Tejlor: W2(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(f''(x0)/2!)(x-x0)2 || Rn(x)=(f(n+1)(x1)/(n+1)!) (x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x.
sin0,5 0,005 x=0,5 x0=0 || f(x)=sinx f'(x)=cos … f4(x)=sinx || Wn wzór || f(x)=Wn(x)+Rn(x) || szukamy nEN aby |Rn(x)|=<0,005 dla określonego Rn(x)=(fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x. || Ponieważ |sinx|=<1 więc największa wartość tej funkcji ((fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1) wynosi 1 || |Rn(x)|=|wzór|=< 0,5n+1/(n+1)! ||
Dla n=2 0,53/3!=0,021 || dla n=3 0,54/4!=0,0625/24=0,0026<0,005 || Wn(x)=0+1*0,5+0*0,52/2! +(-1)*0,53/3!=0,5-0,125/6=0,4791(6) Odp: sin0,5=0,4791(6) z dokładnością 0,003
Pierwiastek 5 dokł. 0,005:f(x)=pierw. x x0=4 x=5 || Szukamy nEN tak aby |Rn(5)|=<0,005 || Rn(x)=wzór gdzie x1E(4,5) || f'(x)=(1/2)x-1/2 f2(x)=(-1/4)x-3/2 f3(x)=(3/8)x-5/2 f4(x)=(-15/16)x-7/2 || R2(x)=(3/8)x1-5/2/6 || |R2(x)|=1/16 * 1/x1-5/2 =<1/16 * 1/45/2=1/512<0,002 || W2(x)=wzór || W2(5)=2+1/2pierw z 4 * 1+(-1/8 * 1/pierw z 43 * 1)=2,25-0,015625=2,2344 || Odp: pierw z 5=2,2344 z dokładnością 0,002.
Limx->0x*sin1/x=0 bo 0=<|x*sin1/x|=|x|*|sin1/x|=<|x|
(xx)'=(exlnx)'=exlnx (1*lnx+x*(1/x))=xx(lnx+1)
Jednostajna ciągłość: ex dla x>0|| xn=ln(n+1) yn=ln(n) || |xn-yn|=|ln(n+1)-ln(n)|=|ln(n+1/n)|-n(niesk)->ln1=0 || |f(xn)-f(yn)|=|eln(n+1)-eln(n)|=|n+1-n|=1-/->0 || f(x)ex nie jest jednostajnie ciągła
Tejlor: W2(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(f''(x0)/2!)(x-x0)2 || Rn(x)=(f(n+1)(x1)/(n+1)!) (x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x.
sin0,5 0,005 x=0,5 x0=0 || f(x)=sinx f'(x)=cos … f4(x)=sinx || Wn wzór || f(x)=Wn(x)+Rn(x) || szukamy nEN aby |Rn(x)|=<0,005 dla określonego Rn(x)=(fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x. || Ponieważ |sinx|=<1 więc największa wartość tej funkcji ((fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1) wynosi 1 || |Rn(x)|=|wzór|=< 0,5n+1/(n+1)! ||
Dla n=2 0,53/3!=0,021 || dla n=3 0,54/4!=0,0625/24=0,0026<0,005 || Wn(x)=0+1*0,5+0*0,52/2! +(-1)*0,53/3!=0,5-0,125/6=0,4791(6) Odp: sin0,5=0,4791(6) z dokładnością 0,003
Pierwiastek 5 dokł. 0,005:f(x)=pierw. x x0=4 x=5 || Szukamy nEN tak aby |Rn(5)|=<0,005 || Rn(x)=wzór gdzie x1E(4,5) || f'(x)=(1/2)x-1/2 f2(x)=(-1/4)x-3/2 f3(x)=(3/8)x-5/2 f4(x)=(-15/16)x-7/2 || R2(x)=(3/8)x1-5/2/6 || |R2(x)|=1/16 * 1/x1-5/2 =<1/16 * 1/45/2=1/512<0,002 || W2(x)=wzór || W2(5)=2+1/2pierw z 4 * 1+(-1/8 * 1/pierw z 43 * 1)=2,25-0,015625=2,2344 || Odp: pierw z 5=2,2344 z dokładnością 0,002.
Limx->0x*sin1/x=0 bo 0=<|x*sin1/x|=|x|*|sin1/x|=<|x|
(xx)'=(exlnx)'=exlnx (1*lnx+x*(1/x))=xx(lnx+1)
Jednostajna ciągłość: ex dla x>0|| xn=ln(n+1) yn=ln(n) || |xn-yn|=|ln(n+1)-ln(n)|=|ln(n+1/n)|-n(niesk)->ln1=0 || |f(xn)-f(yn)|=|eln(n+1)-eln(n)|=|n+1-n|=1-/->0 || f(x)ex nie jest jednostajnie ciągła
Tejlor: W2(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+(f''(x0)/2!)(x-x0)2 || Rn(x)=(f(n+1)(x1)/(n+1)!) (x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x.
sin0,5 0,005 x=0,5 x0=0 || f(x)=sinx f'(x)=cos … f4(x)=sinx || Wn wzór || f(x)=Wn(x)+Rn(x) || szukamy nEN aby |Rn(x)|=<0,005 dla określonego Rn(x)=(fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1 gdzie x1 jest liczbą z przedziału o końcach x0 i x. || Ponieważ |sinx|=<1 więc największa wartość tej funkcji ((fn+1(x1)/(n+1)!)(x-x0)n+1) wynosi 1 || |Rn(x)|=|wzór|=< 0,5n+1/(n+1)! ||
Dla n=2 0,53/3!=0,021 || dla n=3 0,54/4!=0,0625/24=0,0026<0,005 || Wn(x)=0+1*0,5+0*0,52/2! +(-1)*0,53/3!=0,5-0,125/6=0,4791(6) Odp: sin0,5=0,4791(6) z dokładnością 0,003
Pierwiastek 5 dokł. 0,005:f(x)=pierw. x x0=4 x=5 || Szukamy nEN tak aby |Rn(5)|=<0,005 || Rn(x)=wzór gdzie x1E(4,5) || f'(x)=(1/2)x-1/2 f2(x)=(-1/4)x-3/2 f3(x)=(3/8)x-5/2 f4(x)=(-15/16)x-7/2 || R2(x)=(3/8)x1-5/2/6 || |R2(x)|=1/16 * 1/x1-5/2 =<1/16 * 1/45/2=1/512<0,002 || W2(x)=wzór || W2(5)=2+1/2pierw z 4 * 1+(-1/8 * 1/pierw z 43 * 1)=2,25-0,015625=2,2344 || Odp: pierw z 5=2,2344 z dokładnością 0,002.
Limx->0x*sin1/x=0 bo 0=<|x*sin1/x|=|x|*|sin1/x|=<|x|
(xx)'=(exlnx)'=exlnx (1*lnx+x*(1/x))=xx(lnx+1)
Jednostajna ciągłość: ex dla x>0|| xn=ln(n+1) yn=ln(n) || |xn-yn|=|ln(n+1)-ln(n)|=|ln(n+1/n)|-n(niesk)->ln1=0 || |f(xn)-f(yn)|=|eln(n+1)-eln(n)|=|n+1-n|=1-/->0 || f(x)ex nie jest jednostajnie ciągła