Tomasz Pajączkowski

24.10.2001

Ćwiczenie nr 21.

Temat: Pomiar oporów elektrycznych metodą mostka Wheatstone'a.

1. Tabela wyników:

	l1 [ m ]	R [ Ω ]	Rx [ Ω ]
R1	0,516	750	800
R2	0,534	108	124
R3	0,360	124	70
R4	0,418	70	50
oporniki połączone szeregowo
R1	0,516	750	800
R1+R2	0,538	800	931
R1+R2+R3	0,517	931	997
R1+R2+R3+R4	0,513	997	1050
oporniki połączone równolegle
R1	0,516	750	800
R1+R2	0,518	100	107
R1+R2+R3	0,289	107	43
R1+R2+R3+R4	0,350	43	23

2. Teoria zjawiska.

Metoda mostkowa pomiaru oporności wymaga użycia oporników porównawczych i pozwala zmierzyć oporność R_x bardzo dokładnie. Mostek Wheatstone'a jest najprostszym mostkiem prądu zmiennego. Jego schemat pokazany został na poniższym rysunku.

W czterech gałęziach znajdują się oporniki R, a wierzchołki czworoboku łączą po jednej przekątnej galwanometr, a po drugiej - źródło zasilania.

Pomiar sprowadza się do dobrania takich oporności, aby mostek był skompensowany, czyli przez galwanometr nie płynął prąd. Wtedy potencjały V_C = V_D i napięcia U_AC = U_AD oraz U_BC = U_BD, co można zapisać: i_xR_x = i₁R₁ , i_dR_d = i₂R₂ .

W przypadku równowagi i_x = i_d , i₁ = i₂, więc dzieląc stronami ostatnie równanie otrzymamy zależność: R_x/R_d = R₁/R₂, skąd dla mierzonego oporu otrzymujemy ostatecznie: R_x = R_d·( R₁/R₂ ) ( 1 )

W praktyce spotykamy różne konstrukcje mostków powyższego typu. Najprostszym i zarazem najbardziej rozpowszechnionych jest mostek liniowy, w którym opory R₁ i R₂ zastąpione zostały drutem oporowym, po którym ślizga się suwak połączony z galwanometrem. Schemat takiego układu przedstawiony został na poniższym rysunku.

( 2 )

Ponieważ oporność jest proporcjonalna do długości drutu: R = ρ·( l/S ) więc wstawiając odpowiednie długości drutu otrzymamy:

R_x = R_d·( a/(l-a)) ( 2 )

Oporniki łączyć można w sposób szeregowy i równoległy, co zostało pokazane poniżej.

Opór łączny ( zastępczy ) R połączenia szeregowego oporników R₁, R₂, R₃ i R₄ jest równe ich sumie: R = R₁ + R₂ + R₃ + R₄ ( 4 )

Dla połączenia równoległego tych oporników oporność oporu łącznego ( zastępczego ) 1/R jest równa sumie ich odwrotności: 1/R = 1/R₁ + 1/R₂ + 1/R₃ + 1/R₄ ( 5 )

3. Opis wykonanego ćwiczenia.

Celem powyższego ćwiczenia było wyznaczenie oporności 4-ech oporników metodą mostka Wheatstone'a. Układ wykorzystany w ćwiczeniu stanowił liniowy mostek, w którym opory R₁ i R₂ zastąpione zostały drutem oporowym, po którym ślizga się suwak połączony z galwanometrem. Schemat takiego układu przedstawiony został powyżej na rysunku ( 2 ).

Dla tak zmontowanego układu pomiar sprowadza się do takiego dobrania oporności, aby przez galwanometr nie płynął prąd. W tym celu należy najpierw dobrać tak opór R_d w skrzynce oporowej, aby wychylenie wskazówki galwanometru w lewo lub w prawo (od zera ) było niewielkie. Dla tak dobranego oporu znajdujemy, przesuwając suwakiem takie jego położenie, przy którym wychylenie galwanometru zanika. Wyznaczona w ten sposób wartość - a pozwala na znalezienie rzeczywistej wartości oporu wyznaczonej z powyższego wzoru, co też uczyniłem.

W celu uniknięcia błędu pomiaru ( błąd ten jest najmniejszy wtedy, gdy a = l/2 ) powtórzyłem pomiar przy ustawieniu wartości skrzynki oporowej w pozycji wyznaczonej uprzednio, suwak przesuwając w pozycję odpowiadającą połowie długości l.

Pomiar w sposób przedstawiony powyżej powtórzyłem dla poszczególnych oporników. Następnie oporniki łączyłem równolegle wyznaczając dla nich wartość rezystancji zastępczej w sposób analogiczny jak poprzednio. Pomiaru dokonałem również dla oporników łączonych równolegle.

Otrzymane wartości zebrałem w powyższej tabeli, a następnie na ich podstawie dokonałem obliczeń i wyciągnąłem końcowe wnioski.

Obliczenia do wykonanego ćwiczenia:

Po podstawieniu do wzoru ( 2 ) wartości z tabeli otrzymałem:

R₁ = 799,6Ω

R₂ = 123,8Ω

R₃ = 69,8Ω

R₄ = 50,3Ω

Szacowanie niepewności pomiaru:

ΔR = 1Ω U_B(R) = 1/√3 = 0,58Ω

Δa = 0,001m U_B(a) = 0,001/√3 = 0,00058m

∂R_x/∂R_d = a/(l-a)

∂R_x/∂a = R_d(l/(l-a)²)

U_C(R) = [ (∂R_x/∂R_d)²·U_C(R)² + (∂R_x/∂a)²·U_C(a)² ]^1/2 =

dla α = 0,95

∂R₁/∂R_d = 1,07 ∂R₁/∂a = 1652,0 Ω/m U_C(R₁) = 1,14 Ω R₁ = ( 799,60 ± 2,28 )Ω

∂R₂/∂R_d = 1,15 ∂R₁/∂a = 265,6 Ω/m U_C(R₂) = 0,68 Ω R₂ = ( 123,80 ± 1,36 )Ω

∂R₃/∂R_d = 0,56 ∂R₁/∂a = 109,0 Ω/m U_C(R₃) = 0,33 Ω R₃ = ( 69,80 ± 0,66 )Ω

∂R₄/∂R_d = 0,79 ∂R₁/∂a = 86,4 Ω/m U_C(R₄) = 0,42 Ω R₄ = ( 50,30 ± 0,84 )Ω

Wartość rezystancji zastępczej dla łączonych oporników wyznaczona z zależności ( 4 ) i ( 5 ) wynosi :

Dla połączenia szeregowego oporników

R₁ i R₂ = 923,8 Ω

R₁, R₂ i R₃ = 993,8 Ω

R₁, R₂, R₃ i R₄ = 1043,4 Ω

Dla połączenia równoległego oporników

R₁ i R₂ = 107,2 Ω

R₁, R₂ i R₃ = 42,3 Ω

R₁, R₂, R₃ i R₄ = 23,0 Ω

Szacowanie niepewności pomiaru:

∂R/∂R_d = 1

∂R/∂R_d = -1/( R_d )²

U_C(R) = [ Σ (∂R/∂R_d)²·U_C(R)² ]^1/2 =

Dla połączenia szeregowego oporników

R₁ i R₂ = ( 923,80 ± 0,82 ) Ω

R₁, R₂ i R₃ = ( 993,80 ± 1,00 ) Ω

R₁, R₂, R₃ i R₄ = ( 1043,40 ± 1,34 ) Ω

Dla połączenia równoległego oporników

R₁ i R₂ = ( 107,20 ± 0,58 ) Ω

R₁, R₂ i R₃ = ( 42,30 ± 0,58 ) Ω

R₁, R₂, R₃ i R₄ = ( 23,00 ± 0,58 ) Ω

4. Wnioski:

Wyznaczone wartości oporu dla poszczególnych oporników wynoszą odpowiednio:

R₁ = ( 799,60 ± 2,28 ) Ω, R₂ = ( 123,80 ± 1,36 ) Ω, R₃ = ( 69,80 ± 0,66 ) Ω,

R₁ = ( 50,30 ± 0,84 ) Ω.

Z kolei wartości rezystancji zastępczej dla połączonych oporników wynosiły:

Dla połączenia szeregowego oporników

R₁ i R₂ = ( 931,00 ± 2,70 ) Ω

R₁, R₂ i R₃ = ( 997,00 ± 2,70 ) Ω

R₁, R₂, R₃ i R₄ = ( 1050,00 ± 2,78 ) Ω

Dla połączenia równoległego oporników

R₁ i R₂ = ( 107,00 ± 1,27 ) Ω

R₁, R₂ i R₃ = ( 43,00 ± 0,48 ) Ω

R₁, R₂, R₃ i R₄ = ( 23,00 ± 0,63 ) Ω

Powyżej wyznaczone wartości różnią się nieznacznie od wartości teoretycznych wyznaczonych z zależności ( 4 ) i ( 5 ) w sposób przedstawiony powyżej. Różnice te wynikają z oporów wewnętrznych układu ( tj. oporu przewodów którymi łączone były poszczególne oporniki ).

---