Opis doświadczenia:

Doświadczenie ma umożliwić wyznaczenie momentu bezwładności bryły względem dowolnej osi. Aby można było to osiągnąć skorzystaliśmy z wahadła torsyjnego. Potrzebne do obliczeń okresy drgań zmierzyliśmy dla samej ramki wahadła, ramki z bryłą wzorcową oraz dla ramki z bryłą badaną (prostopadłościanem). Okres wahadła z badaną bryłą mierzyliśmy pięć razy - trzy dla osi głównych, raz dla osi pokrywającej się z przekątną (przez środek masy) i raz dla osi wzdłuż krawędzi (nie przechodzącej przez środek masy).

Obliczenia:

Przyjmujemy następujące oznaczenia i wartości:

• okres drgań samej ramki:
  [s];

• okres drgań ramki z bryła wzorcową (walcem):
  [s];

• okres drgań ramki z bryłą badaną wzdłuż osi X:
  [s];

• okres drgań ramki z bryłą badaną wzdłuż osi Y:
  [s];

• okres drgań ramki z bryłą badaną wzdłuż osi Z:
  [s];

• okres drgań ramki z bryłą badaną wzdłuż jej przekątnej:
  [s];

• okres drgań ramki z bryłą badaną wzdłuż jej krawędzi „z”:
  [s].

Do obliczenia momentów bezwładności korzystamy z wcześniej wyprowadzonych wzorów:

, gdzie T to okres drgań wzdłuż osi, dla której szukamy momentu bezwładności, a
to moment bezwładności walca (
- połowa iloczynu masy i kwadratu promienia walca). Masa walca nie została zmierzona bezpośrednio dlatego posłużymy się wzorem:
, gdzie V to objętość walca oraz
to gęstość materiału - w tym wypadku gęstość stali - 7700
, czyli
[kg]. Ostatecznie moment bezwładności walca:
0,00059 [
].

Obliczenia momentów bezwładności wzdłuż osi X,Y oraz Z:

0,0017 [
]

0,00199 [
]

0,00077 [
]

Obliczenie momentu bezwładności wzdłuż osi pokrywającej się z przekątną bryły:

Doświadczalne:

0,00112 [
]

Obliczenie momentu bezwładności wzdłuż osi pokrywającej się z krawędzią „z” bryły:

Korzystamy z twierdzenia Steinera:

,gdzie
to masa bryły oraz
odległość od osi głównej Z do krawędzi „z” (obliczymy z twierdzenia Pitagorasa).

[kg]

[m]

Mając powyższe dane możemy obliczyć:

=0,00197 [
]

Obliczenia momentu bezwładności wzdłuż przekątnej (z elipsoidy):

Korzystamy z definicji odległości punktów na powierzchni elipsoidy od środka masy dla odcinków pokrywających się z osiami głównymi.
, gdzie
jest momentem bezwładności danej bryły względem osi pokrywającej się z tym odcinkiem.

Półoś dla osi X:
= 24,25

Półoś dla osi Y:
= 22,42

Półoś dla osi Z:
= 36,04

Teraz możemy wyliczyć długość odcinka łączącego środek elipsoidy (punkt wyjścia trzech półosi) i punkt na powierzchni elipsoidy wyznaczony przez oś obrotu wzdłuż przekątnej.

Długość ta pozwoli wyliczyć moment bezwładności dla wymienionej osi.

Punkt przecięcia odcinka i powierzchni elipsoidy wyznaczymy z równań:

(elipsoida) oraz
(prosta przechodząca przez środek elipsoidy, przez punkt na bryle (w tym wypadku narożnik
;
;
) oraz przez punkt na elipsoidzie (nasz szukany
)). Szukana długość odcinka
. Szukany moment bezwładności
(z równania powyżej). Dla podanych danych równania mają postać:
oraz
. Wynika z tego
;
;
.

Nasza szukana długość:
= 29,44.

Czyli moment bezwładności:
0,00115.

Aby obliczyć powyższy moment bezwładności można również posłużyć się metodą z wykorzystaniem kątów między osiami głównymi i „badaną” osią obrotu. Krótki opis tej metody we wstępie teoretycznym.