Sprawozdanie z ćwiczenia numer 1.	Student: Krzysztof Miśta Wydział: Elektroniki Kierunek: AiR Rok: I
Temat: Wyznaczanie momentu bezwładności ciał metodą wahadła fizycznego. Sprawdzenie twierdze- nia Steinera.
Data wykonania pomiarów: 08.03.2000	Ocena:

Celem ćwiczenia jest doświadczalne sprawdzenie twierdzenia Steinera oraz zależności okresu drgań wahadła od jego momentu bezwładności.

Wykaz zadań i narzędzi pomiarowych

Część doświadczalna ćwiczenia polegała na zmierzeniu okresu drgań wahadeł fizycznych - pierścienia cylindrycznego oraz tarczy kołowej z otworami ( w tym

drugim przypadku dla czterech różnych odległości osi obrotu od osi środkowej 2d ).Każdego pomiaru dokonano dla stu okresów ( dla większej dokładności ) a

próby powtarzano trzykrotnie. Konieczne było również zmierzenie niektórych własności wahadeł - mas oraz wymiarów geometrycznych.

 Okresy drgań mierzono za pomocą stopera.

 Wymiary oraz odległości osi obrotu od osi

środkowych zostały wyznaczone suwmiarką.

 Do pomiaru masy użyto wagi elektronicznej..

Zestawienia wyników pomiarów i obliczeń

- TARCZA KOŁOWA Z OTWORAMI

m[g]	 m[g]
1061,3	0,1

2d = 139,5 (+,-) 0,1 [mm]
Pomiar	100T [s]	T [s]
1	69,31	0,6931
2	69,60	0,6960
3	69,26	0,6926
średnia	69,39	0,6939

2d = 90,3 (+,-) 0,1 [mm]
Pomiar	100T [s]	T [s]
1	68,11	0,6811
2	67,92	0,6792
3	67,67	0,6767
średnia	67,90	0,6790

2d = 40,6 (+,-) 0,1 [mm]
Pomiar	100T [s]	T [s]
1	79,25	0,7925
2	79,57	0,7957
3	79,47	0,7947
Średnia	79,43	0,7943
2d = 108,6 (+,-) 0,1 [mm]
Pomiar	100T [s]	T [s]
1	68,76	0,6876
2	68,42	0,6842
3	68,73	0,6873
Średnia	68,63	0,6863

- PIERŚCIEŃ CYLINDRYCZNY

m[g]	 m[g]
215,5	0,1

Pomiar	Średnica wewnętrzna [mm]	Grubość Pierścienia [mm]	Średnica Zewnętrzna [mm]	Wysokość pierścienia [mm]
1	95,0	7,2	109,4	11,0
2	94,9	7,2	109,3	11,0
3	95,0	7,2	109,4	11,0
Średnia	94,96	7,2	109,36	11,0

2d = 94,96 (+,-) 0,1 [mm]
Pomiar	100T [s]	T [s]
1	66,92	0,6692
2	66,67	0,6667
3	66,78	0,6678
Średnia	66,79	0,6679

Wyniki oraz przykłady obliczeń

• TARCZA KOŁOWA

Stałe C1, C2, C3, C4 dla różnych odległości d oraz ich średnia:

2d [mm]	Stała	Wartość stałej [m^2]
139,5	C1	0,1375
90,3	C2	0,1238
40,6	C3	0,1093
108,6	C4	0,1346
Wartość średnia stałej	C	0,1263

 Przykładowe obliczenie stałej ze wzoru: C = T²gd - 4^d²

C₁ = T₁²gd₁ - 4^d₁² = (0,6939)²*9,81*0,06975 - 4*(3,14)²*(0,06939)² [m²]

C₁ = 0,1375 [m²]

 Obliczenie momentu bezwładności względem osi środkowej tarczy ze

wzoru:

I_C = (m / 4²)C

IC = (1,0613 / (4*3,142))*0,1263 [kgm2]

IC = 0,0033 [kgm2]

Błędy pomiaru stałej C oraz momentu bezwładności IC

C1 [m^2]	0,00957
C2 [m^2]	0,00611
C3 [m^2]	0,00362
C4 [m^2]	0,00734
Wartość średnia C [m^2]	0,00666

Obliczenia I_C oraz przykładowe wyliczenie C₁

 C₁ = 2*0,6939*9,81*0,06975*0,01 + ( (0,6939)²*9,81

-0,1395*4*(3,14)² )*0,0001 = 0,00957 [m²]

 I_C = (1,0613*0,00666) / (4*(3,14)²) + (0,1263*0,0001) / (4*(3,14)²) [kgm²]

- PIERŚCIEŃ

 Obliczenie momentu bezwładności pierścienia względem osi środkowej

przy wykorzystaniu twierdzenia Steinera

Najpierw ( w oparciu o dokonane pomiary ) należy policzyć moment

bezwładności względem osi obrotu równoległej do osi środkowej i oddalonej

od niej o odległość d korzystając ze wzoru :

I = T²mgd / (4²)

I = (0,6679)²*0,2155*9,81*0,04748 / (4*3,14)² [kgm²]

I = 0,00113 [kgm²]

Z twierdzenia Steinera obliczamy I_C ze wzoru: I_C = I - md²

I_C = 0,00113 - 0,2155*(0,04748)² [kgm²]

I_C = 0,00064 [kgm²]

• Obliczenie głównych środkowych momentów bezwładności ze wzorów:

I_X = I_Y = I_Z /2 + mh² /12

I_Z = (m/2)(R₁² + R₂²) gdzie oś 0z jest równoległą do bocznej

powierzchni pierścienia , zaś osie 0x

oraz 0y są do niej prostopadłe ( począ-

tek układu w środku masy ciała ).

I_X = I_Y = 0,00025 +(0,2155*(0,011)²) /12 = 0,00025 [kgm²]

I_Z = (0,2155/2)*(0,04748² + 0,05468²) = 0,00056 [kgm²]

IC [kgm^2]	0,00064
IZ [kgm^2]	0,00056

C [m^2]	0,1188
C [m^2]	0,0062

_{ Obliczenie IC}

I_C = (0,2155*0,0062) / (4*(3,14)²) + (0,1188*0,0001) / (4*(3,14)²) =

= 0,000034 [kgm2]

 Wnioski

Pewne rozbieżności w wynikach dokonanych pomiarów wynikały z niedoskonałości urządzeń pomiarowych , jak również z subiektywnej

oceny samych obserwatorów. Za dokładność pomiaru przyjąłem :

~ wymiary geometryczne 0,1 [mm]

~ masa ciała 0,1 [g]

~ okresy drgań 0,01 [s ]

Przy liczeniu niedokładności stałych oraz środkowych momentów bezwładności

korzystałem z metody różniczek zupełnych ze wzorów:

C = | 2Tgd  + | ( T²g - 2d4² )d |

    Cm / (4²) | + | Cm / (4²) |

---