Równania równowagi

Ciało sztywne pozostaje w równowadze pod wpływem działania sił czynnych P i biernych R jeżeli algebraiczna suma tych sił jest równa zero i moment od wszystkich sił liczony względem dowolnego punktu jest równy zero.

Rozpisując powyższe w układzie przestrzennym Oxyz otrzymujemy sześć równań nazywanych równaniami równowagi lub równaniami statyki:

 

Równania równowagi w przypadku płaskim przyjmują jedną z trzech równoważnych postaci:

 

Jeżeli ciało sztywne jest unieruchomione w jednym punkcie, to warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił działających na to ciało jest, by moment układu sił czynnych liczony względem punktu unieruchomienia był równy zeru.

   

Dla ciała sztywnego unieruchomionego w dwóch punktach, warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi układu sił działających na ciało jest, by moment sił czynnych liczony względem prostej przechodzącej przez te punkty był równy zeru.

Dla ciała sztywnego na które działa równoległy układ sił, warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi tego układu jest, by suma rzutów sił na kierunek równoległy do kierunku sił i moment liczony względem dowolnego punktu były równe zeru.

Dla układu sił zbieżnych (np. wycięty węzeł w kratownicy) możemy zapisać tylko dwa niezależne równania, będące sumą rzutów tych sił na dwa kierunki.

       

Układy konstrukcyjne, podpory, obciążenia

Przedmiotem rozważań w wytrzymałości materiałów będą głównie płaskie ustroje prętowe, statycznie wyznaczalne (niekiedy również statycznie niewyznaczalne). Ustrój prętowy to konstrukcja złożona z prętów prostych lub krzywoliniowych (łuki), połączonych ze sobą i z podłożem w sposób sztywny lub przegubowy.
Za pręt można przyjąć taki element konstrukcyjny, którego dwa wymiary, charakteryzujące przekrój poprzeczny, są znacznie mniejsze od trzeciego - charakteryzującego długość.

Analizując statykę konstrukcji prętowych, przyjmuje się tzw. schemat statyczny konstrukcji, który jest wyidealizowanym rysunkiem konstrukcji, zawierającym jedynie informacje ważne z punktu widzenia wytrzymałościowego. W schemacie statycznym rysujemy tylko oś pręta (miejsce geometryczne punktów będących środkami ciężkości przekrojów pręta).

Aby unieruchomić daną konstrukcję należy jej odebrać wszystkie stopnie swobody (na płaszczyźnie dla bryły sztywnej trzy stopnie swobody w przestrzeni sześć) poprzez nałożenie na nią odpowiednich więzów.
Realizuje się to przez połączenie konstrukcji z nieodkształcalnym podłożem za pomocą podpór. Siły przekazywane z podłoża na konstrukcję poprzez podpory nazywamy siłami reakcji. Budując schemat statyczny konstrukcji, zakładamy, że podpory są przyłożone do osi pręta.
Dla płaskich układów konstrukcyjnych przyjmuje się następujące rodzaje podpór:

1. Podpora przegubowo-przesuwna - na podporze tej występuje jedna siła reakcji o znanym kierunku, prostopadłym do płaszczyzny przesunięcia. Podpora ta odbiera ciału jeden stopień swobody, gdyż eliminuje przesunięcie w jednym kierunku, a zezwala na przesunięcie w drugim kierunku i swobodny obrót. Podporę tę można zastąpić jednym prętem. Na rysunku pokazano element konstrukcyjny podparty w sposób przegubowo-przesuwny i idealizację tego podparcia w schemacie statycznym.

2. Podpora przegubowa - na podporze tej występuje jedna siła reakcji o nieznanym kierunku. Podpora ta odbiera ciału dwa stopnie swobody przez eliminację przesunięć w dwóch kierunkach. Zezwala tylko na obrót wokół punktu podparcia. Podporę tę można zastąpić dwoma prętami nierównoległymi, połączonymi w punkcie.

3. Sztywne utwierdzenie - na podporze tej występuje jedna siła reakcji o nieznanym kierunku i para sił. Podpora ta odbiera ciału trzy stopnie swobody: przesunięcie w dwóch kierunkach i obrót. Podporę tę można zastąpić trzema prętami nierównoległymi i nie przecinającymi się w jednym punkcie.

Wszystkie układy konstrukcyjne możemy podzielić na:

1. Układy statycznie wyznaczalne - są to układy, dla których z równań równowagi można jednoznacznie wyznaczyć siły reakcji. Dla takiego układu liczba reakcji jest równa liczbie niezależnych równań równowagi, oraz liczba stopni swobody, która zapewnia geometryczną niezmienność układu jest równa zeru.

2. Układy statycznie niewyznaczalne - są to układy, dla których z równań równowagi otrzymuje się nieskończenie wiele rozwiązań na siły reakcji. W takim przypadku liczba reakcji jest większa od liczby niezależnych równań równowagi, oraz liczba stopni swobody układu jest równa zeru.

3. Układy chwiejne - są to układy, dla których równania równowagi stanowią sprzeczny układ algebraicznych równań. W tym przypadku liczba reakcji jest mniejsza od liczby niezależnych równań równowagi, a liczba stopni swobody jest większa od zera.

Podobnie jak podpory, obciążenie przykładamy w schemacie statycznym również do osi pręta. Przyjmowane do obliczeń schematy obciążeń są pewnym uproszczeniem rzeczywistości, nie wpływającym w istotny sposób na wyniki obliczeń a znacznie je upraszczającym. W zależności od sposobu rozłożenia obciążenia na powierzchni elementu rozróżniamy:

1. Obciążenie skupione - jest to obciążenie, które działa na element na niewielkiej jego powierzchni. W rzeczywistość obciążenia skupione nie występują, ale dla potrzeby obliczeń statycznych i wytrzymałościowych jako takie są przyjmowane. Do obciążeń skupionych zaliczamy siłę skupioną i moment skupiony. Przykładem siły skupionej może być obciążenie belki stropowej ciężarem maszyny na dwóch stojakach lub siła przekazywana na fundament przez słup. Moment skupiony należy traktować jako parę sił położonych nieskończenie blisko siebie. Jednostką momentu skupionego jest jednostka siły pomnożona przez jednostkę długości, np. kNm, Ncm, itd.

2. Obciążenie ciągłe - jest to obciążenie rozłożone na pewnej długości. Można tutaj wyróżnić obciążenie równomiernie rozłożone (np. ciężar belki o stałym przekroju) i obciążenie nierównomiernie rozłożone (np. obciążenie muru oporowego parciem gruntu jest obciążeniem liniowo zmiennym). Wymiarem obciążenia ciągłego jest jednostka siły przez jednostkę długości, np. kN/m, N/cm itd.

Geometryczna niezmienność układu

Rozważania ograniczymy do układów płaskich, które najczęściej będą występowały w zagadnieniach wytrzymałości materiałów.
Aby unieruchomić płaską tarczę należy połączyć ją z podłożem trzema prętami, nie przecinającymi się w jednym punkcie i nierównoległymi. Jeśli do takiego układu dołączymy następną tarczę połączoną również trzema prętami (tylko z poprzednią tarczą albo z tarczą i podłożem) nie przecinającymi się w jednym punkcie i nierównoległymi, to układ tarcz będzie geometrycznie niezmienny. W ten sposób układ tarcz możemy rozbudować.

Połączenie tarcz T-2 i T-3 za pomocą dwóch prętów nierównoległych można traktować jako przegub, natomiast połączenie tarcz T-1 i T-2 trzema prętami nierównoległymi i nie przecinającymi się w jednym punkcie jest połączeniem sztywnym.

Biorąc powyższe pod uwagę, można wyprowadzić prosty wzór określający geometryczną niezmienność układu konstrukcyjnego. Do unieruchomienia jednej tarczy potrzeba trzech prętów łączących ją z podłożem lub z podłożem i z inną tarczą. Zatem w układzie geometrycznie niezmiennym liczba prętów musi być równa trzykrotnej liczbie tarcz.
Jeżeli przez t oznaczymy liczbę tarcz, a przez p liczbę prętów to możemy napisać:

    

Spełnienie powyższego równania jest warunkiem koniecznym, ale nie wystarczającym geometrycznej niezmienności układu. Wystarczy bowiem w układzie na rysunku powyżej usunąć pręt łączący tarczę T-3 z podłożem i przyłożyć go do tarczy T-2. Liczba prętów i tarcz w układzie nie ulegnie zmianie, tak więc równanie powyższe będzie spełnione, chociaż układ będzie geometrycznie zmienny (chwiejny). Tarcza T-3 ma bowiem możliwość obrotu w przegubie.

Budując prętowe układy konstrukcyjne, postępować będziemy według powyższych zasad, traktując każdy pręt jak tarczę. Pamiętamy również o tym, że trzy pręty nierównoległe i nie przecinające się w jednym punkcie, podpierające belkę na jej końcu to utwierdzenie, podparcie belki dwoma przecinającymi się prętami to podpora przegubowa, a podparcie jednym prętem - podpora przegubowo przesuwna.

Przykład: Sprawdzić geometryczną niezmienność podanego układu prętowego.

Każdą część układu oddzieloną przegubami traktujemy jako tarczę. Liczba tarcz wynosi więc t = 11.
Liczba prętów, którymi możemy zastąpić podpory wynosi 2 + 3 = 5.
Każdy przegub w którym schodzą się dwie tarcze zastępujemy dwoma prętami, jeżeli w przegubie schodzi się więcej tarcz do dla każdej tarczy powyżej dwóch dodajemy dwa pręty. Tak więc w naszym układzie liczba prętów, którymi zastępujemy przeguby jest następująca:
2 + 4 + 6 + 4 + 2 + 6 + 4 = 28.
Mamy więc: liczba prętów 5 + 28 = 33 co jest równe liczbie tarcz pomnożonej przez trzy.

Warunek konieczny geometrycznej niezmienności jest więc spełniony.

Trzy pręty nie przecinające się w jednym punkcie i nierównoległe tworzą układ geometrycznie niezmienny. Jeżeli taki układ rozbudujemy, dołączając po dwa pręty, tak aby układ trójkątów był zachowany, to układ taki dalej będzie geometrycznie niezmienny. W ten sposób konstruuje się kratownice. Układ, będący kratownicą, można zatem traktować jako jedną tarczę. Biorąc to pod uwagę do analizy naszego przykładu można by wziąć trzy tarcze, jak na rysunku poniżej.

Przy takim podziale również spełniony jest warunek geometrycznej niezmienności:

Siły przekrojowe

Obciążenie przyłożone do elementu konstrukcyjnego powoduje powstanie w nim pewnych sił, które można nazwać siłami wewnętrznymi. Siły te wywołują w materiale stan wytężenia, który może doprowadzić do zniszczenia elementu. Można w dużym uproszczeniu powiedzieć, że projektowanie polega na doborze materiału i kształtu przekroju w taki sposób, aby przy danym obciążeniu i schemacie statycznym, element nie uległ zniszczeniu.
Znajomość sił wewnętrznych jest więc pierwszym krokiem w kierunku zaprojektowania każdej konstrukcji. Aby je wyznaczyć przeprowadźmy następujące rozumowanie:

Dana jest unieruchomiona tarcza sztywna obciążona układem sił czynnych (obciążenie) i biernych (reakcje). Jeżeli tarcza jest unieruchomiona, to układ sił działających na nią jest równoważny układowi zerowemu.

Dokonajmy podziału tej tarczy na dwie części przekrojem A-A. Na ścianki przekroju w obu częściach tarczy działają siły wewnętrzne. Układ tych sił działający na część I oznaczymy przez W_I, a na część II przez W_II. Odpowiednio układ sił zewnętrznych (czynnych i biernych) przyłożonych do każdej części oznaczymy przez Z_I i Z_II (rys).

Układ sił zewnętrznych działających na całą tarczę jest równoważny zerowemu możemy zatem zapisać zależność:

 
                                               (1) 

Jeżeli ciało, będące w równowadze podzielimy na części, to każda z tych części również będzie pozostawać w równowadze. Układ sił zewnętrznych przyłożonych do każdej części będzie równoważony przez układ sił wewnętrznych. Prawdziwe są zatem również poniższe zależności:

Podstawiając (2) i (3) do (1) otrzymujemy:

 

Zależności powyższe można wypowiedzieć następująco:

Układ sił zewnętrznych przyłożonych do części pierwszej jest równoważny układowi sił wewnętrznych przyłożonych do części drugiej.

Układ sił zewnętrznych przyłożonych do części drugiej jest równoważny układowi sił wewnętrznych przyłożonych do części pierwszej.

Dwa układy sił są równoważne jeżeli mają równe sumy i równe momenty liczone względem tego samego punktu. Redukując zatem w dowolnym punkcie przekroju układ sił zewnętrznych przyłożonych do jednej części ciała, dostaniemy układ złożony z sumy i momentu, który będzie równoważny układowi sił wewnętrznych przyłożonemu do drugiej części.

Odnosząc powyższe do układów prętowych, będziemy przyjmować, że biegunem redukcji będą punkty należące do osi pręta. Zredukowany w każdym przekroju układ sił nazywamy siłami przekrojowymi. Sumę tego układu rozkłada się na dwie składowe: wzdłuż osi pręta i prostopadle do niej. Składową równoległą do osi pręta nazywamy siłą podłużną i oznaczamy najczęściej przez N, natomiast siłę prostopadłą do osi pręta nazywamy siłą poprzeczną i oznaczamy przez Q. Moment będący wynikiem redukcji, z racji efektu działania na pręt, nazywany jest momentem zginającym.

Ponieważ przez siły przekrojowe wyraża się wytężenie w przekroju projektowanego elementu, istotna jest zatem dla projektanta znajomość tych sił w każdym punkcie konstrukcji. W tym celu zapisuje się równania funkcji momentu zginającego, siły poprzecznej i podłużnej, i na ich podstawie sporządza się wykresy.
Równania sił przekrojowych zapisuje się jako funkcje położenia przekroju w jego własnym układzie lokalnym. Po wyróżnieniu pewnych włókien w pręcie (w belce włókna dolne, tzw. spody), przyjmujemy konwencję znakowania tak ja na rysunku poniżej.

Zasada superpozycji

W wytrzymałości materiałów przyjmujemy zasadę superpozycji, która mówi, że efekt równoczesnego działania kilku obciążeń równy jest sumie efektów działania każdego z tych obciążeń oddzielnie.

Przykłady

1. Obciążenie trapezowe możemy rozłożyć na obciążenie trójkątne i prostokątne:

2. Obciążenie liniowo zmienne o różnych znakach na obu końcach, możemy rozłożyć na dwa obciążenia trójkątne jak pokazano na rysunku poniżej:

3. Poniżej przedstawiono belkę obciążoną obciążeniem ciągłym równomiernie rozłożonym i dwoma momentami skupionymi na końcach. Zgodnie z zasadą superpozycji wykres momentów zginających można rozłożyć na trzy wykresy, będące efektem działania poszczególnych obciążeń oddzielnie.

 

---