masa pierścienia: m = 221,6 g

d) Wyznaczam moment bezwładności pierścienia względem osi obrotu korzystając z zależności: = 1,30517 I==0,0012652

I=1,305 0,002 [gm²]

e) Korzystając z twierdzenia Steinera obliczam moment bezwładności pierścienia względem osi przechodzącej przez środek masy:

= 1,30517 - 0,60405= 0,70111 gm² 0,002 gm²

f) Obliczam moment bezwładności z tablicowego wzoru .

r = 0,05221 m 0,00005 m R = 0,05976 m 0,00005 m m = 221,6 g 0,1 g

I₀ = 0,69772 I₀= = 0,0015554

I₀=0,698 0,002 [gm²]

Z wyników obliczeń ( punkty e) i f) ), wynika, że moment bezwładności wyznaczony metodą doświadczalną pokrywa się z wynikiem wyznaczonym ze wzoru , co jest potwierdzeniem poprawności wykonania doświadczenia.

5. Ocena dokładności pomiarów:

Pomiary gabarytowe oraz waga ciała były pomiarami pojedynczymi z przyjętym błędem narzędzia pomiarowego. Pomiar okresu dla zwiększenia dokładności był wykonany dla stu okresów, a oprócz tego wykonany został kilka razy. Taka ilość wyników pomiaru pozwoliła oszacować średni okres wraz z błędem na podstawie metody F-Studenta (przyjęty poziom ufności 80% - współczynnik N=1,6 (1,5) ). Błędy wyników złożonych obliczyłem metodą różniczki zupełnej.

6. Symbole użyte we wzorach:

1. I [gm²] - moment bezwładności

2. T [s] - czas trwania jednego okresu

3. g [m/s²] - wartość przyspieszenia ziemskiego

4. m [g] - - masa ciała

5. d [m] - - odległość osi obrotu od osi przechodzącej przez środek masy

6. C [m²] - stała wartość wynikająca z twierdzenia Steinera

7. = t_N - odchylenie standardowe średniej

8. N - liczba pomiarów

9. - poziom ufności

10. t_N - współczynnik F-Studenta

7. Wnioski:

Potwierdzeniem założenia Steinera, jest stała C która została obliczona dla różnych okresów i różnych odległości od osi przechodzącej przez środek masy ciała. Jest ona stała w granicach błędu i jej średnia wartość wynosi C=0,130 C=0,053 [m²] . Stała ta może mam posłużyć między innymi do wyliczenia momentu bezwładności ciała względem osi przechodzącej przez środek masy. Zależnością określającą okres drgań od momentu bezwładności jest następująca . Innym ważnym wzorem jest wzór „tablicowy” momentu bezwładności dla pierścienia i także w tym przypadku występuje pełna zgodność (w granicach błędu) między tym wzorem a wynikiem uzyskanym w sposób doświadczalny i obliczonym ze wzoru Steinera .

Wyznaczanie momentu bezwładności i sprawdzanie tw Steinera Ćwiczenie nr 1

1

---