Tomasz Pajączkowski

22.05.2001

Ćwiczenie nr 10.

Temat: Wyznaczanie modułu Yanga.

Tabela zebranych wartości:

	m[kg]	Δl [ cm] dla poszczególnych serii pomiarów												Δl [ m]
				1		2		3		4		5		Σ
	0,5	0,29	0,29	0,31	0,31	0,31	0,31	0,29	0,26	0,31	0,28	2,96		0,00030
	1	0,57	0,57	0,58	0,58	0,57	0,58	0,55	0,54	0,56	0,54	5,64		0,00056
	1,5	0,81	0,81	0,85	0,85	0,83	0,83	0,82	0,81	0,82	0,81	8,24		0,00082
	2	1,06	1,06	1,11	1,09	1,07	1,07	1,07	1,05	1,06	1,06	10,7		0,00107
	2,5	1,36	1,34	1,38	1,38	1,35	1,36	1,33	1,31	1,34	1,32	13,47		0,00135
	3	1,61	1,61	1,64	1,64	1,63	1,63	1,59	1,59	1,61	1,61	16,16		0,00161

Teoria zjawiska:

Odkształcenie ciała stałego pod wpływem sił zewnętrznych polega na przemieszczeniu się cząstek ( atomów ) tego ciała z położenia pierwotnego w inne. Przemieszczeniu temu przeciwdziałają siły wewnętrzne ciała pochodzące od wzajemnego oddziaływania pomiędzy cząsteczkami ( atomami ). Jeżeli przemieszczenie cząsteczek było niewielkie, to po usunięciu sił zewnętrznych siły wewnętrzne przywracają cząstką pierwotne położenie. Odkształcenie odpowiadające takiemu odwracalnemu przemieszczeniu cząstek nazywamy odkształceniem sprężystym.

Siły wewnętrzne działające pomiędzy cząsteczkami odkształcanego ciała nazywamy siłami sprężystości. Wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych działających na ciało odkształcane jest równoważona przez siły sprężystości.

Naprężeniem wewnętrznym, nazywamy wielkość dynamiczną charakteryzującą siły sprężystości. Jest ona liczbowo równa wartości siły sprężystości ΔF_S przypadającej na jednostkę powierzchni płaszczyzny przekroju poprzecznego ΔS p = ΔF_S/ΔS.

W zakresie niewielkich naprężeń spełnione jest prawo Hoke'a.

Prawo Hooke'a: Wielkość odkształceń sprężystych jest wprost proporcjonalna do wielkości sił odkształcających. F = k·Δl gdzie k - współczynnik sprężystości

Współczynnik proporcjonalności E nazywamy współczynnikiem Yanga. Moduł Yanga można interpretować jako naprężenie E = F/S pod wpływem którego względne wydłużenie pręta Δl/l = 1 czyli Δl = l ( dwukrotne zwiększenie pierwotnej długości pręta ). W rzeczywistości przebieg odkształcenia Δl w funkcji przyłożonej siły jest nieliniowy i prawo Hooke'a obowiązuje tylko dla wartości naprężeń znacznie mniejszych niż moduł Yanga.

Wyprowadzenie wzoru roboczego:

Jako wielkość charakteryzującą odkształcenie pręta wygodnie jest wziąć względną miarę długości ε = Δl/l.

Z doświadczenia wynika, że dla prętów z danego materiału względne wydłużenie przy odkształceniu sprężystym jest proporcjonalne do siły , przypadającej na jednostkę powierzchni poprzecznego przekroju pręta:

ε = α F/S gdzie α - współczynnik proporcjonalności (*)

Wielkość równa iloczynowi siły, przez powierzchnię na którą działa ta siła, nazywamy naprężeniem. Stosunek F/S w powyższym wzorze jest naprężeniem normalnym σ ( siła skierowana jest prostopadle do powierzchni ) ε = α σ

Sprężyste własności materiału charakteryzuje wielkość E = 1/α.

Podstawiając powyższe do wzoru (*) otrzymujemy: F = ESΔl/l = k·Δl skąd E = Fl/SΔl.

Podstawiając S = πd²/4 otrzymamy: E = 4Fl/Δlπd².

Opis metody z opisem wykonanego eksperymentu:

Celem powyższego ćwiczenia było wyznaczenie modułu Yanga. Aby wyznaczyć moduł Yanga na podstawie powyższego równania należy przeprowadzić doświadczenie z wydłużaniem badanego materiału w postaci drutu. W tym celu stosuje się aparatur składającą się z uchwytów w których mocowany jest drut i układu pomiarowego którego głównym elementem jest czujnik zegarowy.

Badany drut mocowany jest w specjalnym uchwycie przytwierdzonym do sztywnego wspornika przymocowanego do ściany. Na dolnym końcu drutu zawieszona jest szalka, na której kładziemy ciężarki, stanowiąca zarazem obciążenie , którego zadaniem jest wyprostowanie badanego drutu i utrzymanie go w pionie. Położenie szalki można nieznacznie korygować.

Przy wykorzystaniu powyższej metody pomiar sprowadza się do wyznaczenia zmiany długości drutu ( długości odkształcenia Δl ), jego długości pierwotnej (l) i średnicy (d). Długość drutu mierzymy miarką milimetrową, ponieważ błąd względny tego pomiaru jest niewielki oraz mierzymy średnicę drutu mikromierzem w 5-ciu różnych miejscach, co też uczyniłem.

Następnie obciążałem szalkę kolejnymi obciążnikami ( każdy o masie 0,5kg ), za każdym razem dbając o to, by szalka zachowywała położenie pionowe, odczytując wskazania czujnika zegarowego. Analogicznie postępowałem przy odejmowaniu obciążników.

Powyższe czynności powtórzyłem dla 5-ciu serii pomiarowych, zabrane dane umieściłem w powyższej tabeli, a następnie na ich podstawie dokonałem końcowych obliczeń i wyciągnąłem ostateczne wnioski.

Obliczenia do wykonanego ćwiczenia:

Podstawiając do powyższego wzoru wartości z tabeli otrzymałem:

	wyznaczany moduł Yanga E [ N/m² ]
	182672379974	dla obciążenia m = 0,5 kg
	191741221533	dla obciążenia m = 1kg
	196860525991	dla obciążenia m = 1,5 kg
	202134670924	dla obciążenia m = 2 kg
	200709073765	dla obciążenia m = 2,5 kg
	200758754228	dla obciążenia m = 3 kg

Szacowanie niepewności pomiaru:

Δm = 0,001kg U_C(m) = Δm/3^1/2 = 0,00058kg

Δl = 0,001kg U_C(l) = l/3^1/2 = 0,00058m

Δ(Δl) = 0,00001m U_B(Δl) = Δl/3^1/2 = 0,0000058

Δd = 0,00001m U_C(d) = Δd/3^1/2 = 0,0000058m

Δg = 0,01m/s² U_C(g) = Δg/3^1/2 = 0,0058m/s²

Niepewność pomiaru typu A dla serii pomiarów Δl:

	UA(Δl) = ... [ m ]
	5,42E-06
	4,99E-06
	4,99E-06
	5,58E-06
	7,46E-06
	5,81E-06

	UC(Δl) = ... [ m ]
	7,94E-06
	7,65E-06
	7,65E-06
	8,05E-06
	9,45E-06
	8,21E-06

1. ðE/ðm = 4gl/Δlπd² =

2. ðE/ðg = 4ml/Δlπd² =

3. ðE/ðl = 4mg/Δlπd² =

4. ðE/ðΔl = -4mgl/Δl²πd² =

5. ðE/ðd = -8mgl/Δlπd³ =

Wartości wyliczone zgodnie z powyższymi wzorami ze względów estetycznych umieściłem w poniższej tabeli a następnie na ich podstawie wyznaczyłem błąd pomiaru dla każdej wartości E.

		ðE/ðm [ m^-1·s^-2]	ðE/ðg [ kg/m² ]	ðE/ðl [ kg/m²s² ]	ðE/ðΔl [ kg/m²s² ]	ðE/ðd [ kg/m³s² ]
	3,65345E+11	18621037714	1,41606E+11	-6,17136E+14	-9,46489E+14
	1,91741E+11	19545486395	1,48637E+11	-3,39967E+14	-9,93478E+14
	1,3124E+11	20067331905	1,52605E+11	-2,38908E+14	-1,02E+15
	1,01067E+11	20604961358	1,56694E+11	-1,88911E+14	-1,04733E+15
	80283629506	20459640547	1,55588E+11	-1,49005E+14	-1,03994E+15
	66919584743	20464704814	1,55627E+11	-1,24232E+14	-1,0402E+15

U_C(E) = [ (đE/đm)˛U_C˛(m) + (đE/đg)˛U_C˛(g) + (đE/đl)˛U_C˛(l) + (đE/đΔl)²U_C²(Δl) + (ðE/ðd)²U_C²(d) ]^1/2 =

	UC(E) [ N/m² ]
	7344026941
	6300378252
	6168116580
	6236966556
	6168819740
	6093363227

dla α = 0,95 U (E) = 2·U_C(E) =

	U (E) [ N/m² ]
	14688053882
	12600756504
	12336233161
	12473933113
	12337639480
	12186726454

Wyznaczone wartości E [ N/m² ]:

	( 1,85 ± 0,15 )·10^11
	( 1,92 ± 0,13 )·10^11
	( 1,97 ± 0,12 )·10^11
	( 2,02 ± 0,12 )·10^11
	( 2,01 ± 0,12 )·10^11
	( 2,01 ± 0,12 )·10^11

Średnia wartość modułu Yanga wynosi:

E = ( 1,96 ± 0,13 )·10¹¹N/m²

Wnioski:

Wyznaczone wartości modułu Yanga umieściłem w powyższej tabeli. Wartości te, jak również wartość średnia wyznaczona ze wszystkich pomiarów są zbliżone do wartości odczytanej z tablic, która to dla stali winna wynosić 2,15·10¹¹N/m² co dowodzi poprawności wykonanego ćwiczenia.

Do opracowania powyższego ćwiczenia dołączyłem wykres obrazujący przyrost długości drutu od działającej siły. Wykres ten jest linią prostą, co potwierdza, że dla niewielkich naprężeń spełnione jest prawo Hooke'a.

---