Numer ćwiczenia 201	Data: 07.11.2013r.	Imię i Nazwisko Ostrowski Krzysztof		Wydział: Elektryczny		Semestr I		Grupa 1 Nr lab. 5
Prowadzący Dr Krzysztof Łaspa			Przygotowanie		Wykonanie		Ocena

Temat: Wyznaczanie zależności przewodnictwa od temperatury dla przewodników i półprzewodników.

1. Podstawy teoretyczne.

Przewodnictwo elektryczne jest wielkością zależną od temperatury, przy czym różny jej wpływ obserwujemy dla przewodników i półprzewodników. Ma to swoje odzwierciedlenie w ogólnym prawie Ohma dla gęstości prądu, co wyrażamy zależnością:

.

Jak widzimy gęstość prądu j (czyli stosunek prądu do powierzchni przekroju) jest wprost proporcjonalna do natężenia pola elektrycznego E. σ, współczynnik proporcjonalności, to wielkość oznaczająca przewodnictwo elektryczne, które jest przedmiotem naszych badań.

Przewodnictwo elektryczne bezpośrednio zależy od koncentracji oraz od ruchliwości nośników ładunku w materiale. Koncentracja, to w zasadzie liczba danych nośników w jednostce objętości materiału przewodzącego, ruchliwość natomiast opisujemy jako stosunek prędkości unoszenia nośników do natężenia pola elektrycznego.

Poniższy wzór prezentuje zależność przewodnictwa od opisanych wyżej wielkości dla obu rodzajów nośników:

,

Koncentracja elektronów n i dziur p oraz ruchliwość elektronów μ_n i dziur μ_p zależą od temperatury i rodzaju materiału w przypadku półprzewodników. W przewodnikach (metalach), gdzie znaczenie mają tylko elektrony, koncentracja nośników jest bardzo duża, zatem o zależności temperaturowej przewodnictwa decyduje ruchliwość nośników.

Dla metali zwykło się mówić o oporze. W tym wypadku przewodnictwo elektryczne zmniejsza się wraz ze wzrostem temperatury, ponieważ zmniejsza się ruchliwość ładunków. Opór, jako wielkość proporcjonalna do odwrotności przewodnictwa (R~1/ σ), opisuje zależność:

,

gdzie R₀ jest oporem w temperaturze T₀, a α średnim współczynnikiem temperaturowym oporu. Należy przy tym zaznaczyć, że powyższy wzór można stosować dla niewielkiego zakresu zmienności temperatury, gdyż α również jest od niej zależny.

W półprzewodnikach, jak już wcześniej zostało powiedziane, koncentracja nośników jest zależna od temperatury, przy czym rozróżniamy ich dwa rodzaje - elektrony w paśmie przewodnictwa i dziury w paśmie walencyjnym. Liczba pierwszych odpowiada liczbie drugich w materiale, dlatego koncentracje dla obu są takie same (n = p). Rozróżniamy też typy półprzewodników - samoistne oraz domieszkowe typu n i typu p, z czego dwa pozostałe dla odpowiednio wysokiej temperatury stają się samoistnymi. Przewodzenie prądu elektrycznego polega na przechodzeniu elektronów na wyższy poziom energetyczny. W półprzewodnikach typu n przejście elektronów odbywa się z poziomów domieszkowych, tzw. donorowych do pasma przewodnictwa, a w półprzewodnikach typu p z pasma walencyjnego na poziomy domieszkowe tzw. akceptorowe, doprowadzając tym samym do powstawania dziur, jako nośników ładunku w paśmie walencyjnym. W półprzewodnikach samoistnych przejście elektronów następuje bezpośrednio z pasma walencyjnego do pasma przewodnictwa. Opisane zjawisko ilustruje poniższy obrazek.

Liczba elektronów (koncentracja nośników) przechodzących na wyższy poziom energetyczny zależy wykładniczo od różnicy poziomów oraz od temperatury i wyrażona jest wzorem:

,
,
,

kolejno dla półprzewodników samoistnych, półprzewodników typu n, półprzewodników typu p. E_g jest szerokością pasma zabronionego, E_d i E_a różnicami energii dla półprzewodników domieszkowych, k stałą Boltzmanna, T temperaturą bezwzględną.

Podwyższanie temperatury półprzewodników domieszkowych prowadzi do zwiększania liczby nośników przechodzących na wyższy poziom energetyczny do momentu, kiedy ich koncentracja przestaje wzrastać na skutek nasycenia domieszkowego - w półprzewodnikach typu n wszystkie elektrony opuszczają poziomy donorowe, a w półprzewodnikach typu p wszystkie elektrony zapełniają poziomy akceptorowe. Jest to pewien zakres temperatury, dla której nie zmienia się wartość koncentracji, a liczba nośników samoistnych jest bardzo mała. Przekroczenie tego zakresu oraz dalsze zwiększanie temperatury doprowadza do powstawania przejść międzypasmowych. Wówczas koncentracja nośników ponownie zaczyna wzrastać, lecz znacznie gwałtowniej, niż w przypadku przewodnictwa domieszkowego.

Przyjęliśmy, że w wypadku metali pomijamy wielkość koncentracji, ponieważ dla tego rodzaju materiału jest ona bardzo duża, więc nie zależy od wartości temperatury. W inny sposób traktujemy półprzewodniki, bowiem choć ruchliwość nośników, podobnie jak w metalach, zmniejsza się wraz ze wzrostem temperatury, to zmiany te są na tyle wolne, że mogą zostać pominięte. Zatem ostatecznie stwierdzamy, że przewodnictwo w metalach zależy głównie od ruchliwości nośników, natomiast w półprzewodnikach od ich koncentracji.

Uwzględniając wzory, które pojawiły się wcześniej, temperaturową zależność przewodnictwa dla półprzewodnika możemy wyrazić w następującym wzorze:

.

E_dom jest jedną z dwóch wielkości, E_d lub E_a, w zależności od tego, z jakim rodzajem półprzewodnika domieszkowego mamy do czynienia. Stałe C zawierają ruchliwość i wielkość n₀.

W odpowiednio niskiej temperaturze można zaniedbać pierwszy składnik powyższego wzoru. Wiemy już bowiem, że koncentracja nośników samoistnych jest wtedy bardzo mała, przez co nie wpływa ona znacząco na wartość przewodnictwa. Mówimy wówczas o przewodnictwie domieszkowym:

.

Natomiast w wysokiej temperaturze, kiedy dojdzie do nasycenia poziomów domieszkowych, pomijamy składnik drugi, gdyż nie wpływa on w dalszym ciągu na wielkość przewodnictwa. W tym wypadku mówimy o przewodnictwie samoistnym:

.

Zależność temperaturową przewodnictwa półprzewodnika wygodnie jest analizować za pomocą wykresu tej zależności w skali półlogarytmicznej. Logarytmując którykolwiek z dwóch powyższych wzorów, na przewodnictwo domieszkowe lub samoistne, otrzymujemy wyrażenie postaci:

.

Wykres zależności przewodnictwa półprzewodnika przedstawiać się będzie w postaci linii łamanej, co ilustruje poniższy obrazek.

W zakresie wartości temperatury stosowanym w laboratorium fizycznym obserwujemy tylko przewodnictwo domieszkowe.

Ostatnie równanie może zostać wykorzystane do znalezienia energii poziomu domieszkowego w półprzewodniku. Oznaczając E = E_dom oraz stosując związek
1/R, otrzymujemy równanie:

,

które na wykresie
przedstawia linię prostą o współczynniku nachylenia
. Współczynnik ten możemy wyznaczyć także stosując regresję liniową. Kiedy jest on nam znany, możliwe jest wyznaczenie wartości E_dom.

2. Wyniki pomiarów.

Pomiary wykonywane były zgodnie z opisem zawartym w „metodyce pomiarowej”. Badany zakres temperatury, uwzględniony w pomiarach, mieści się w granicach 24-90 ºC. Wykonano 23 pomiarów dla każdego z materiałów - przewodnika i półprzewodnika. Poniżej znajduje się tabela z otrzymanymi odczytami.

Lp.	przewodnik		półprzewodnik
		T [º]	R [Ω]	T [º]	R [kΩ]
1	24,0	110,0	24,0	199,0
2	27,0	111,0	27,0	172,6
3	30,0	112,1	30,0	151,1
4	33,0	113,3	33,0	133,9
5	36,0	114,4	36,0	118,2
6	39,0	115,7	39,0	108,1
7	42,0	116,3	42,0	86,4
8	45,0	117,6	45,0	81,8
9	48,0	119,0	48,0	73,2
10	51,0	120,0	51,0	65,3
11	54,0	121,1	54,0	59,2
12	57,0	122,2	57,0	52,9
13	60,0	123,4	60,0	47,7
14	63,0	124,4	63,0	42,9
15	66,0	125,5	66,0	38,6
16	69,0	126,7	69,0	35,0
17	72,0	127,7	72,0	31,7
18	75,0	128,8	75,0	28,6
19	78,0	129,8	78,0	26,0
20	81,0	131,0	81,0	23,6
21	84,0	132,1	84,0	21,6
22	87,0	133,2	87,0	19,6
23	90,0	134,3	90,0	17,9

3. Obliczanie wielkości fizycznych, wykresy.

Wykreślenie zależności
dla przewodnika.

Wykreślenie zależności
dla półprzewodnika.

Obliczenie ln(1/R) oraz 1/T dla półprzewodnika.

Przykładowy rachunek dla pierwszego pomiaru.

Wyniki dla pozostałych pomiarów zostały przedstawione w tabeli poniżej. Do obliczeń wykorzystałem program StatS.

T [º]	T [K]	R [kΩ]	ln(1/R) [ln(1/Ω)]	1/T [1/K]
24,0	297,15	199,0	-12,2010601	0,003365
27,0	300,15	172,6	-12,05873206	0,003332
30,0	303,15	151,1	-11,92569715	0,003299
33,0	306,15	133,9	-11,80484853	0,003266
36,0	309,15	118,2	-11,68013338	0,003235
39,0	312,15	108,1	-11,590812	0,003204
42,0	315,15	86,4	-11,36674295	0,003173
45,0	318,15	81,8	-11,31203252	0,003143
48,0	321,15	73,2	-11,2009507	0,003114
51,0	324,15	65,3	-11,08674732	0,003085
54,0	327,15	59,2	-10,98867682	0,003057
57,0	330,15	52,9	-10,87615862	0,003029
60,0	333,15	47,7	-10,77268668	0,003002
63,0	336,15	42,9	-10,6666271	0,002975
66,0	339,15	38,6	-10,56100756	0,002949
69,0	342,15	35,0	-10,46310334	0,002923
72,0	345,15	31,7	-10,36407196	0,002897
75,0	348,15	28,6	-10,261162	0,002872
78,0	351,15	26,0	-10,16585182	0,002848
81,0	354,15	23,6	-10,06900199	0,002824
84,0	357,15	21,6	-9,980448594	0,0028
87,0	360,15	19,6	-9,883284845	0,002777
90,0	363,15	17,9	-9,792555992	0,002754

Następnie rysuję wykres zależności wielkości ln(1/R) od wielkości 1/T.

Powyższa linia przedstawia przewodnictwo domieszkowe.

Korzystając z programu StatS, za pomocą regresji liniowej obliczam współczynnik nachylenia a oraz jego błąd Δa.

a = -3910,85

Δa = 19,9354

Znając współczynnik nachylenia oraz korzystając z przekształconego wzoru, który pojawił się w „podstawach teoretycznych”, a który służył właśnie do obliczenia tegoż współczynnika, mogę obliczyć energię poziomu domieszkowego E_dom, gdyż:

.

Stała Boltzmanna k wynosi:

Na podstawie danych obliczam E_dom.

Wyrażone w dżulach:

.

Wyrażone w elektronowoltach:

,

.

Następnie obliczam niepewność uzyskanej wartości energii poziomu domieszkowego stosując różniczkę zupełną.

Zaokrąglam błąd do dwóch cyfr znaczących:

.

Wynik w ostatecznej postaci wyrażony kolejno w dżulach i elektronowoltach prezentuje się następująco:

,

.

Wnioski.

Celem ćwiczenia było wyznaczenie zależności przewodnictwa od temperatury dla przewodników i półprzewodników. Dokonane pomiary i wykreślone charakterystyki dowiodły, że temperatura istotnie wpływa na przewodnictwo elektryczne materiałów przewodzących. Jednocześnie obserwujemy odmienne zachowanie przewodników i półprzewodników wobec zmienności tejże wielkości. W przypadku przewodników (metali) opór rośnie liniowo wraz ze wzrostem temperatury, natomiast maleje wykładniczo w półprzewodnikach. Drugi wniosek dotyczy energii poziomu domieszkowego. Otrzymane wyniki pokazują, że wielkość tej energii jest ujemna. Mówiłoby to nam tyle, że aby pobudzić elektron do przejścia na wyższy poziom energetyczny, potrzebna jest taka wartość energii, która zsumowana z otrzymaną wielkością, dawałaby wartość większą bądź równą zero.

- 8 -

---