ANALIZA SYGNAŁÓW I IDENTYFIKACJA - SPRAWOZDANIE Z ĆWICZEŃ LABORATORYJNYCH Prowadzący: dr inż. Marcin Nawrocki Rok akademicki 2009/2010, semestr zimowy
Piotr RAJDA	Grupa. 18b

LABORATORIUM 11

Różne metody identyfikowania obiektów - ARX, IV4.

1.Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia było zaznajomienie nas z metodami identyfikacji obiektów: ARX i IV4. Pierwsza część analizy polegała na porównaniu wyników otrzymanych wyżej wymienionymi metodami. Później badaliśmy ich skuteczność dla różnych rodzajów sygnału wejściowego: opisanego losowym rozkładem równomiernym i normalnym. W kolejnych punktach, zmianom podlegały amplituda szumu zakłócającego - An, oraz czas próbkowania Ts.

2. Teoria

Model ARX -  autoregressive with exogenous input - model autoregresywny z zewnętrznym wejściem dyskretnym modelem wejściowo-wyjściowym dla procesów stochastycznych. Model ten jest wyrażony wzorem:

Znaczenie poszczególnych symboli użytych w powyższym wzorze jest następujące

• symbole y(i), u(i) oraz e(i) oznaczają dyskretne ciągi wartości, a zatem ciągi wartości równo odległych w czasie (na przykład 0; 0,5; 1; 0;-0.5; ... itd.),

• y(i) jest zwany ciągiem wartości sygnału wyjściowego --- w skrócie ciągiem wyjściowym lub wyjściem,

• u(i) jest zwany ciągiem wartości sygnału wejściowego --- w skrócie ciągiem wejściowym, wejściem albo pobudzeniem,

• z ^− k oznacza opóźnienie (przesunięcie wstecz) sygnału o k wartości tak, że z ^− ku(i) = u(i − k); parametr k jest zwany (dyskretnym) czasem opóźnienia i przybiera wartości całkowite większe lub równe 1,

• symbole 
   i 
   oznaczają wielomiany różnicowe,

• człon 
   jest zwany torem sterowania,

• e(i) jest zwany ciągiem wartości dyskretnego białego szumu zakłócającego obiekt - w skrócie białym szumem,

• człon 
   który jest zwany torem zakłócenia, modeluje wszelkie niemierzalne zakłócenia stochastyczne działające w obiekcie w postaci białego szumu przefiltrowanego (czyli przepuszczonego) przez odpowiednią transmitancję.

Wielomiany różnicowe występujące w modelu ARX dane są wzorami:

Strukturę modelu ARX określa trójka parametrów: (k, dA, dB).

ARX - komputerowa LS- estymata modeli autoregresywnych z zewnętrznym wejściem dyskretnym (model ARX).

IV4 - komputerowe przybliżenie optymalizacji IV- estymata modeli autoregresywnych z zewnętrznym wejściem dyskretnym (model ARX).

3. Zadanie

Kod programu:

Ts=0.05;

t=[0:Ts:3999*Ts]; t=t';

q=tf([100],[1 4 100]); %badany uklad

qd=c2d(q,Ts); %przejscie na transmitancje dyskretna

x=rand(4000,1); %sygnal wejsciowy

y0=lsim(qd,x,t);

y=y0+0.1*rand(4000,1);

y=y-mean(y); %znajdowanie parametrow

th1=arx([y x], [2 2 1]); %tworzenie modelu ARX

[lmi mmi]=th2tf(th1); %przejscie do modelu TF

disp('transmitancja zadana') %wykaz wyników

q

disp('transmitancja dyskretna')

qd

disp('transmitancja otrzymana ARX:')

gd=tf(lmi,mmi,Ts)

th2=iv4([y x], [2 2 1]); %tworzenie modelu IV4

[lm2i mm2i]=th2tf(th2);

disp('transmitancja otrzymana IV4:')

gd2=tf(lm2i,mm2i,Ts)

figure(1);

subplot(2,2,1)

step(q); hold on

step(qd,'r--'); hold on

step(gd,'g:'); hold on

step(gd2,'m-.');

legend('zadana','zdyskretyzowana','ARX','IV4');

title('Porowanie odpowiedzi skokowych, dla rozkladu rownomiernego');

x=randn(4000,1); %sygnal wejsciowy normalny

y0=lsim(qd,x,t);

y=y0+0.1*rand(4000,1);

y=y-mean(y); %znajdowanie parametrow

th1=arx([y x], [2 2 1]); %tworzenie modelu ARX

[lmi mmi]=th2tf(th1); %przejscie do modelu TF

disp('transmitancja zadana') %wykaz wyników

q

disp('transmitancja dyskretna')

qd

disp('transmitancja otrzymana ARX:')

gd=tf(lmi,mmi,Ts)

th2=iv4([y x], [2 2 1]); %tworzenie modeli IV4

[lm2i mm2i]=th2tf(th2);

disp('transmitancja otrzymana IV4:')

gd2=tf(lm2i,mm2i,Ts)

%wykresy

subplot(2,2,2)

step(q); hold on

step(qd,'r--'); hold on

step(gd,'g:'); hold on

step(gd2,'m-.');

legend('zadana','zdyskretyzowana','ARX','IV4');

title('Porowanie odpowiedzi skokowych, dla rozkladu normalnego');

% Zmienna amplituda zaklocen , model ARX

y=y0+0.2*rand(4000,1);

y=y-mean(y); %znajdowanie parametrow

th1=arx([y x], [2 2 1]); %tworzenie modelu ARX

[lmi mmi]=th2tf(th1); %przejscie do modelu TF

disp('transmitancja zadana') %wykaz wynikow

q

disp('transmitancja otrzymana ARX, An=0.2:')

gd=tf(lmi,mmi,Ts)

% An=0.4

y1=y0+0.4*rand(4000,1);

y1=y1-mean(y1); %znajdowanie parametrow

th11=arx([y1 x], [2 2 1]); %tworzenie modelu ARX

[lmi1 mmi1]=th2tf(th11); %przejscie do modelu TF

disp('transmitancja otrzymana ARX, An=0.4:')

gd1=tf(lmi1,mmi1,Ts)

% An=0.8

y2=y0+0.8*rand(4000,1); y2=y2-mean(y2); %znajdowanie parametrow

th12=arx([y2 x], [2 2 1]); %tworzenie modelu ARX

[lmi2 mmi2]=th2tf(th12); %przejscie do modelu TF

disp('transmitancja otrzymana ARX, An=0.8:')

gd2=tf(lmi2,mmi2,Ts)

subplot(2,2,4)

step(q); hold on

step(gd,'r:');hold on

step(gd1,'g-.');hold on

step(gd2,'m--'); legend('zadana','An=0.2','An=0.4','An=0.8');

title('Porownanie metody ARX przy rozych wartosciach An');

% Zmienna amplituda zaklocen , model IV4

y=y0+0.2*rand(4000,1);

y=y-mean(y); %znajdowanie parametrow

th1=iv4([y x], [2 2 1]); %tworzenie modelu ARX

[lmi mmi]=th2tf(th1); %przejscie do modelu TF

disp('transmitancja zadana') %wykaz wyników

q

disp('transmitancja otrzymana IV4, An=0.2:')

gd=tf(lmi,mmi,Ts)

% An=0.4

y1=y0+0.4*rand(4000,1);

y1=y1-mean(y1); %znajdowanie parametrow

th11=iv4([y1 x], [2 2 1]); %tworzenie modelu ARX

[lmi1 mmi1]=th2tf(th11); %przejscie do modelu TF

disp('transmitancja otrzymana IV4, An=0.4:')

gd1=tf(lmi1,mmi1,Ts)

% An=0.8

y2=y0+0.8*rand(4000,1);

y2=y2-mean(y2); %znajdowanie parametrów

th12=iv4([y2 x], [2 2 1]); %tworzenie modelu ARX

[lmi2 mmi2]=th2tf(th12); %przejoecie do modelu TF

disp('transmitancja otrzymana IV4, An=0.8:')

gd2=tf(lmi2,mmi2,Ts)

subplot(2,2,3)

step(q); hold on

step(gd,'r:');hold on

step(gd1,'g-.');hold on

step(gd2,'m--'); legend('zadana','An=0.2','An=0.4','An=0.8');

title('Porownanie metody IV4 przy rozych wartosciach An');

%Wplyw czasu probkowania na metode ARX

figure(2);

Ts=0.05;

t=[0:Ts:3999*Ts]; t=t';

q=tf([100],[1 4 100]);

qd=c2d(q,Ts);

x=randn(4000,1);

y0=lsim(qd,x,t);

y=y0+0.1*rand(4000,1);

y=y-mean(y);

th1=arx([y x], [2 2 1]); %tworzenie modelu ARX

[lmi mmi]=th2tf(th1); %przejscie do modelu TF

disp('transmitancja zadana') %wykaz wynikow

q

disp('transmitancja otrzymana ARX, Ts=0.05:')

gd=tf(lmi,mmi,Ts)

subplot(2,1,1)

step(q); hold on

step(gd,'r:'); hold on

% Ts=0.1

Ts=0.1; %czas próbkowania

t=[0:Ts:3999*Ts]; t=t';

q=tf([100],[1 4 100]);

qd=c2d(q,Ts);

x=randn(4000,1);

y0=lsim(qd,x,t);

y=y0+0.1*rand(4000,1);

y=y-mean(y);

th1=arx([y x], [2 2 1]); %tworzenie modelu ARX

[lmi mmi]=th2tf(th1); %przejscie do modelu TF

disp('transmitancja otrzymana ARX, Ts=0.1:')

gd=tf(lmi,mmi,Ts)

step(gd,'g-.'); hold on

% Ts= =0.2

Ts=0.2;

t=[0:Ts:3999*Ts]; t=t';

q=tf([100],[1 4 100]);

qd=c2d(q,Ts);

x=randn(4000,1);

y0=lsim(qd,x,t);

y=y0+0.1*rand(4000,1);

y=y-mean(y);

th1=arx([y x], [2 2 1]); %tworzenie modelu ARX

[lmi mmi]=th2tf(th1); %przejscie do modelu TF

disp('transmitancja otrzymana ARX, Ts=0.2:')

gd=tf(lmi,mmi,Ts)

step(gd,'m--'); legend('zadana','Ts=0.05','Ts=0.1','Ts=0.2');

title('Wplyw czasu probkowania na metode ARX');

% Wplyw czasu probkowania na metode IV4

figure(2);

Ts=0.05;

t=[0:Ts:3999*Ts]; t=t';

q=tf([100],[1 4 100]);

qd=c2d(q,Ts);

x=randn(4000,1);

y0=lsim(qd,x,t);

y=y0+0.1*rand(4000,1);

y=y-mean(y);

th1=iv4([y x], [2 2 1]);

[lmi mmi]=th2tf(th1);

disp('transmitancja zadana') %wykaz wynikow

q

disp('transmitancja otrzymana IV4, Ts=0.05:')

gd=tf(lmi,mmi,Ts)

subplot(2,1,2)

step(q); hold on

step(gd,'r:'); hold on

% Ts=0.1

Ts=0.1;

t=[0:Ts:3999*Ts]; t=t';

q=tf([100],[1 4 100]);

qd=c2d(q,Ts);

x=randn(4000,1);

y0=lsim(qd,x,t);

y=y0+0.1*rand(4000,1);

y=y-mean(y);

th1=iv4([y x], [2 2 1]);

[lmi mmi]=th2tf(th1);

disp('transmitancja zadana') %wykaz wynikow

q

disp('transmitancja otrzymana IV4, Ts=0.1:')

gd=tf(lmi,mmi,Ts)

step(gd,'r:'); hold on

% Ts= =0.2

Ts=0.2;

t=[0:Ts:3999*Ts]; t=t';

q=tf([100],[1 4 100]);

qd=c2d(q,Ts);

x=randn(4000,1);

y0=lsim(qd,x,t);

y=y0+0.1*rand(4000,1);

y=y-mean(y);

th1=iv4([y x], [2 2 1]);

[lmi mmi]=th2tf(th1);

disp('transmitancja zadana') %wykaz wynikow

q

disp('transmitancja otrzymana IV4, Ts=0.2:')

gd=tf(lmi,mmi,Ts)

step(gd,'m--'); legend('zadana','Ts=0.05','Ts=0.1','Ts=0.2');

title('Wplyw czasu probkowania na metode IV4');

Zestawienie uzyskanych wyników I

Zestawienie uzyskanych wyników II

ukazujące wpływ czasu próbkowania.

Rozkład równomierny
Transmitancja zadana: 100 --------------- s^2 + 4 s + 100	Transmitancja dyskretna: 0.1147 z + 0.1072 ---------------------- z^2 - 1.597 z + 0.8187	Transmitancja otrzymana ARX: 0.01511 z + 0.01787 ---------------------- z^2 - 1.505 z + 0.7264	Transmitancja otrzymana IV4: 0.03893 z + 0.07429 ---------------------- z^2 - 1.352 z + 0.6765
Rozkład normalny
Transmitancja zadana: 100 --------------- s^2 + 4 s + 100	Transmitancja dyskretna: 0.1147 z + 0.1072 ---------------------- z^2 - 1.597 z + 0.8187	Transmitancja otrzymana ARX: 0.1154 z + 0.1082 ---------------------- z^2 - 1.581 z + 0.8031	Transmitancja otrzymana IV4: 0.1148 z + 0.107 --------------------- z^2 - 1.597 z + 0.819
Porównanie metody ARX przy różnych wartościach An
Transmitancja zadana: 100 --------------- s^2 + 4 s + 100	Transmitancja otrzymana ARX, An=0.2: 0.1147 z + 0.113 ---------------------- z^2 - 1.535 z + 0.7596	Transmitancja otrzymana ARX, An=0.4: 0.115 z + 0.1335 ---------------------- z^2 - 1.357 z + 0.5909	Transmitancja otrzymana ARX, An=0.8: 0.1161 z + 0.1728 --------------------- z^2 - 1.03 z + 0.2925
Porównanie metody IV4 przy różnych wartościach An
Transmitancja zadana: 100 --------------- s^2 + 4 s + 100	Transmitancja otrzymana IV4, An=0.2: 0.115 z + 0.1068 ---------------------- z^2 - 1.597 z + 0.8191	Transmitancja otrzymana IV4, An=0.4: 0.1146 z + 0.1063 ---------------------- z^2 - 1.598 z + 0.8201	ransmitancja otrzymana IV4, An=0.8: 0.1159 z + 0.106 ---------------------- z^2 - 1.594 z + 0.8165
Porównanie metody ARX przy różnych czasach próbkowania
Transmitancja zadana: 100 --------------- s^2 + 4 s + 100	Transmitancja otrzymana ARX, Ts=0.05: 0.1129 z + 0.1109 ---------------------- z^2 - 1.579 z + 0.8016	Transmitancja otrzymana ARX, Ts=0.1: 0.405 z + 0.3532 ----------------------- z^2 - 0.9113 z + 0.6693	Transmitancja otrzymana ARX, Ts=0.2: 1.129 z + 0.8294 ---------------------- z^2 + 0.5077 z + 0.449
Porównanie metody IV4 przy różnych czasach próbkowania
Transmitancja zadana: 100 --------------- s^2 + 4 s + 100	Transmitancja otrzymana IV4, Ts=0.05: 0.1149 z + 0.1068 ---------------------- z^2 - 1.597 z + 0.8189	Transmitancja otrzymana IV4, Ts=0.1: 0.4046 z + 0.3532 ----------------------- z^2 - 0.9124 z + 0.6703	Transmitancja otrzymana IV4, Ts=0.2: 1.127 z + 0.8294 ----------------------- z^2 + 0.5082 z + 0.4493

4.Wnioski:

Obserwując otrzymane wyniki, zarówno wykresy i transmitancję widzimy że za pomocą funkcji ARX uzyskujemy mniej dokładne wyniki. Funkcje ARX i IV4 marnie wychodzą w przypadku użycia sygnału wejściowego opisanego rozkładem równomiernym. Aby otrzymać dokładniejszy wynik powinniśmy zadbać o odpowiedni dobór argumentów funkcji.

Przy użyciu obu funkcji obserwujemy że wraz ze wzrostem aplitudy szumu zakłocającego dokładność otrzymanych wyników maleje. Jednak porównując obie funkcję, obserwujemy, że funkcją IV4 znacznie lepiej radzi sobie z różnymi wartościami szumu.

Podobna sytuacja jest przy zmianie czasu próbkowania, tzn. czym większy mamy czas próbkowania to funkcję gorzej radzą sobie z dokładnością wyników.

---