§ 1. Moment bezwładności

Wielkość I, równa sumie iloczynów mas poszczególnych cząstek układu i kwadratów ich odległości od pewnej osi, nosi nazwę momentu bezwładności ciała względem tej osi :

I =  (m_iR_i²)

Sumowanie dotyczy wszystkich infinitezymalnych mas m_i, na które podzielone jest dane ciało sztywne

Z takiego określenia wynika, że moment bezwładności jest wielkością addytywną. Oznacza to, że moment bezwładności ciała jest sumą momentów bezwładności jego części. Należy mieć na uwadze, że wielkość ta istnieje niezależnie od tego, czy ciało obraca się, czy nie. Każde ciało ma moment bezwładności względem dowolnej osi, podobnie jak każde ciało ma masę, niezależnie od tego, czy ciało to spoczywa, czy po­rusza się.

Rozkład masy ciała można opisywać za pomocą gęstości. Jeżeli ciało jest jednorodne, tzn. we wszystkich punktach ma te same własności, to gęstością nazywamy wielkość :

ρ = m / V

gdzie m jest masą ciała, a V — jego objętością. W przypadku ciała jedno­rodnego gęstość jest masą jednostki objętości tego ciała.

W przypadku ciała o nierównomiernym rozkładzie masy powyższy wzór określa średnią gęstość. Gęstość w danym punkcie jest zdefiniowana następującym wzorem:

ρ = lim (Δm / ΔV ) = dm / dV ,

W tym wyrażeniu Δm jest masą zawartą w objętości ΔV, przy czym objętość ΔV ulega ściągnięciu do punktu, w którym chcemy określić gęstość, wskutek przejścia granicznego (ściągalność obszaru do punktu jest pojęciem ściśle określonym matematycznie).

Przejścia granicznego nie należy rozumieć dosłownie w tym sensie, że ΔV staje się punktem. W przeciwnym przypadku dla dwóch praktycznie pokrywających się punktów, z których jeden przypada na jądro atomowe, a drugi — na przerwę między jądrami, otrzymałoby się istotnie różne wyniki (w pierwszym wypadku byłaby to ogromna wielkość, a w drugim — równa zeru). Dlatego ΔV powinno maleć dotąd, aż otrzyma się fizycznie nieskończenie mały obszar przestrzenny, tzn. taki, w którym zaniedbywalna jest jeszcze dyskretna (nieciągła) struktura materii, ale w którym makroskopowe cechy (odnoszące się do dużej liczby atomów) są już stałe.

Zgodnie z powyższym określeniem gęstości, infinitezymalna masa Δm_i, jest równa iloczynowi gęstości ciała ρ_i w danym punkcie i odpowiedniej elementarnej objętości ΔV_i:

m_i = ρ_i V_i

Moment bezwładności można zatem przedstawić w postaci

I =  (ρ_i R_i² V_i)

Jeżeli gęstość jest stała, to można ją wyprowadzić przed znak sumowania:

I = ρ  (R_i² V_i)

Związki powyższe są przybliżone: ich dokładność jest tym większa, im mniejsze są objętości ΔVi i odpowiadające im masy Δm_i. Widzimy, że problem znajdowania momentów bezwładności sprowadza się do całkowania:

I = R² dm = ρ R² dV

Całkowanie to przebiega po całej objętości ciała. Wielkości ρ i R są w tych całkach funkcjami punktu, tzn. na przykład zmiennych kartezjańskich x, y, z.

§ 2. Twierdzenie Steiner`a :

Moment bezwładności I względem dowolnej osi równy jest sumie momentu bezwładności I_c, względem osi równoległej do danej i przechodzącej przez środek masy bryły, oraz iloczynu masy bryły i kwadratu odległości między wymienionymi osiami :

I = I_c + ma²

ΔV→∞

---