ZALICZENIE Analiza, WTD, analiza matematyczna


Zad. Metryka…

⇓RO(x,y)≥0|…|≥0 ,ponieważ |a|≥0 ⇓1° RO(x,y)=0 x=y

⇓RO(x,y)=|…|=0(nad napisać |a|≥0)…x=y ⇓2° RO(x,y)=RO(y,x)

⇓RO(x,y)=|…|=(nad = napisać |a|=|-a| dla a∈R) |…|=RO(y,x) ⇓3° RO(x,y)≤RO(x,z)+RO(z,y)

⇓RO(x,y)=|…|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|≤(nad ≤ napisać |a+b|≤|a|+|b|)…=|…|+|…|=RO(x,z)+RO(z,y)

⇓Wszystkie warunki spełniona więc wnioskujemy, że RO jest metryką w X.

⇓K(y,r)={x,y∈(dziedzina):RO(x,y)<r} (y i r podane w zadaniu) ⇓RO(x,y)<r|podstawione x-+y|<r ⇓Rozwiązać nierówność ⇓Odp: K(y,r)=przedział (x1,x2)

Zad. Cięgi…

♦(1-4/n)n=e-4 ♦(1+2/n)n=e+2

♦jak będzie sin to z lewej (przepisać bez sin), z prawej to samo z minusem.

⇓Odp. Na podstawie tw. o 3 ciągach mamy, że lim…=coś

♦czasami można pomnożyć przez mianownik z innym znakiem.

Zad. Ciągłość i różniczkowalność…

⇓Napisać po kolei że wszystko jest ciągłe }(stąd funkcja jest ciągła) ⇓Limx0f(x)=…=[..]=(coś)

⇓f(x) jest ciągła dla x=0 ⇓f`(0)= limx0f(x)-f(0)//x-0=…=0

⇓jeśli jest 0 to jest różniczkowalna, a jeśli nie to nie jest.

Zad. Stosując definicję granicę ciągu…

⇓Należy wykazać ,że dla dowolnego E>0 istnieje n0∈R takie, że dla n> n0 mamy |..-..|<E

⇓Ustalmy dowolne E>0.Wyznaczamy n0:

⇓|..-..|=|…|=|najprostsza postać|=(nad = napisać n>coś|

⇓Obliczamy delty licznika i mianownika, i stwierdzamy od ilu jest większe n

⇓Liczymy dalej… ( mianownik zwiększamy, a licznik zmniejszamy) (najlepiej zrobić tą samą potęgę) <E ⇓n>coś/E , n0=coś/E

⇓Dla n>coś/E mamy (wynik)<E => dla n>coś/E mamy |..-..|<E

⇓Odp.Wykazaliśmy, że dla dowolnego E>0 istnieje n0=coś/E takie, że dla n>coś/E mamy |..-..|<E

Zad. Badanie funkcji ...

⇓D=(-∞;..)∪(..;+∞) ⇓Liczymy pochodną f`(x)... ⇓Miejsca zerowe f`(x)=0 licznik=0 (liczymy delte) ⇓Ponieważ (mianowniki)>0 dla x∈D, to znak f`(x) jest taki sam jak znak funkcji y=(licznik) ⇓Wykres(podpisana parabola, 3 liczby, ekstrema)

⇓f`(x)>0 dla x∈(..)∪(..) ⇓f`(x)<0 dla x∈(..)∪(..)

⇓f(x)↑ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(x)↓ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(od miejsc zerowych)...

⇓limx4+ f(x)=…=∞ ⇓limx4- f(x)=…=-∞ ⇓limx4 f`(x)=…=∞

⇓prosta x=4 jest asymptotą pionową obustronną f(x) ⇓Teraz sprawdzam asymptotę ukośną

⇓a= limx+- f`(x)=…=coś ⇓b= limx+- (f(x)-ax)=…=coś

⇓y=ax+b ⇓Jeżeli jest asymptota ukośna to nie ma asymptoty poziomej więc nie liczymy.

⇓Poziomą liczymy tak jak pionową tylko x→∞ i ma dać 0.

„nieoznaczony”-[∞/∞] [0*∞] [0/0] [00] [∞0]----->[a+∞=∞] [a/0=∞] [0/a=0]

Zad. Największa i najmniejsza…

⇓f`(x)=… ⇓f`(0)=0 wynik=0 e-x=0(brak rozwiązań e-x>0 dla x∈R) lub reszta=0

⇓z reszty liczymy delte ⇓f(I dziedzina)… ⇓f(II dziedzina)… ⇓f(x1)… ⇓f(x2)…

⇓ustalamy która jest największa która najmniejsza (trzeba udowodnić)

W jakich pkt f(x,y,z) ma ekstrema lokalne na zbiorze [g(x,y,z)]?

☻[g(x,y,z)] ☻D={(x,y,z):[g(x,y,z)] ☻Sprawdzamy czy D jest zbiorem Langrange'a.

☻grad g=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)=(…) ≠ (0,0,0) dla wszystkich (x,y,z)єD ☻Zatem D jest zbiorem Lagrange'a ☻F(x,y,z)=f(x,y,z)-λg(x,y,z)=… ☻∂F/∂x=… ∂F/∂y=… ∂F/∂z=… ☻Robimy układ

☻Wyznaczamy x,y,z ☻Odp: Funkcja f(x,y,z) może mieć ekstrema lokalne na zbiorze [g(x,y,z)] w punkcie P=(…)

Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość.

☻Policzyć ∂ pierwszego stopnia ☻potem porównać do 0 i zrobić układ równań. ☻utwożyć wszystkie możliwe P1=(…), P2=(…)… ☻Policzyć ∂ mieszane ☻Hf (x,y)=[…] ☻Hf (P1)=[…], potem liczymy wyznaczniki (det) i określamy czy jest określona. „stąd jest nieokreślona, f(x,y) nie ma ekstremum u pkt (…)” // „stąd Hf (…) jest ujemnie określona, stąd f(x,y) posiada max w pkt (…)

☻I tak dla każdego P!!! ☻f(…)=podstaw ☻Odp: f(x,y) ma maksimum lokalne w pkt (…) równe…

Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do wykresu funkcji f(x,y)=… w punkcie P=(…) x0=[P]

☻Z=f(x0)+<grad f(x0), x-x0> ☻grad f(x,y)=(∂f/∂x, ∂f/∂y)=(..,..) ☻grad f(x0)=(…) podstawiamy x0 do tego co wyznaczyliśmy. ☻f(x0)=… podstawiamy x0 do startowego ☻Podstawiamy do Z=....

Zad. Indukcja…

⇓1° Sprawdzamy dla n=1 ⇓L=… P=…

⇓2° Ustalmy dowolne n≥1 oraz załóżmy że zachodzi (z polecenia rozpisane)

⇓Obliczamy że Ln+1=Pn+1 ⇓Równość prawdziwa dla n≥1

⇓Odp. Na podstawie twierdzenia indukcji matematycznej wnioskujemy, że równość ||Ln+1=Pn+1|| zachodzi => (z polecenia)

Zad. Metryka…

⇓RO(x,y)≥0|…|≥0 ,ponieważ |a|≥0 ⇓1° RO(x,y)=0 x=y

⇓RO(x,y)=|…|=0(nad napisać |a|≥0)…x=y ⇓2° RO(x,y)=RO(y,x)

⇓RO(x,y)=|…|=(nad = napisać |a|=|-a| dla a∈R) |…|=RO(y,x) ⇓3° RO(x,y)≤RO(x,z)+RO(z,y)

⇓RO(x,y)=|…|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|≤(nad ≤ napisać |a+b|≤|a|+|b|)…=|…|+|…|=RO(x,z)+RO(z,y)

⇓Wszystkie warunki spełniona więc wnioskujemy, że RO jest metryką w X.

⇓K(y,r)={x,y∈(dziedzina):RO(x,y)<r} (y i r podane w zadaniu) ⇓RO(x,y)<r|podstawione x-+y|<r ⇓Rozwiązać nierówność ⇓Odp: K(y,r)=przedział (x1,x2)

Zad. Cięgi…

♦(1-4/n)n=e-4 ♦(1+2/n)n=e+2

♦jak będzie sin to z lewej (przepisać bez sin), z prawej to samo z minusem.

⇓Odp. Na podstawie tw. o 3 ciągach mamy, że lim…=coś

♦czasami można pomnożyć przez mianownik z innym znakiem.

Zad. Ciągłość i różniczkowalność…

⇓Napisać po kolei że wszystko jest ciągłe }(stąd funkcja jest ciągła) ⇓Limx0f(x)=…=[..]=(coś)

⇓f(x) jest ciągła dla x=0 ⇓f`(0)= limx0f(x)-f(0)//x-0=…=0

⇓jeśli jest 0 to jest różniczkowalna, a jeśli nie to nie jest.

Zad. Stosując definicję granicę ciągu…

⇓Należy wykazać ,że dla dowolnego E>0 istnieje n0∈R takie, że dla n> n0 mamy |..-..|<E

⇓Ustalmy dowolne E>0.Wyznaczamy n0:

⇓|..-..|=|…|=|najprostsza postać|=(nad = napisać n>coś|

⇓Obliczamy delty licznika i mianownika, i stwierdzamy od ilu jest większe n

⇓Liczymy dalej… ( mianownik zwiększamy, a licznik zmniejszamy) (najlepiej zrobić tą samą potęgę) <E ⇓n>coś/E , n0=coś/E

⇓Dla n>coś/E mamy (wynik)<E => dla n>coś/E mamy |..-..|<E

⇓Odp.Wykazaliśmy, że dla dowolnego E>0 istnieje n0=coś/E takie, że dla n>coś/E mamy |..-..|<E

Zad. Badanie funkcji ...

⇓D=(-∞;..)∪(..;+∞) ⇓Liczymy pochodną f`(x)... ⇓Miejsca zerowe f`(x)=0 licznik=0 (liczymy delte) ⇓Ponieważ (mianowniki)>0 dla x∈D, to znak f`(x) jest taki sam jak znak funkcji y=(licznik) ⇓Wykres(podpisana parabola, 3 liczby, ekstrema)

⇓f`(x)>0 dla x∈(..)∪(..) ⇓f`(x)<0 dla x∈(..)∪(..)

⇓f(x)↑ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(x)↓ dla x∈(..) oraz dla x∈(..) ⇓f(od miejsc zerowych)...

⇓limx4+ f(x)=…=∞ ⇓limx4- f(x)=…=-∞ ⇓limx4 f`(x)=…=∞

⇓prosta x=4 jest asymptotą pionową obustronną f(x) ⇓Teraz sprawdzam asymptotę ukośną

⇓a= limx+- f`(x)=…=coś ⇓b= limx+- (f(x)-ax)=…=coś

⇓y=ax+b ⇓Jeżeli jest asymptota ukośna to nie ma asymptoty poziomej więc nie liczymy.

⇓Poziomą liczymy tak jak pionową tylko x→∞ i ma dać 0.

„nieoznaczony”-[∞/∞] [0*∞] [0/0] [00] [∞0]----->[a+∞=∞] [a/0=∞] [0/a=0]

Zad. Największa i najmniejsza…

⇓f`(x)=… ⇓f`(0)=0 wynik=0 e-x=0(brak rozwiązań e-x>0 dla x∈R) lub reszta=0

⇓z reszty liczymy delte ⇓f(I dziedzina)… ⇓f(II dziedzina)… ⇓f(x1)… ⇓f(x2)…

⇓ustalamy która jest największa która najmniejsza (trzeba udowodnić)

W jakich pkt f(x,y,z) ma ekstrema lokalne na zbiorze [g(x,y,z)]?

☻[g(x,y,z)] ☻D={(x,y,z):[g(x,y,z)] ☻Sprawdzamy czy D jest zbiorem Langrange'a.

☻grad g=(∂f/∂x,∂f/∂y,∂f/∂z)=(…) ≠ (0,0,0) dla wszystkich (x,y,z)єD ☻Zatem D jest zbiorem Lagrange'a ☻F(x,y,z)=f(x,y,z)-λg(x,y,z)=… ☻∂F/∂x=… ∂F/∂y=… ∂F/∂z=… ☻Robimy układ

☻Wyznaczamy x,y,z ☻Odp: Funkcja f(x,y,z) może mieć ekstrema lokalne na zbiorze [g(x,y,z)] w punkcie P=(…)

Wyznaczyć najmniejszą i największą wartość.

☻Policzyć ∂ pierwszego stopnia ☻potem porównać do 0 i zrobić układ równań. ☻utwożyć wszystkie możliwe P1=(…), P2=(…)… ☻Policzyć ∂ mieszane ☻Hf (x,y)=[…] ☻Hf (P1)=[…], potem liczymy wyznaczniki (det) i określamy czy jest określona. „stąd jest nieokreślona, f(x,y) nie ma ekstremum u pkt (…)” // „stąd Hf (…) jest ujemnie określona, stąd f(x,y) posiada max w pkt (…)

☻I tak dla każdego P!!! ☻f(…)=podstaw ☻Odp: f(x,y) ma maksimum lokalne w pkt (…) równe…

Wyznaczyć równanie płaszczyzny stycznej i prostej normalnej do wykresu funkcji f(x,y)=… w punkcie P=(…) x0=[P]

☻Z=f(x0)+<grad f(x0), x-x0> ☻grad f(x,y)=(∂f/∂x, ∂f/∂y)=(..,..) ☻grad f(x0)=(…) podstawiamy x0 do tego co wyznaczyliśmy. ☻f(x0)=… podstawiamy x0 do startowego ☻Podstawiamy do Z=....

Zad. Indukcja…

⇓1° Sprawdzamy dla n=1 ⇓L=… P=…

⇓2° Ustalmy dowolne n≥1 oraz załóżmy że zachodzi (z polecenia rozpisane)

⇓Obliczamy że Ln+1=Pn+1 ⇓Równość prawdziwa dla n≥1

⇓Odp. Na podstawie twierdzenia indukcji matematycznej wnioskujemy, że równość ||Ln+1=Pn+1|| zachodzi => (z polecenia)



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
a2k, WTD, analiza matematyczna
sciaga kolo1 analiza fin, WTD, analiza matematyczna
Analiza Matematyczna Zasady zaliczenia kursu
ZALICZENIA I POPRAWY, ZiIP, Semestr I, Analiza matematyczna
analizazad1, WTD, analiza matematyczna
sciaga analiza fin, WTD, analiza matematyczna
analiza sc, WTD, analiza matematyczna
anal2k, WTD, analiza matematyczna
egzamin ustny analiza, WTD, analiza matematyczna
ana2k, WTD, analiza matematyczna
a2k (2), WTD, analiza matematyczna
analiza egz, WTD, analiza matematyczna
Egzami analiza 2009, WTD, analiza matematyczna
analiza 2kolo sciaga juz zmniejszona, WTD, analiza matematyczna
Oszukaj Wojtusia Hybka, WTD, analiza matematyczna
Tejlor sc, WTD, analiza matematyczna
pytania na egzamin ustny, WTD, analiza matematyczna
Indukcja, WTD, analiza matematyczna

więcej podobnych podstron