Tomasz Pajączkowski

03.04.2001

Ćwiczenie nr 5

Temat: Badanie ruchu obrotowego bryły sztywnej i wyznaczanie momentu bezwładności przyrządu na przykładzie wahadła Oberbecka.

Tabele wyników:

	t [s]	ε	ε²
1	21	-0,44	0,190
2	21,4	-0,04	0,002
3	21,6	0,16	0,026
4	21,5	0,06	0,004
5	21,6	0,16	0,026
6	21,3	-0,14	0,020
7	21,4	-0,04	0,002
8	21,5	0,06	0,004
9	21,6	0,16	0,026
10	21,5	0,06	0,004
	Σ 214,4		Σ 0,304

Teoria zjawiska:

Ruch bryły sztywnej może się składać z ruchu postępowego i ruchu obrotowego. W ruchu postępowym bryła może być uważana za punkt materialny, gdyż wszystkie jej części poruszają się w taki sam sposób. Fakt ten pozwala stosować przy dynamicznym opisie ruchu postępowego bryły sztywnej zasady dynamiki dla punktu materialnego. Zasady dynamiki dla ruchu obrotowego sformułowane zostały poniżej, gdyż inne wielkości dynamiczne decydują o charakterze i przebiegu tego ruchu. Wielkości tymi są: moment siły -jest wielkością wektorową równą iloczynowi wektorowemu wektora położenia punktu przyłożenia siły i wektora siły działającej na bryłę ( M = r x F ). Zgodnie z definicją iloczynu wektorowego powyższy wzór ma postać: M = r sinφ F.

Kolejną wielkością dynamiczną związaną z ruch obrotowy bryły sztywnej jest moment pędu. Moment pędu bryły równa się iloczynowi jej prędkości kątowej ω i momentowi bezwładności I ( L = I ω ). Momentem bezwładności I względem danej osi nazywamy sumę iloczynów mas poszczególnych punktów i kwadratu ich odległości od danej osi ( I = Σ m_ir² ).

W związku z powyższym zasady dynamiki dla ruchu obrotowego mają następującą postać:

Pierwsza zasada dynamiki ruchu obrotowego:

Bryła sztywna nie poddana działaniu momentu siły pozostaje w spoczynku lub obraca się ruchem jednostajnym.

Druga zasada dynamiki ruchu obrotowego:

Bryła, na którą działa moment siły porusza się ruchem obrotowym przyspieszonym. Zatem moment siły działającej na bryłę sztywną jest równy iloczynowi momentu bezwładności I tej bryły i jej przyspieszenia kontowego. M = I·ε

Trzecia zasada dynamiki ruchu obrotowego:

Jeżeli bryła A działa na bryłę B pewnym momentem siły M_AB, to bryła B działa na bryłę A równym co do wartości, kierunku lecz przeciwnie skierowanym momentem siły -M_BA.

Zasada zachowania pędu:

Jeżeli moment sił działających na bryłę jest równy zero, to całkowity pęd tego układu jest wielkością stałą. M=0 L= Constans ( M = dL/dt )

Opis metody:

Wahadło Oberbecka ma kształt krzyżaka, na którego ramionach osadzone są walce. Na oś krzyżaka o promieniu r nawija się sznurek. Na końcu sznurka zamocowany jest ciężarek o masie m. Mierząc czas opadania ciężarka na drodze h wyznaczamy moment bezwładności ze wzoru: I = mr[(gt²/4πN) - r] wyprowadzonego poniżej.

Wzory robocze:

a·m = Q - N

N·r = M >> N =M/r

a·m = m·g - M/r

a·m = m·g - Iε/r

Iε/r = - a·m + m·g

I = mr·( g - a)/ε ε = a/r

I = mr²·( g - a )/a

I = ( g/a - 1)·mr² 2πrN = at²/2 , 4πrN = at² , a = 4πrN/t²

I = ( gt²/4πrN - 1 )·mr² = ( gt²/4πN - r )·mr

Opis wykonanego ćwiczenia:

Pierwszą czynnością jaką wykonałem zanim przystąpiłem do wykonywania właściwego eksperymentu było zmierzenie średnicy walca ( wału ) na którym zamocowany jest krzyżak. Czynność tę powtórzyłem pięciokrotnie, za każdym razem obracając walec o niewielki kąt. Po wykonaniu powyższej czynności przystąpiłem do przeprowadzenia właściwego ćwiczenia.

Pierwsza seria pomiarów czasu spadania ciężarka wykonana była dla tej samej liczby zwojów nici ( 10 ), do której był on przymocowany, nawiniętych na wał. Tak więc wysokość z jakiej spada ciężarek równa była 0,44 m; obliczona zgodnie ze wzorom h = 2πrN.

Druga seria pomiarów czasu wykonana była dla różnej liczby zwojów nici.

Otrzymane wartości zebrane podczas wykonywanego ćwiczenia zebrałem w powyższych tabelach a następnie na ich podstawie dokonałem końcowych obliczeń, sporządziłem wykres zależności H(t²) i wyciągnąłem końcowe wnioski.

Obliczenia:

r _średnie = ( Σ d/2 )/5 = 0,00705 m

Moment bezwładności wahadła wyznaczony z powyższego wzoru:

I = 2,53·10^-2 kg·m²

Szacowanie niepewności pomiaru:

Δx(m) = 10^-3 kg

UC(m) = Δx(m)/31/2 = 0,58·10-3 kg

Δx(r) = 0,05·10^-3 m

U_C(r) = Δx(r)/3^1/2 = 0,029·10^-3 m

U_C(g) = 0,0058 m/s²

UC(N) = 1/31/2 = 0,58

U_A(t) = [Σε²/(10(10-1))]^1/2 = 0,058 s

U_B(t) = 0,01/3^1/2 = 0,0058 s

U_C(t) = 0,058 s

^{{ ðI/ðm = r [ (gt²/4πN) - r] = 0,25 m² }²= 0,064 m4}

{ ðI/ðr = m [ (gt²/4πN) - 2r] = 3,59 kg·m }²= 12,87 kg²·m²

{ ðI/ðg = mrt²/4πN = 0,0026 kg·m·s² }²= 6,65·10-6 kg²·m²·s4

{ ðI/ðt = 2mrgt/4πN = 0,0024 kg·m²/s² }²= 5,57·10-6 kg²m4/s4

{ ðI/ðN = -mrgt²/2πN² = -0,0051 kg·m² }²= 2,56·10^-5 kg²·m⁴

U(I) = [(ðI/ðm)² U_C²(m) +(ðI/ðr)² U_C²(r) +(ðI/ðg)² U_C²(g) +(ðI/ðt)² U_C²(t) +(ðI/ðN)² U_C²(N)]^1/2=

= 2,93·10^-3 kg·m²

α = 0,95

U_C(I) = 2 U(I) = 0,586·10^-2 kg·m²

I = ( 2,53 ± 0,586 )·10^-2 kg·m²

Wnioski:

Wyznaczony przeze mnie moment bezwładności przyrządu wynosi: I = ( 2,53 ± 0,586 )·10^-2 kg·m².

Powyższa wartość wyznaczona jest przy założeniu, że nić jest nieważka i nierozciągliwa oraz, że nie występuje tarcie w powietrzu i tarcie toczne. Skutkuje to tym, że uzyskana wartość może się różnić od rzeczywistej. Jednak wpływ powyższego nie jest w stanie zmienić w sposób znaczący wyznaczonej wartości momentu bezwładności przyrządu. Dlatego można przyjąć, że wyznaczona powyżej wartość I jest zbliżona do rzeczywistej.

Dla drugiej części wykonanego ćwiczenia wykreśliłem wykres zależności h( t² ), który obrazuje ruch jednostajnie przyspieszony przyrządu. Dla tego przypadku a = 4,5·10-4 m/s².

2)

h [ N ]	h [ m ]	t	t²
2	0,089	8,8	77,44
4	0,18	13,7	187,69
6	0,27	16,7	278,89
8	0,35	19,5	380,25
10	0,44	21,4	457,96
12	0,53	23,8	566,44
14	0,62	24,8	615,04
16	0,71	27,5	756,25
18	0,8	29,6	876,16
20	0,89	30,7	942,49

---