Ćwiczenia dynamika12 -46-
Środek masy punktów materialnych
(a)
Środek masy ciała jednorodnego
(b)
Obliczyć położenie środka masy m względem osi z, y (rys.42) jednorodnego cienkiego pręta AB. Współrzędne końców pręta mają wartości: yA = 2 m, zA = 2m , yB = 3 m,zB = 3 m.
Rozwiązanie
z B
ds
A zB ds dz
z
zA
dy
0 α y
yA
y Rys. 42
yB
,
,
,
z równania (b)
Przykład 43 - 47 -
Obliczyć położenie środka masy dla płaskiego cienkościennego pierścienia o promieniu r
leżącego w płaszczyźnie yz. Pierścień ma masę m.
Rozwiązanie
z
dα z
ds
α
y ds
0 y
r
z
Rys. 43
0 y
cosα
+1
0 π 2π α
- 1
Zasada ruchu środka masy
- 48 -
Przykład 44
Dwa ciała o masach m1 i m2 połączone nierozciągliwą bezmasową liną przerzuconą przez krążek C, ślizgają się po idealnie gładkich płaszczyznach prostokątnego klina (α1 = 250,
Rys.44), opierającego się podstawą AB na gładkiej płaszczyźnie. O ile przesunie się klin po poziomej płaszczyźnie, jeżeli ciało o masie m2 przesunie się po ścianie CB w górę o Δh. W chwili początkowej układ pozostawał w spoczynku. Masa klina m3 = 2m1 = 4m2.
z
C
Δh
Δh
m1 m2
α1 α2
A B
y
m1g m2g
R m3g
α2 = 900 - 250 = 650
Rys. 44
,
gdzie
dla t = 0
bo układ był w spoczynku stąd D1 =0 a więc
stąd
wiemy że ogólnie
dla t1 i t2 mamy
dla położenia ciała dla t1, a dla t2
(a)
Odejmując stronami równania (a) otrzymujemy:
oznaczmy
jest to przemieszczenie klina
Przemieszczenie ciała m1
Przemieszczenie ciała m2
Przykład 45 - 49 -
Dwa punkty materialne o masach m1 = 2 kg i m2 = 6 kg poruszają się z prędkością V1 = 4 m/s
i V2 = 1 m/s. Po pewnym czasie nastąpiło zderzenie obu punktów materialnych. Przy założeniu, że od chwili zderzenia oba punkty materialne poruszają się złączone, określić wspólną prędkość tych punktów materialnych. Rozwiązanie przeprowadzić przy założeniu, że
punkty materialne poruszają się po idealnie gładkiej poziomej powierzchni (rys.45).
m2 + m1
V12 V2 m2 V1 m1
Rys.45
Rozwiązanie
Pęd układu punktów materialnych przed zderzeniem
po zderzeniu
Ponieważ
a wiadomo że
to stąd
czyli
a wiec
stąd
Przykład 46
Dane jest ciało o masie m, wyprowadzić wzór na kręt tego ciała względem osi z, jeżeli wiadomo, że prędkość kątowa tego ciała względem osi obrotu z wynosi ω (rys.46).
z
ω
0 y y
R V x R Vx V
dm α
r Vy
dm
z
y x Rys.46
x Rozwiązanie
Definicja krętu
- 50 -
,
,
Naszym zadaniem jest wyprowadzenie wzoru na kręt względem osi obrotu z
gdzie Jz nazywamy momentem bezwładności ciała m względem osi z
i ma postać