Wyznacz ekstrema funkcji f(x,y)=sinx+siny 1.Obliczamy pochodne. Df/dx=cosx || df/dx=cosy || 2. Wyznaczamy punkty stacjonarne. Układ rownan z pochodnych. cosx=0, cosy=0 i obliczamy. Wychodzi nam punkt(y) stacjonarny. P=(Π/2, Π/2). || 3. Wyznaczamy macierz Hessego funkcji f. Hf(x,y)=[..] || 4.Sprawdzamy określoność macierzy. „Macierz jest … określona” Jeżeli mamy kilka punktów to szukamy minimum i maksimum. || 5.ODP!
Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x,y)=x2y-2/x+1/y określonej dla x=/0 i y=/0 1. Liczymy pierwsze pochodne cząstkowe: df/dx=2yx-2/x2 , df/Dy=x2-1/y2 || grad f(xy)=(2yx-2/x2; x2-1/y2) || 2.Obliczamy pukty stacjonarne funkcji. || grad f(xy)=02yx-2/x2=0 oraz x2-1/y2=0 || Układ równań 2yx-2/x2=0 i x2-1/y2=0. Obliczamy i jest P1=(-1,1) i P2=(1,-1) || Liczymy drugie pochodne cząstkowe || d2f/dx2=2y-4/x3 , d2f/dy2=2/y3 , d2f/dxdy=2x || Układamy macierz Hessego || Sprawdzamy określoność macierzy Hessego w punktach stacjonarnych || P1=(-1,1), Hf(-1,1)=[..] i wyznaczniki. | Macierz Hessego jest dodatnio określona=> w P1 jest minimum funkcji wynoszące 4 || P2=(1,-1) , Hf(1,-1)=[-6 2|2 -2]. Wyznaczniki | Macierz Hessego jest ujemnie określona więc w punkcie P2 jest maksimum wynoszące -4 || ODP.
Dane przekształcenie f(t,u,v)=(uv+t2,tv+u2,tu-v2) (t,u,v)ϵR3; f:R3R3. Wyznacz macierz Jakobiego i policz Jakobian. Wyznacz zbiór miejsc zerowych Jakobiana. If(tuv)=[grad f1 | grad f2 | grad f3]=[df/dt | df/du | df/dv]=[2t, v, u | v, 2u, t | u, t, -2v] macierz jakobiego. || Jakobian: det If(tuv)=-2(t3-v3-u3+3tuv) || Zbiór miejsc zerowych Jakobiana: t3-v3+u3+3tuv=0
Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x,y)=x3-7x2y+2xy-y3 w punkcie P=(-1,2).
Z=f(x0)+<grad f(x0), x-x0> || x-x0=(x,y)-(-1,2)=(x+1, y-2) || x=(x,y) x0=P0 || f(x0)=f(P0)=f(-1,2)=-1-14-4-8=-27 || pochodne: df/dx=3x2-14xy+2y=3+28+4=35, df/dy=-7x2+2x-3y2=-7-2-12=-21 || grad f(x0)=(35,-21) || <grad f(x0), x-x0>=35(x+1)-21(y-2)=35x-21y+77 || z=77-27+35x-21y.
Wyznacz największą i najniejszą wartość funkcji f(x,y)=5x2+12y2 na zbiorze x4+y4=169
g(x,y)=x4+y4-169. Nasz zbiór g(x,y)=0 || Sprawdzamy czy jest to zbiór Lagrange'a. W tym celu obliczamy grad g(x,y) || gradg(x,y)=(4x3, 4y3) y=x=0 || Punkt (0,0) nie należy do naszego zbioru. Wynika stąd że nasz zbiór jest zbiorem Lagrange'a. Funkcja f jest ciągła na tym zbiorze zatem istnieją w tym zbiorze takie punkty których wartość funkcji jest największa lub najmniejsza. Punkty są jednocześnie ekstremami warunkowymi funkcji a zatem wystarczy znaleźć punkty w których może być ekstremum na zbiorze Lagrange'a. Ponieważ nasza funkcja jest klasy C1 to możemy stosować mnożniki Lagrange'a. || Piszemy funkcje Lagrange'a || F(x,y)=f(x,y)-λg(x,y)|| F(x,y)=5x212y2-λ(x4+y4-169) || I pochodne df/dx=10x-4λx3 df/dy=24y-4λy3 || Układ równań Lagrange'a: czyli pochodne plus równanie x4+y4-169=0 i obliczamy || Wychodza 4 punkty. Podstawiamy je pod równanie f(x,y) i szukamy najmniejszej i najwiekszej wartości. || ODP!
Wyznacz najmniejsza i największą wartość funkcji f(x,y)=x2y na zbiorze G={(x,y):x>=0, y>=0, 3x2+2y=<6}
Szukamy punktów stacjonarnych f należących do G || Pochodne df/dx i df/dy i z nich układ równan. Wychodzi nam y=[0,3], xϵ[0,2] || Ponieważ f(xy)>=0 dla (x,y)ϵG to 0=mf(G) || Szukamy wartości największej na odcinku prostej o równaniu 3x+2y=6 || 3x+2y-6=g(x) czyli szukamy punktów w których może być ekstremum warunkowe funkcji na zbiorze Lagrange'a || Funkcja Lagrange'a: F(x,y)=f(x,y)-λg(x,y) || F(x,y)=x2y-λ(3x+2y-6)=x2y-3λx-2λy+6λ || I pochodne dF/dx, dF/dy || Z pochodnych układ równań plus jedno dodatkowe 3x+2y-6=0 i obliczamy || Wychodzi x=4/3 i y=1 || Mamy więc punkt P1=(4/3, 1) || Mf(G)=f(P1)=(4/3)2*1=16/9. ODP!
Wykaż że funkcja f(x,y)=x3+3y2+6xy-9x jest wypukła na zbiorze W={(x,y)ϵR2; x>1}. Wyznacz najmniejszą i wartość tej funkcji na zbiorze W. 1. Ponieważ funkcja jest klasy C2 to jej wypukłość na danym zbiorze jest równoważna nieujemnej określoności macierzy Hessego na danym zbiorze. || Wyznaczamy macierz Hessego funkcji f(x,y) || df/dx=3x2+6y-9, df/dy=6y+6x, d2f/dx2=6x, d2f/dy2=6, d2f/dxdy=6 || Hf(x,y)=[6x 6|6 6] || Hf(x,y) jest nieujemnie określona <=> ślad trHf(x,y)>=0 i det Hf(x,y)>=0 || tfHf(xy)=6x+6=6(x+1)>=0 dla x>1 || detHf(xy)=36(x-1)>=0 dla x>1 || Wiec Hf(xy) jest określona nieujemnie dla x>1, więc dla (x,y)ϵW macierz Hf(xy) jest określona nieujemnie, więc f(xy) jest wypukła na W. || Rysujemy W || Zbiór W jest zbiorem otwartym i funkcja f jest wypukła na W, zatem najmniejszą wartość przyjmuje w punkcie stacjonarnym należącym do W. || Wyznaczamy punkty stacjonarny || Układ równań: (df/dx)3x2+6y-9=0 i (df/dy)6y+6x=0 || Obliczamy i mamy; P1=(-1,1), P2=(1,-3) || Najmniejsza wartość funkcji f na W to liczba f(P2)=f(1,-3)=27+3*9+6*(-9)=-27. || ODP!
Wykaż że funkcja f(x,y)=x4+6x2y2+y4 jest funkcją wypukłą na całej płaszczyźnie. Wyznacz najmniejszą wartość f na całej płaszczyźnie. Funkcja f klasy C2 jest wypukła na zbiorze wypukłym E wtey gdy jej macierz Hessego Hf jest nieujemnie określona na zbiorze E. || Wyznaczamy macierz Hessego. || Pochodne: df/dx, df/dy, d2f/dx2, d2f/dy2, d2f/dxdy i macierz Hf(xy) || Hf(x,y) jest nieujemnie określona <=> ślad trHf(x,y)>=0 i det Hf(x,y)>=0 || trHf=12x2+12y2+12x2+12y2>=0 jest spełniony dla (x,y)ϵR2 || detHf=144(x4-2x2y2+y2)>=0 dla (x,y)ϵR || Macierz Hessego jest nieujemnie określona więć nasza funkcja jest wypukła na całej płaszczyźnie. Ponieważ funkcja f jest wypukła na całej płaszczyźnie to najmniejsza wartość jest w punkcie stacjonarnym o ile istnieje. || szukamy punktów stacjonarnych funkcji f. || układ równań (df/dx)=4x3+12xy2=0 i (df/dy)=12x2y+4y3=0 i obliczamy. Punkt stacjonarny P=(0,0) || f(P)=0 najmniejsza wartość funkcji.
Wyznacz ekstrema funkcji f(x,y)=sinx+siny 1.Obliczamy pochodne. Df/dx=cosx || df/dx=cosy || 2. Wyznaczamy punkty stacjonarne. Układ rownan z pochodnych. cosx=0, cosy=0 i obliczamy. Wychodzi nam punkt(y) stacjonarny. P=(Π/2, Π/2). || 3. Wyznaczamy macierz Hessego funkcji f. Hf(x,y)=[..] || 4.Sprawdzamy określoność macierzy. „Macierz jest … określona” Jeżeli mamy kilka punktów to szukamy minimum i maksimum. || 5.ODP!
Wyznaczyć ekstrema funkcji f(x,y)=x2y-2/x+1/y określonej dla x=/0 i y=/0 1. Liczymy pierwsze pochodne cząstkowe: df/dx=2yx-2/x2 , df/Dy=x2-1/y2 || grad f(xy)=(2yx-2/x2; x2-1/y2) || 2.Obliczamy pukty stacjonarne funkcji. || grad f(xy)=02yx-2/x2=0 oraz x2-1/y2=0 || Układ równań 2yx-2/x2=0 i x2-1/y2=0. Obliczamy i jest P1=(-1,1) i P2=(1,-1) || Liczymy drugie pochodne cząstkowe || d2f/dx2=2y-4/x3 , d2f/dy2=2/y3 , d2f/dxdy=2x || Układamy macierz Hessego || Sprawdzamy określoność macierzy Hessego w punktach stacjonarnych || P1=(-1,1), Hf(-1,1)=[..] i wyznaczniki. | Macierz Hessego jest dodatnio określona=> w P1 jest minimum funkcji wynoszące 4 || P2=(1,-1) , Hf(1,-1)=[-6 2|2 -2]. Wyznaczniki | Macierz Hessego jest ujemnie określona więc w punkcie P2 jest maksimum wynoszące -4 || ODP.
Dane przekształcenie f(t,u,v)=(uv+t2,tv+u2,tu-v2) (t,u,v)ϵR3; f:R3R3. Wyznacz macierz Jakobiego i policz Jakobian. Wyznacz zbiór miejsc zerowych Jakobiana. If(tuv)=[grad f1 | grad f2 | grad f3]=[df/dt | df/du | df/dv]=[2t, v, u | v, 2u, t | u, t, -2v] macierz jakobiego. || Jakobian: det If(tuv)=-2(t3-v3-u3+3tuv) || Zbiór miejsc zerowych Jakobiana: t3-v3+u3+3tuv=0
Wyznacz równanie płaszczyzny stycznej do wykresu funkcji f(x,y)=x3-7x2y+2xy-y3 w punkcie P=(-1,2).
Z=f(x0)+<grad f(x0), x-x0> || x-x0=(x,y)-(-1,2)=(x+1, y-2) || x=(x,y) x0=P0 || f(x0)=f(P0)=f(-1,2)=-1-14-4-8=-27 || pochodne: df/dx=3x2-14xy+2y=3+28+4=35, df/dy=-7x2+2x-3y2=-7-2-12=-21 || grad f(x0)=(35,-21) || <grad f(x0), x-x0>=35(x+1)-21(y-2)=35x-21y+77 || z=77-27+35x-21y.
Wyznacz największą i najniejszą wartość funkcji f(x,y)=5x2+12y2 na zbiorze x4+y4=169
g(x,y)=x4+y4-169. Nasz zbiór g(x,y)=0 || Sprawdzamy czy jest to zbiór Lagrange'a. W tym celu obliczamy grad g(x,y) || gradg(x,y)=(4x3, 4y3) y=x=0 || Punkt (0,0) nie należy do naszego zbioru. Wynika stąd że nasz zbiór jest zbiorem Lagrange'a. Funkcja f jest ciągła na tym zbiorze zatem istnieją w tym zbiorze takie punkty których wartość funkcji jest największa lub najmniejsza. Punkty są jednocześnie ekstremami warunkowymi funkcji a zatem wystarczy znaleźć punkty w których może być ekstremum na zbiorze Lagrange'a. Ponieważ nasza funkcja jest klasy C1 to możemy stosować mnożniki Lagrange'a. || Piszemy funkcje Lagrange'a || F(x,y)=f(x,y)-λg(x,y)|| F(x,y)=5x212y2-λ(x4+y4-169) || I pochodne df/dx=10x-4λx3 df/dy=24y-4λy3 || Układ równań Lagrange'a: czyli pochodne plus równanie x4+y4-169=0 i obliczamy || Wychodza 4 punkty. Podstawiamy je pod równanie f(x,y) i szukamy najmniejszej i najwiekszej wartości. || ODP!
Wyznacz najmniejsza i największą wartość funkcji f(x,y)=x2y na zbiorze G={(x,y):x>=0, y>=0, 3x2+2y=<6}
Szukamy punktów stacjonarnych f należących do G || Pochodne df/dx i df/dy i z nich układ równan. Wychodzi nam y=[0,3], xϵ[0,2] || Ponieważ f(xy)>=0 dla (x,y)ϵG to 0=mf(G) || Szukamy wartości największej na odcinku prostej o równaniu 3x+2y=6 || 3x+2y-6=g(x) czyli szukamy punktów w których może być ekstremum warunkowe funkcji na zbiorze Lagrange'a || Funkcja Lagrange'a: F(x,y)=f(x,y)-λg(x,y) || F(x,y)=x2y-λ(3x+2y-6)=x2y-3λx-2λy+6λ || I pochodne dF/dx, dF/dy || Z pochodnych układ równań plus jedno dodatkowe 3x+2y-6=0 i obliczamy || Wychodzi x=4/3 i y=1 || Mamy więc punkt P1=(4/3, 1) || Mf(G)=f(P1)=(4/3)2*1=16/9. ODP!
Wykaż że funkcja f(x,y)=x3+3y2+6xy-9x jest wypukła na zbiorze W={(x,y)ϵR2; x>1}. Wyznacz najmniejszą i wartość tej funkcji na zbiorze W. 1. Ponieważ funkcja jest klasy C2 to jej wypukłość na danym zbiorze jest równoważna nieujemnej określoności macierzy Hessego na danym zbiorze. || Wyznaczamy macierz Hessego funkcji f(x,y) || df/dx=3x2+6y-9, df/dy=6y+6x, d2f/dx2=6x, d2f/dy2=6, d2f/dxdy=6 || Hf(x,y)=[6x 6|6 6] || Hf(x,y) jest nieujemnie określona <=> ślad trHf(x,y)>=0 i det Hf(x,y)>=0 || tfHf(xy)=6x+6=6(x+1)>=0 dla x>1 || detHf(xy)=36(x-1)>=0 dla x>1 || Wiec Hf(xy) jest określona nieujemnie dla x>1, więc dla (x,y)ϵW macierz Hf(xy) jest określona nieujemnie, więc f(xy) jest wypukła na W. || Rysujemy W || Zbiór W jest zbiorem otwartym i funkcja f jest wypukła na W, zatem najmniejszą wartość przyjmuje w punkcie stacjonarnym należącym do W. || Wyznaczamy punkty stacjonarny || Układ równań: (df/dx)3x2+6y-9=0 i (df/dy)6y+6x=0 || Obliczamy i mamy; P1=(-1,1), P2=(1,-3) || Najmniejsza wartość funkcji f na W to liczba f(P2)=f(1,-3)=27+3*9+6*(-9)=-27. || ODP!
Wykaż że funkcja f(x,y)=x4+6x2y2+y4 jest funkcją wypukłą na całej płaszczyźnie. Wyznacz najmniejszą wartość f na całej płaszczyźnie. Funkcja f klasy C2 jest wypukła na zbiorze wypukłym E wtey gdy jej macierz Hessego Hf jest nieujemnie określona na zbiorze E. || Wyznaczamy macierz Hessego. || Pochodne: df/dx, df/dy, d2f/dx2, d2f/dy2, d2f/dxdy i macierz Hf(xy) || Hf(x,y) jest nieujemnie określona <=> ślad trHf(x,y)>=0 i det Hf(x,y)>=0 || trHf=12x2+12y2+12x2+12y2>=0 jest spełniony dla (x,y)ϵR2 || detHf=144(x4-2x2y2+y2)>=0 dla (x,y)ϵR || Macierz Hessego jest nieujemnie określona więć nasza funkcja jest wypukła na całej płaszczyźnie. Ponieważ funkcja f jest wypukła na całej płaszczyźnie to najmniejsza wartość jest w punkcie stacjonarnym o ile istnieje. || szukamy punktów stacjonarnych funkcji f. || układ równań (df/dx)=4x3+12xy2=0 i (df/dy)=12x2y+4y3=0 i obliczamy. Punkt stacjonarny P=(0,0) || f(P)=0 najmniejsza wartość funkcji.