_	POLITECHNIKA ZIELONOGÓRSKA PRACOWNIA FIZYKI	SPRAWOZDANIE Z ĆWICZENIA TEMAT : Wyznaczanie modułu sztywności na skręcanie metodą dynamiczną
Swadowski Paweł		Data 09.06.2000	Zaliczenie :
Wydz. Elektryczny Grupa 13 B		Nr ćw. 2

WSTĘP TEORETYCZNY

1. Drgania oscylatora harmonicznego.

Drgania tłumione.

Ruch drgający jest tłumiony wskutek oporów ośrodka .Równanie różniczkowe ma postać:

lub

Otrzymujemy

dla
tłumienie jest słabe i rozwiązanie ma postać :

-amplituda drgania tłumionego

β - stała zaniku

Po upływie jednego okresu (t=T) amplituda maleje do wartości A₁=Ae^-βT , a po upływie czasu równego n-okresom (t=nT) amplituda drgań maleje do :

A_n=Ae^-nβT = Ae^-nλ βT=λ
dekrement logarytmiczny tłumienia

dla
-ruch aperiodyczny

-tłumienie jest bardzo silne i ruch przestaje być okresowym . Ciało nie przekracza linii równowagi gdy zostaje mu nadane wychylenie.

dla
-drgania tłumione krytycznie

Drgania wymuszone.

Niech siła wymuszająca F=F₀cosωt . Wówczas równanie różniczkowe drgania wymuszonego wynosi :

Rozwiązaniem równania jest:

x=Acos(ωt-ϕ) gdzie : A=

a tgϕ=

2. Wahadła fizyczne jako oscylatory harmoniczne. Wahadło fizyczne grawitacyjne-jest to bryła sztywna mogąca obracać się dookoła osi nie przechodzącej przez środek ciężkości .

Gdy środek ciężkości S odchylony jest o kąt α od linii pionowej przechodzącej przez punkt zawieszenia O na bryłę działa moment :

gdzie d -odległość OS

Jeśli kąt odchylenia jest mały możemy przyjąć sinα=α

Wtedy moment siły wynosić będzie:

D=Pd -moment kierujący

← równanie to ma rozwiązanie
→ oznacza ono ruch

harmoniczny o częstości

3. Zastosowanie wahadła torsyjnego do wyznaczania modułu sztywności .

Drewniana rama posiada w górnej swej częsci uchwyt metalowy , w którym jest umocowany badany drut . Do jego dolnego końca przymocowuje się wibrator , w póżniejszym etapie pomiarów dodatkowe obciążenie . Odpowiednie przeprowadzenie pomiarów pozwala wyeliminować trudny do obliczenie moment bezwładności wibratora

I₀ . Wyznaczamy najpierw okres drgań nieobciążonego wibratora

następnie - obciążonego dodaniem masy o znanym momencie bezwładności B

Odejmując stronami obydwa równania otrzymujemy

Ponieważ

współczynnik sztywności wynosi:

W naszym przypadku znamy I które wynosi

więc współczynnik sztywności obliczamy ze wzoru:

4. Rodzaje odkształceń . Prawo Hooka .

Rodzaje odkształceń:

• Związane ze zmianą długości : za miarę przyjmuje się względny przyrost długości ε

• idealne odkształcenie objętościowe (kształt zostaje zachowany , natomiast gęstość ulega zmianie) . Za miarę przyjmujemy przyrost objętości θ:

• idealne odkształcenie postaciowe(gęstość pozostaje niezmienna , zmianie podlega kształt)

Na górną ścianę sześcianu BEHD działa siła F wywołując przesunięcie się warstwy górnej względem niżej położonych . Towarzyszy temu przesunięcie ścian bocznych o kąt γ względem pierwotnego położenia . Za miarę tego odkształcenia przyjmujemy:

gdzie B' jest przesuniętym wierzchołkiem B

Prawo Hooka .

Stosunek naprężenia do związanego z nim odkształcenia jest wielkością stałaą dla danego

materiału . Stosunek ten nazywamy modułem sztywności .

Prawo Hooka dla różnych odkształceń :

• związane ze zmianą długości:

gdzie :σ-ciśnienie (naprężenie) normalne

E-moduł Younga

• idealne objętościowe:

gdzie :K-moduł sprężystości objętościowej

• idealne postaciowe:

gdzie :G-moduł sprężystości postaciowej .

Obliczenia

Moduł skręcający obliczyłem ze wzoru

Rachunek błędów

Błąd średni kwadratowy.

Błąd średni kwadratowy
określa się szukając miary współczynnika dokładności
, przy której równoczesne pojawienie się błędów x₁, x₂, ... , x_n jest jak najbardziej prawdopodobne. Z założenia tego otrzymujemy warunek:

Wielkość znajdującą się po prawej stronie przyjęto nazywać błędem średnim kwadratowym
pojedynczego pomiaru. Na tej podstawie można przyjąć:

lub:

jeśli
wyrażamy w zależności od błędów liczonych względem średniej arytmetycznej, co zwykle ma miejsce.

Błędy pomiaru okresów drgań
oraz
obliczone zostały ze wzoru Gaussa na błąd średni kwadratowy wartości średniej.

Błąd pomiaru
określony został również ze wzoru Gaussa.

Błąd pomiaru modułu sztywności
wyznaczony metodą pochodnej logarytmicznej.

---