1

1. Podać definicję granicy ciągu punktów z rozszerzonej prostej. Podać twierdzenie o trzech ciągach i twierdzenie o granicy ciągu monotonicznego.

Punkt
nazywamy granicą ciągu
, gdy dla dowolnego otoczenia standardowego U_g punktu g istnieje
takie, że dla
mamy
i mówimy, że
x_n=g

Dane są ciągi x_n, y_n, z_n punktów z rozszerzonej prostej takie, że
dla
. Jeżeli
to
, gdzie
.

Dany jest ciąg
. Załóżmy, że ciąg x_n jest niemalejący tzn.
dla
. Wówczas istnieje
. Jeśli dodatkowo założymy, że ciąg x_n jest ograniczony z góry, to
R.

2

2. Podać definicję zbieżności szeregu liczbowego o wyrazach a_n i warunek konieczny zbieżności takiego szeregu. Podać wybrane kryteria zbieżności szeregu o wyrazach nieujemnych.

Szereg jest zbieżny, gdy ciąg jego sum częściowych jest zbieżny.

Warunkiem koniecznym zbieżności szeregu a_n jest, aby
.

Kryteria zbieżności szeregu:

Kryterium Cauchy'ego:

Jeśli istnieje
, to:

-jeśli g<1 to szereg jest zbieżny;

-jeśli g>1 to szereg jest rozbieżny;

Kryterium d'Alemberta:

Załóżmy, że
. Jeżeli istnieje
, to:

-jeśli g<1 to szereg jest zbieżny;

-jeśli g>1 to szereg jest rozbieżny;

Jeśli w powyższych kryteriach g=1, to nie dają one rozstrzygnięcia co do zbieżności i trzeba skorzystać z innego kryterium.

Kryterium porównawcze

Dane są szeregi x_n, y_n o wyrazach nieujemnych. Załóżmy, że istnieje n₀ takie, że dla n> n₀ mamy
. Jeśli szereg y_n jest zbieżny, to szereg x_n jest zbieżny. Jeśli szereg x_n jest rozbieżny, to szereg y_n jest rozbieżny.

3

3. Podać definicję metryki i przestrzeni metrycznej. Podać definicję zbioru otwartego, domkniętego, punktu skupienia i brzegu zbioru.

Dowolną funkcję
, spełniającą warunki dla

1)

2)
-symetria

3)
-nierówność trójkąta

nazywamy metryką lub odległością w zbiorze X, a parę
nazywamy przestrzenią metryczną.

Mówimy, że E jest zbiorem otwartym, gdy dla dowolnego
istnieje r>0 takie, że
.

Zbiór domknięty, jest to taki zbiór, którego dopełnieniem jest zbiór otwarty

Mówimy, że
jest punktem skupienia zbioru E, gdy dla dowolnego r>0 zbiór
zawiera punkty zbioru E różne od x. Zbiór punktów skupienia zbioru E oznaczamy E^d i nazywamy pochodną zbioru E.

Brzegiem zbioru nazywamy zbiór punktów brzegowych, czyli takich punktów x, dla których dla dowolnego r>0 zbiór
ma punkty wspólne z E i z jego dopełnieniem E'=X/E.

5

4. Podać definicję przestrzeni zwartej, spójnej i zupełnej. Podać odpowiednie przykłady.

Mówimy, że przestrzeń metryczna X jest zupełna, gdy każdy ciąg punktów tej przestrzeni spełniający warunek Cauchy'ego jest zbieżny do pewnego
.

Mówimy, że przestrzeń A jest zwarta, gdy każdy ciąg punktów
zawiera podciąg
zbieżny do pewnego
.

Mówimy, że A jest zbiorem spójnym, gdy nie istnieją zbiory otwarte U i V rozłączne i takie, że
. W przeciwnym wypadku A nazywamy niespójnym.

6

5. Podać definicję przekształcenia ciągłego przestrzeni metrycznych i twierdzenia o równoważnych określeniach ciągłości. Co to jest przekształcenie jednostajnie ciągłe?

Mówimy, że przekształcenie f jest ciągłe w punkcie
, gdy dla dowolnego ciągu punktów x_k z przestrzeni X, jeśli

, to
. Jeśli f jest ciągłe w każdym punkcie
, to mówimy, że f jest przekształceniem jednostajnie ciągłym przestrzeni X w Y

Dla przekształcenia f:X→Y następujące warunki są równoważne:

a) f jest ciągłym przekształceniem X w Y

b) dla każdego
dowolnego ε>0 istnieje δ>0 taka, że

c) dla dowolnego zbioru otwartego
jego przeciwobraz f^-1(U) jest zbiorem otwartym w X

d) dla każdego domkniętego
jego przeciwobraz f^-1(F) jest zbiorem domkniętym w X.

6. Podać twierdzenia o własnościach przekształceń ciągłych, w szczególności twierdzenie o własnościach funkcji ciągłej określonej na przedziale domkniętym.

Jeśli f:X→Y jest ciągłe i A jest zwartym (spójnym)podzbiorem X, to jego obraz f(A) jest (spójnym)zwartym podzbiorem Y.

Ciągły obraz zbioru zwartego (spójnego) jest zbiorem zwartym (spójnym).

Jeśli
jest niepusty, to f(x)=
określona dla
jest ciągła.

f:[a,b] →R i f ciągła to f ograniczona, przyjmuje swoje kresy m_f(A) oraz M_f(A) oraz ma własność Darboux, tzn. istnieją
takie, że
i dla dowolnego
istnieje
takie, że f(c)=y.

7. Podać definicję pochodnej funkcji f(x) w punkcie x₀ i jej interpretację geometryczną.

Jeśli istnieje skończona granica
, to nazywamy ją pochodną funkcji f w punkcie x₀ i oznaczamy f'(x₀). Jeśli istnieje f'(x₀) dla dowolnego
to mówimy, że funkcja jest różniczkowalna na przedziale E (gładka na E) i funkcję f'(x) nazywamy pochodną funkcji f(x).

Geometrycznie, pochodna funkcji f(x) w danym punkcie rowna się współczynnikowi kierunkowemu stycznej do wykresu w tym punkcie.

8. Podać warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum w punkcie funkcji różniczkowalnej.

Jeśli funkcja f(x) ma ekstremum w punkcie x₀ i istnieje f'(x₀) to f'(x₀)=0

9. Podać definicję zbieżności jednostajnej i punktowej ciągu funkcyjnego. Sformułować twierdzenie dotyczące własności granicy ciągu funkcyjnego.

Mówimy, że ciąg funkcji jest zbieżny punktowo do funkcji f na X, gdy dla dowolnego
mamy

Mówimy, że ciąg funkcji jest zbieżny jednostajnie do funkcji f, gdy dla dowolnego ε>0 istnieje
takie, że dla n>n₀ i dla dowolnego
mamy
i piszemy wówczas
.

Jeśli f_n zbiega jednostajnie do f na X, to f_n zbiega punktowo do f na X

Jeśli f_n zbiega jednostajnie do f i f_n jest ciągiem funkcji ciągłych to f jest ciągła. (Jednostajna granica funkcji ciągłych jest funkcją ciągłą.

10. Podać definicję wielomianu Taylora i szeregu Taylora funkcji. Podać przykład zastosowania.

Mamy funkcję f:(a,b)→R ,(a,b)=P, ustalmy
.

Tworzymy ciąg:

W₀(x)=f(x₀)

W₁(x)=f(x₀)+f'(x₀)(x-x₀)

W_k(x) nazywamy wielomianem Taylora stopnia k funkcji f w punkcie x. Szereg Taylora to szereg sum wielomianów Taylora kolejnych stopni.

14. Podać definicję funkcji pierwotnej dla funkcji f(x). Jakie funkcje mają funkcje pierwotne? Czy funkcja pierwotna jest wyznaczona jednoznacznie?

Funkcję F:P→R nazywamy funkcją pierwotną dla funkcji f, gdy F'(x)=f(x) dla
.

Funkcję pierwotną ma każda funkcja ciągła na zb. P

Funkcja pierwotna jest wyznaczona z dokładnością do współczynnika c,

15. Podać definicję całki Riemanna z funkcji ciągłej w przedziale [a,b]. Podać interpretację całki oznaczonej i wymienić jej zastosowania.

Mamy dany przedział [a,b], który dzielimy na n przedziałów punktami ciągu a_n. Tworzymy ciąg c_n, który jest ciągiem punktów będących środkami odcinków [a_n,a_n+1]. Tworzymy funkcję
. Definiujemy

, czyli długość największego odcinka w podziale. Jeżeli istnieje
przy założeniu, że
, to wartość tej granicy nazywamy całką Riemanna z f(x) w [a,b] i oznaczamy

11. Sformułować twierdzenie Fubiniego i twierdzenie o zamianie zmiennych w całce Lebesgue'a. Opisać na przykładzie ich zastosowanie.

Twierdzenie Fubiniego:

Jeśli
jest całkowalna na E lub nieujemna na E to:

Twierdzenie o zamianie zmiennych:

Jeśli f jest całkowalna na E lub nieujemna to:

12. Podać definicję funkcji Gamma i opisać jej podstawowe własności. Podać definicję funkcji Beta.

Funkcja Gamma Eulera:

Własności:

Funkcja Beta Eulera:

13. Podać definicję różniczki odwzorowania f:Rⁿ->R^k i jej związek z pochodnymi cząstkowymi.

Liniowe odwzorowanie
nazywamy różniczką funkcji f:E→R^k w punkcie
, gdy funkcja ε_f(x) określona dla
wzorem
spełnia warunek
to odwzorowanie oznaczamy Df(x₀). Jego macierz w standardowych bazach w Rⁿ i w R^k to macierz Jacobiego J_f(x₀), czyli macierz pochodnych cząstkowych.

14. Podać warunek konieczny i dostateczny istnienia ekstremum funkcji wielu zmiennych klasy C2.

Warunek konieczny: Jeśli funkcja f ma ekstremum w punkcie
i istnieje gradient funkcji f w punkcie P to grad f(P)=0, to znaczy
dla j=1,2,...,n. Każdy punkt P spełniający równanie grad f(P)=0 nazywamy punktem stacjonarnym funkcji.

Warunek dostateczny: Załóżmy, że
jest punktem stacjonarnym funkcji f. Niech H_f(P) oznacza macierz Hessego funkcji f w punkcie P. Wówczas:

-jeśli macierz H_f(P) jest dodatnio określona, to w punkcie P jest minimum (właściwe) funkcji f;

-jeśli macierz H_f(P) jest ujemnie określona to w punkcie P jest maksimum (właściwe) funkcji f;

-jeśli macierz H_f(P) jest nieokreślona to w punkcie P funkcja nie ma ekstremum.

15. Sformułować twierdzenie Lagrange'a o ekstremum warunkowym funkcji różniczkowalnej. Opisać metodę wyznaczania największej i najmniejszej wartości takiej funkcji na zbiorze zwartym.

Niech
. Załóżmy, że dla dowolnego
rząd macierzy
jest równy k (czyli liczbie warunków określających zbiór D). Jeśli funkcja f ma ekstremum warunkowe w punkcie
to wektory
dla
są liniowo niezależne , to znaczy istnieją liczby
takie, że

Algorytm wyznaczania punktów , w których funkcja f może mieć ekstremum warunkowe na zbiorze D:

1° dla ustalonych parametrów
definiujemy funkcję
następująco

Funkcję nazywamy funkcja Lagrange'a a parametry
nazywamy mnożnikami Lagrange'a.

2° obliczamy gradient funkcji F

3° wyznaczmy punkty stacjonarne funkcji F na zbiorze D oraz wartości parametrów
rozwiązując układ równań:
Jest to układ n + k równań o n + k niewiadomych (n współrzędnych punktu x i k parametrów
).

16. Podać definicję funkcji wypukłej i opisać jej własności. Sformułować twierdzenia o równoważnych określeniach wypukłości.

Niech E będzie niepustym i wypukłym podzbiorem Rⁿ i niech
.

Mówimy, że funkcja f jest wypukła na zbiorze E gdy dla dowolnych
i dowolnego
mamy

Funkcja f jest wypukła na zbiorze E wtedy gdy jej nadwykres
jest zbiorem wypukłym.

(Nierówność Jensena) Jeśli funkcja f jest wypukła na zbiorze E to dla dowolnych punktów
i dowolnych liczb
takich, że
mamy

17. Sformułować twierdzenia o wartościach funkcji wypukłej na zbiorze otwartym i wypukłym.

Niech E będzie niepustym i wypukłym podzbiorem Rⁿ i niech
.

Jeśli zbiór E jest otwarty i funkcja f jest wypukła na E to f jest ciągła na E, to znaczy

Załóżmy, że E jest niepustym, wypukłym i otwartym podzbiorem Rⁿ . Zatem
jest zbiorem wypukłym i domkniętym. Niech
będzie funkcja klasy C¹, to znaczy

Funkcja f jest wypukła na zbiorze E wtedy i tylko wtedy gdy dla dowolnego
mamy

Załóżmy, że
. Funkcja f jest wypukła na zbiorze E wtedy gdy dla dowolnego
macierz Hessego tej funkcji
jest nieujemnie określona.

18. Podać definicję stopy wzrostu funkcji i elastyczności funkcji i opisać ich własności.

Stopa wzrostu:

Stopa wzrostu funkcji to względna zmiana wartości funkcji

Elastyczność funkcji:

Elastyczność funkcji w punkcie t jest dana wzorem:

jesli f(x) >=0 to f⁺(x)= f(x) i f^-(x)=0
wtedy
f(x)= f⁺(x) - f^-(x)= f(x) - 0= f(x)
|f(x)|=f⁺(x) + f^-(x)=f(x) + 0= f(x)=|f(x)|

jesli f(x)<0 to f⁺(x)=0 i f^-(x)= - f(x)
wtedy
f(x)=f⁺(x) - f^-(x)= 0 - (-f(x))= f(x)
|f(x)|= f⁺(x) + f^-(x)=0 + (-f(x))= -f(x)=|f(x)|

f⁺(x) wynosi 0 dla f(x)<0 i f(x) dla f(x)>=0
f^-(x) wynosi 0 dla f(x)>0 i -f(x) dla f(x)<=0

---