Całkowanie przez części: ʃ f(x)*g'(x)dx=f(x)*g(x)-ʃ f'(x)*g(x)dx
a) ʃxcos4xdx={f(x)=x, g'(x)=cos4x, f'(x)=1, g(x)=1/4sin4x}=1/4xsin4x-ʃ1/4sin4xdx=1/4xsin4x-1/4(-1/4)cos4x
Oblicz pole ograniczone..OX i wykresem f(x)=1/x4 dla x>=1 || g(x)=0 || P=ʃ 1/x4dx=Limʃ 1/x4dx=*{ʃx-4dx=(-1/3) x-3}*=Lim(-1/3 x-3 |c1)=Lim(-1/3 c-3+1/3)=0+1/3=1/3
Oblicz pole ograniczone wykresami funkcji f(x)=2x2+4, g(x)=x2+5x || P=bʃa |f(x)-g(x)|dx || 1)szukamy punktów wspólnych f(x)=g(x) x2-5x+4=0, x1=1, x2=4 || Wzór na pole P=4ʃ1|2x2+4-(x2+5)|dx=4ʃ1|x2-5x+4|dx || 3)pozbywamy się wartości bezwzględnej: niech h(x)=x2-5x+4. h(x)<0 dla xE(1,4)|h(x)|=-h(x). Ponieważ h(x) jest ciągła i h(x)=/0 dla XE(1,4)h(x) ma stały znak dla xE(1,4) || h(2)=4-5*2+4=-2<0 || 4)obliczamy pole: P=4ʃ1|x2-5x+4|dx=4ʃ1(-x2+5-4)dx=-1/3 x3+5/2 x2-4x |41=podstawiamy 4 za x..=4,5 5)Odp
Oblicz objętośc bryły która powstaje..obrót funkcji f(x)=1/pierwiastek 3-go stopnia z x dookoła osi OX dla x(0,1] || V=Π bʃa(f(x))2dx || V=Πʃ x-2/3dx=Π*Lim ʃ x-2/3dx=Π*Lim(3x1/3 |1c)= Π*Lim(3-3c1/3)=Π*(3-0)=3Π
Objętość bryły przez obrót dookoła OX. Ograniczona wykresami: f(x)=x2, g(x)=pierw z x || V=V1-V2 gdzie V1=Π bʃa(g(x))2dx V2=Π bʃa(f(x))2dx || V=bʃa[(g(x))2-(f(x))2]dx , a=1 b=0 || V=Π ʃ(x-x4)dx=Π(1/2 x2-1/5 x5) |10)=Π(1/2-1/5-0)=Π*3/10=3Π/10
Oblicz długośc wykresu funkcji f(x)=2x pierwiastek z x dla x[0,7] || L=bʃa pierwiastek z 1+(f'(x))2 dx || f'(x)=2*3/2 x1/2=3pierwiastek z x || L=ʃ pierwiastek 1+9x dx=2/27(1+9x)3/2 |70 =2/27(643/2-1)=1022/27
Oblicz długość krzywej określonej równaniem parametrycznym x(t)=Rcos3t, y(t)=Rsin3t tE(0,2Π) || ||v(t)||=pierwiastek z (x'(t))2+(y'(t))2 || L=bʃa||v(t)||dt ||| x'(t)=R3cos2t(-sint)=-3Rcos2tsint || y'(t)=3Rsin2tcost || (x')2+(y')2=…=9R2cos2tsin2t || ||v(t)||=pierwiastek z 9R2cos2tsin2t=3R|costsint| || L=ʃ 3R|costsint|dt={costsint=1/2sin2t}=3R 2Πʃ01/2|sin2t|dt=3/2R*4 Π/2ʃ0|sin2t|dt=6R(-1/2 cos2t |Π/20)=-3R(cosΠ-cos0)=-3R*(-2)=6R
Pole ograniczone OX i wykresem funkcji f(x)=2x+18/(x2+9)(x-1) dla x>=2 || wzor na pole || g(x)=0 || Ponieważ dla x>=2 f(x)>=0 to: P=nskʃ22x+18/(x2+9)(x-1)dx || Rozkładamy funkcje podcałkową na ułamki proste: 2x+18/(x2+9)(x-1)=Ax+B/x2+9 + C/x-1= (Ax+B)(x-1)+C(x2+9)/(x2+9)(x-1) || 2x+18=(Ax+b)(x-1)+C(x2+9) || za x wstawiamy 1: 20=10C->C=2 || za x wstawiamy 3i: 6i+18=(A*3i+B)(3i-1)=-9A-3Ai+3Bi-B || układ równań: 18=-9A-B , 6=-3A+3B … A=-2 B=0 || Obliczamy całke nieoznaczoną ʃ 2x+18/(x2+9)(x-1) dx=ʃ(2/x-1 - 2x/x2+9)dx=2ln(x-1)-ln(x2+9)=ln(x-1)2-ln(x2+9)=ln (x-1)2/x2+9 || P=lim cʃ2 2x+18/(x2+9)(x-1) dx = lim(ln (x-1)2/x2+9 |c2)=lim(ln(c-1)2/c2+9 - ln 1/13)=ln1-ln1/13=0-ln1/13=ln13
Zbadaj zbieżność f(x)=x/x2+4 || nskʃ1f(x)dx=Lim ½ tʃ1 2x/x2+4 dx=½Lim ln(x2+4)|t1=½Lim(ln(t2+4))-(ln5)=nsk. || całka nie jest skonczona. Szereg rozbieżny.
ʃ xcos4xdx={f(x)=x, g'(x)=cos4x, f'(x)=1, g(x)=1/4 sin4x}= f(x)*g(x)-ʃf'(x)*g(x)=1/4 xsin4x-ʃ1/4 sin4xdx=1/4 xsin4x-1/4*(-1/4)*cos4x
Oblicz pole ogr wykr funkcji f(x)=xe-x, y=0, x(0,1) || P=1ʃ0|xe-x|dx={f(x)=x,f'(x)=1,g'(x)=e-x
,g(x)=-ex}=-xe-x |10 - 1ʃ0 -e-xdx= -e-1-e-x |10= -e-1-e-1+1=1-2e-1
Pole ograniczone wykresami funkcji: y=xe-x^2, x>=0 || P=nskʃ0|xe-x^2|dx={x2=t, 2x=dt}= nskʃ01/2 e-tdt=1/2 nskʃ0e-tdt= 1/2Lim cʃ0(e-c-e0)=1/2
* f(x) i g(x) porownuje licze delte i x pozniej P=Sba |f(x)-g(x)| dalej podstawiam i pisze h(x)=…=0 x=.. lub x=..., stad funkcja h(x) ma staly znak dla XE(x,x) h(0)=…><0 stad |h(x)|=h(x) .. lub h(-x) dla xE(a,b). dalej P=Sba (…)=[licze calke]ba= i licze [j2]
* V=Pi Sba (f(x))2dx i nizej S x cos(4x)dx= {podstawiam f i g'} = najpierw bez primow i odjąć S z falki i licze. Dalej pisze V=Pi [to co policzyłem]ba= i licze [j3] _//+wykres
*f(x) i OX dla x>=… i P=Sba |f(x)-g(x)| h(x)>0 dla xE[..) stad |h(x)|=h(x) dla xE[), delta x1 i x2
P=lim(a->nsk)S a2(gl)dx=…=limSa21/(x-x1)(x-x2)dx ||1/(x-x1)(x-x2)=a/(x-x1)+b/(x-x2) mnożę przez siebie, (a+b)x-… 1=(a+b)x-…Układ r. przy a=0 a to drugie=1 wyzn a i b i podst do 1/(x-x1)(x-x2)= a/ (x-x1)+b/(x-x2) || P=lim2Sa2a/(x-x1)+Sa2b/(x-x2)dx=… ||1/(x-x)+1(x-x) - to da się zam na Ln np. Ln|x+3|+Ln|x-2|+C= {+=*;-=/ -zamieniam dzialaia ; ln a2=2lna} || P=lim (a->nsk) S(gl. calka)dx i pozniej podst (ulamek) i cos tam wychodzi ;] Lne=0 Ln1=0