f(x,y)=xy2+1/x+2/y, x,y=/0 | df/dx=y2-1/x2, df/dy=2xy-2/y2 }z tego równanie i liczę y i x(r.przypadk). i z tego P1... d2f/dx2=2/x3, d2f/dy2=2x+4/y2, d2f/dxdy=2y, d2f/dydx=2y Hf(x,y)=[ 2/x3;2y/2y;2x+4/y2 ]
Później Hf(xy) od punktów i liczę wyznaczniki (B1,B2..). Stad funkcja jest nieujemnie określona dla Hf(-1,-1) i przyjmuje w pkt P2(-1,-1)maximum lokalne równe -4. ponieważ f(-1,-1)=sprawdzenie z gł.
f(x,y)=xy na zb W=x2/8+y2/2=<1 df/dx=y, df/dy=x } f(x,y) jest ciągła na zbiorze W, który jest zbiorem zwartym (ograniczo i domknięty) wiec z twierdzenia Weienstrassa d2f/dxdy=0, d2f/dydx=0 P1=(0,0) stad f(P1)=0. Szukamy ekstremów na brzegu zbioru W= x2/8+y2/2=<1 | g(x,y)= x2/8+y2/2-1=0 D={(x,y): x2/8+y2/2-1=0}gradg=(x/4,y)=(0,0)x=0, y=0 |Pkt P=(0,0)e/eD wiec zbior D jest zbiorem Lagrange'a F(x,y)=f(x,y)-λg(x,y) F(x,y)=x*y-λ(x2/8+y2/2-1) dF/dx=y-λx/y dF/dy=x-λy | robie układ równań i dopisuje 3 równanie z gł. wzoru. wyznaczam λ i porównuj a z tego liczę x. Z równania x i y P1,P2 i f(P1)... odp. Funkcja przyjmuje najwyższą wartość w… równą… i najmniejsza w .. równą …
f(x,y)=3x2+y3+12xy-27y W={(x,y)€R2:y>4} df/dx=6x+12y,df/dy=3y3+12x-27,d2f/dx2=6, d2f/dy2=6y, d2f/dxdy=2y, d2f/dydx=2y Hf(x,y)=[6,12/12,6y] Aby funkcja była nieujemnie określona jej ślad i wyznacznik musza być >=0 | trHf(x,y)=6+6y>=0 dla y>=1 det Hf(x,y)=36y-144>=0 dla y>=4 }y>=4, stad Hf jest nieujemnie określona na zbiorze W. wykres. Zbiór W jest zbiore otwa i wypu na W wiec f. ta najmn wart przyjm w pkt stacjonarnych. {df/dx=0, df/dy=0 stad x i y i pisze P1… i f(P1)=… odp
e-3y(2x2-y2) -> df/dx=e-3y(4x),df/dy= -3e-3y(2x2-y2)+ e-3y(-2y)= e-3y(-6x2+3y2-2y),d2f/dx2=4 e-3y, d2f/dy2= -3e-3y(-6x2+3y2-2y)+e-3y(6y-2)= 3e-3y(18x2-9y2+12y-2), d2f/dxdy=-12xe-3y, d2f/dydx=-12xe-3y
* f(x) i g(x) porownuje licze delte i x pozniej P=Sba |f(x)-g(x)| dalej podstawiam i pisze h(x)=…=0 x=.. lub x=..., stad funkcja h(x) ma staly znak dla XE(x,x) h(0)=…><0 stad |h(x)|=h(x) .. lub h(-x) dla xE(a,b). dalej P=Sba (…)=[licze calke]ba= i licze [j2]
* V=Pi Sba (f(x))2dx i nizej S x cos(4x)dx= {podstawiam f i g'} = najpierw bez primow i odjąć S z falki i licze. Dalej pisze V=Pi [to co policzyłem]ba= i licze [j3] _//+wykres
*f(x) i OX dla x>=… i P=Sba |f(x)-g(x)| h(x)>0 dla xE[..) stad |h(x)|=h(x) dla xE[), delta x1 i x2
P=lim(a->nsk)S a2(gl)dx=…=limSa21/(x-x1)(x-x2)dx ||1/(x-x1)(x-x2)=a/(x-x1)+b/(x-x2) mnożę przez siebie, (a+b)x-… 1=(a+b)x-…Układ r. przy a=0 a to drugie=1 wyzn a i b i podst do 1/(x-x1)(x-x2)= a/ (x-x1)+b/(x-x2) || P=lim2Sa2a/(x-x1)+Sa2b/(x-x2)dx=… ||1/(x-x)+1(x-x) - to da się zam na Ln np. Ln|x+3|+Ln|x-2|+C= {+=*;-=/ -zamieniam dzialaia ; ln a2=2lna} || P=lim (a->nsk) S(gl. calka)dx i pozniej podst (ulamek) i cos tam wychodzi ;] Lne=0 Ln1=0
1. Dziedzina 2. Pochodna 3. Miejsca zerowe pochodnej f '(x)=0 i liczę `x' e>2,5~2,7
4. Ponieważ (mian z f'?)>0 dla xR, to znak f '(x) jest taki sam jak znak funkcji (licznik z f') 5. Wykres m-c zerowych (+D) 6. f'(x)>0 dla x (prze) i f(x) rosnaca 6. Liczę ekstrema (z m-c zerowych) f(e); 7. Asymptoty: a) pionowa-z tego co wyrzucamy z dziedziny (+ i - ), 2x f(x) 1x f `(x) jak wyjdzie Ⴅ lub -Ⴅ to tworzy przy f ` podst liczbe b) pozioma x --> + - Ⴅ z f(x) jak wyjdzie cyfra to tworzy. c) ukośna: y=ax+b a=lim (x->+-Ⴅ)f `(x) - liczymy 1 raz. Jak wyjdzie cyfra to ok, jak 0-pozioma, cos innego - brak, b=lim(+-Ⴅ)=(f(x)-ax) - cyfra ok., 0-pozioma, cos innego-brak Przy asymptotach podstawiam tylko… nic nie wyciągam!
x | -Ⴅ | | m-ce 0 #1| |wywalone z D| |m-ce 0 #2| | +Ⴅ|
f ` (x) | | +/ - | 0 |+/-| X |+/- | 0 |+/- | |
f (x) | lim| | max/min | | asympt lub x | | max/min | | lim|
(x2-3)e-x->f'(x)=2xe-x +( x2-3)e-x-1->f'(x)=e-x (-x2+2x+3)->f'(x)=0e-x (-x2+2x+3)=0e-x=0 Ciągłość i różniczkowalność: f(x)=(e4x-1)/x dla x≠0 i 4 dla x=0 } b.roz lub (-x2+2x+3)=0
4x- f. jest ciagla dla xR,ex- f. jest ciągła|| x- f. ciagla (e4x-1)/x- iloraz e4x-1 i x dla x ∈R ciagla
Lim x0 f(x)=(e4x-1)/x=[0/0]=h=(4e4x )/1=[4/1]=4 f(x) jest ciągła dla x=0 f(0)=...*[f(x)-f(0)]/(x-0)* f `(0)=lim x->0[((e4x-1)/x)-4]/x=[(e4x-1-4x)/x2]=[0/0]=h=lim (4e4x-4)/2x=[0/0]=lim 16e4x/2=[16/2]=8 - funkcja jest rozniczkowalna // jak jest liczba to OK a jak Ⴅ to nie jest
Min&max. 1. pochodna 2.f'(0)=..3.pisze f'(x)=0e..=0e..=0-brak rozw, e..>0 dla x∈R lub (równanie)=0 4.licze f od przedz. i to co należy do dziedziny, min&max porownuje i zapisuje.
(x2-3)e-x->f'(x)=2xe-x +( x2-3)e-x *(-1)->f'(x)=e-x (-x2+2x+3)->f'(x)=0e-x (-x2+2x+3)=0e-x=0
0' Ustalmy dowolne x,yR* // δ(x,y)= |wzor |>= 0 poniewaz |a|>=0 2e-4=2/e4
1' δ(x,y)=0x=y // δ(x,y)=|wzor|=0nad strzalka |a|>=0 x=y stad własność 1' spelniona
2' δ(x,y)= δ(y,x) // δ(x,y)=|wzor|=nad |a|=|-a| a∈R (x,y)=δ(y,x) stad własność 2' spelniona
3' δ(x,y)=|wzor|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|<= nad |a+b|=|a|+|b| =δ(x,z)+ δ(z,y)
Wszystkie war sa speln wiec wnioskuje ze δ jest metryka w X. // K(y,r)={XDzied :δ(x,y)< r
δ(x,y)<r |x+-y|<r / -r<|wzor|<r / i robie dwa przedz. z lewej, prawej i licze x. np. 1>x i 1<x
[Ⴅ/Ⴅ] [Ⴅ-Ⴅ] [0*Ⴅ] [0/0] [00] [Ⴅ0]-nieoznaczone;[Ⴅ+a]=Ⴅ [a/0]=Ⴅ [0/a]=0 K(y,r)=przedzial(x1,x2)
(f(x)+-g(x))'=f '(x)-+g(x) (af(x))'=af'(x) (xk)'=kx k-1 kR (ee )'= ex e-x =-e-x (ax )'= ax ln a
(sqrt z `x', n-stopnia)' =1/(n*sqrt z x^n-1) [f(x)*g(x)]'=f `(x)*g(x)+f(x)*g'(x)
[f(x)/g(x)]'=f `(x)*g(x)-f(x)*g'(x)] / [g(x)]2 [cos5(7x)]'=35sin(7x)*cos4(7x)
(1/x)'= -1/x2 (ln6x)'=6/x log5x (sin9x)'=9cos9x f(zw)'(za `x' wewn)*f ' (wewn) ab=e b ln a
L=S(sqrt[(f'(x))2+(f'(y))2])dt
Indukcja 1.spr.dla n=1 ; L=P ; Dla n=1 równanie jest spełnione 2.Ustalmy dowolne n>=1 oraz załóżmy, że zachodzi (wzór)(założ.). Dowodzimy teraz że zach. (wzór z `n+1') (teza)
|| Ln+1=Pn+1 || Krok 1 i 2 dowodzą, ze spełnione są założenia twierdzenia o indukcji matematycznej dla równości (Wzór) więc wnioskujemy, że równość (wzór) jest prawdziwa dla wszystkich n∈N.
Granica z def. Należy wykazać ze dla dowolnego E>0 istnieje no∈R takie że dla n>no mamy
|Xn - g|<E || Ustalmy dowolne E>0. Wyznaczamy n0, takie że dla n>no zachodzi |Xn - g|<E. || n0=max{1;x/E}, jeśli n>1 i n>x/E, wtedy n>n0 i przy założeniu, że E>0, wynika, że spełniona jest nierówność co dowodzi, że lim n->oo xn=1/2 || Przyjmujemy no=max{x/E;0} || Dla n>no mamy x/n<E więc dla n>no mamy |T(n)|<E. || Alemberta - ! Un+1/Un=r r < 1 zbieżny; r > rozbieżny Cauchego - sqrt n√Un=r r < 1 zbieżny, r > rozbieżny 2e-4=2/e4
Twierdzenie porównawcze 0<=an<=bn dla n>no a-b=a²-b²/a+b a-b=a³-b³/a²+ab+b²
[(n-4)/(n-2)]4n=[(n-4)n/(n-2)n]4=[(e-4)/(e-2)]4=(e-6)4=e-24
f(x,y)=xy2+1/x+2/y, x,y=/0 | df/dx=y2-1/x2, df/dy=2xy-2/y2 }z tego równanie i liczę y i x(r.przypadk). i z tego P1... d2f/dx2=2/x3, d2f/dy2=2x+4/y2, d2f/dxdy=2y, d2f/dydx=2y Hf(x,y)=[ 2/x3;2y/2y;2x+4/y2 ]
Później Hf(xy) od punktów i liczę wyznaczniki (B1,B2..). Stad funkcja jest nieujemnie określona dla Hf(-1,-1) i przyjmuje w pkt P2(-1,-1)maximum lokalne równe -4. ponieważ f(-1,-1)=sprawdzenie z gł.
f(x,y)=xy na zb W=x2/8+y2/2=<1 df/dx=y, df/dy=x } f(x,y) jest ciągła na zbiorze W, który jest zbiorem zwartym (ograniczo i domknięty) wiec z twierdzenia Weienstrassa d2f/dxdy=0, d2f/dydx=0 P1=(0,0) stad f(P1)=0. Szukamy ekstremów na brzegu zbioru W= x2/8+y2/2=<1 | g(x,y)= x2/8+y2/2-1=0 D={(x,y): x2/8+y2/2-1=0}gradg=(x/4,y)=(0,0)x=0, y=0 |Pkt P=(0,0)e/eD wiec zbior D jest zbiorem Lagrange'a F(x,y)=f(x,y)-λg(x,y) F(x,y)=x*y-λ(x2/8+y2/2-1) dF/dx=y-λx/y dF/dy=x-λy | robie układ równań i dopisuje 3 równanie z gł. wzoru. wyznaczam λ i porównuj a z tego liczę x. Z równania x i y P1,P2 i f(P1)... odp. Funkcja przyjmuje najwyższą wartość w… równą… i najmniejsza w .. równą …
f(x,y)=3x2+y3+12xy-27y W={(x,y)€R2:y>4} df/dx=6x+12y,df/dy=3y3+12x-27,d2f/dx2=6, d2f/dy2=6y, d2f/dxdy=2y, d2f/dydx=2y Hf(x,y)=[6,12/12,6y] Aby funkcja była nieujemnie określona jej ślad i wyznacznik musza być >=0 | trHf(x,y)=6+6y>=0 dla y>=1 det Hf(x,y)=36y-144>=0 dla y>=4 }y>=4, stad Hf jest nieujemnie określona na zbiorze W. wykres. Zbiór W jest zbiore otwa i wypu na W wiec f. ta najmn wart przyjm w pkt stacjonarnych. {df/dx=0, df/dy=0 stad x i y i pisze P1… i f(P1)=… odp
e-3y(2x2-y2) -> df/dx=e-3y(4x),df/dy= -3e-3y(2x2-y2)+ e-3y(-2y)= e-3y(-6x2+3y2-2y),d2f/dx2=4 e-3y, d2f/dy2= -3e-3y(-6x2+3y2-2y)+e-3y(6y-2)= 3e-3y(18x2-9y2+12y-2), d2f/dxdy=-12xe-3y, d2f/dydx=-12xe-3y
* f(x) i g(x) porownuje licze delte i x pozniej P=Sba |f(x)-g(x)| dalej podstawiam i pisze h(x)=…=0 x=.. lub x=..., stad funkcja h(x) ma staly znak dla XE(x,x) h(0)=…><0 stad |h(x)|=h(x) .. lub h(-x) dla xE(a,b). dalej P=Sba (…)=[licze calke]ba= i licze [j2]
* V=Pi Sba (f(x))2dx i nizej S x cos(4x)dx= {podstawiam f i g'} = najpierw bez primow i odjąć S z falki i licze. Dalej pisze V=Pi [to co policzyłem]ba= i licze [j3] _//+wykres
*f(x) i OX dla x>=… i P=Sba |f(x)-g(x)| h(x)>0 dla xE[..) stad |h(x)|=h(x) dla xE[), delta x1 i x2 P=lim(a->nsk)S a2(gl)dx=…=limSa21/(x-x1)(x-x2)dx ||1/(x-x1)(x-x2)=a/(x-x1)+b/(x-x2) mnożę przez siebie, (a+b)x-… 1=(a+b)x-…Układ r. przy a=0 a to drugie=1 wyzn a i b i podst do 1/(x-x1)(x-x2)= a/ (x-x1)+b/(x-x2) || P=lim2Sa2a/(x-x1)+Sa2b/(x-x2)dx=… ||1/(x-x)+1(x-x) - to da się zam na Ln np. Ln|x+3|+Ln|x-2|+C= {+=*;-=/ -zamieniam dzialaia ; ln a2=2lna} || P=lim (a->nsk) S(gl. calka)dx i pozniej podst (ulamek) i cos tam wychodzi ;] Lne=0 Ln1=0
1. Dziedzina 2. Pochodna 3. Miejsca zerowe pochodnej f '(x)=0 i liczę `x' e>2,5~2,7 4. Ponieważ (mianownik)>0 dla xR, to znak f '(x) jest taki sam jak znak funkcji (licznik) 5. Wykres m-c zerowych (+D) 6. f'(x)>0 dla x (prze) i f(x) rosnaca 6. Liczę ekstrema (z m-c zerowych) f(e); 7. Asymptoty: a) pionowa-z tego co wyrzucamy z dziedziny (+ i - ), 2x f(x) 1x f `(x) jak wyjdzie Ⴅ lub -Ⴅ to tworzy przy f ` podst liczbe b) pozioma x --> + - Ⴅ z f(x) jak wyjdzie cyfra to tworzy. c) ukośna: y=ax+b a=lim (x->+-Ⴅ)f `(x) - liczymy 1 raz. Jak wyjdzie cyfra to ok, jak 0-pozioma, cos innego - brak, b=lim(+-Ⴅ)=(f(x)-ax) - cyfra ok., 0-pozioma, cos innego-brak Przy asymptotach podstawiam tylko… nic nie wyciągam!
x | -Ⴅ | | m-ce 0 #1| |wywalone z D| |m-ce 0 #2| | +Ⴅ|
f ` (x) | | +/ - | 0 |+/-| X |+/- | 0 |+/- | |
f (x) | lim| | max/min | | asympt lub x | | max/min | | lim|
(x2-3)e-x->f'(x)=2xe-x +( x2-3)e-x-1->f'(x)=e-x (-x2+2x+3)->f'(x)=0e-x (-x2+2x+3)=0e-x=0 Ciągłość i różniczkowalność: f(x)=(e4x-1)/x dla x≠0 i 4 dla x=0 } b.roz lub (-x2+2x+3)=0 4x- f. jest ciagla dla xR,ex- f. jest ciągła|| x- f. ciagla (e4x-1)/x- iloraz e4x-1 i x dla x ∈R ciagla
Lim x0 f(x)=(e4x-1)/x=[0/0]=h=(4e4x )/1=[4/1]=4 f(x) jest ciągła dla x=0 f(0)=...*[f(x)-f(0)]/(x-0)* f `(0)=lim x->0[((e4x-1)/x)-4]/x=[(e4x-1-4x)/x2]=[0/0]=h=lim (4e4x-4)/2x=[0/0]=lim 16e4x/2=[16/2]=8 - funkcja jest rozniczkowalna // jak jest liczba to OK a jak Ⴅ to nie jest
Min&max. 1. pochodna 2.f'(0)=..3.pisze f'(x)=0e..=0e..=0-brak rozw, e..>0 dla x∈R lub (równanie)=0 4.licze f od przedz. i to co należy do dziedziny, min&max porownuje i zapisuje.
(x2-3)e-x->f'(x)=2xe-x +( x2-3)e-x *(-1)->f'(x)=e-x (-x2+2x+3)->f'(x)=0e-x (-x2+2x+3)=0e-x=0
0' Ustalmy dowolne x,yR* // δ(x,y)= |wzor |>= 0 poniewaz |a|>=0 2e-4=2/e4
1' δ(x,y)=0x=y // δ(x,y)=|wzor|=0nad strzalka |a|>=0 x=y stad własność 1' spelniona
2' δ(x,y)= δ(y,x) // δ(x,y)=|wzor|=nad |a|=|-a| a∈R (x,y)=δ(y,x) stad własność 2' spelniona
3' δ(x,y)=|wzor|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|<= nad |a+b|=|a|+|b| =δ(x,z)+ δ(z,y)
Wszystkie war sa speln wiec wnioskuje ze δ jest metryka w X. // K(y,r)={XDzied :δ(x,y)< r
δ(x,y)<r |x+-y|<r / -r<|wzor|<r / i robie dwa przedz. z lewej, prawej i licze x. np. 1>x i 1<x
[Ⴅ/Ⴅ] [Ⴅ-Ⴅ] [0*Ⴅ] [0/0] [00] [Ⴅ0]-nieoznaczone;[Ⴅ+a]=Ⴅ [a/0]=Ⴅ [0/a]=0 K(y,r)=przedzial(x1,x2)
(f(x)+-g(x))'=f '(x)-+g(x) (af(x))'=af'(x) (xk)'=kx k-1 kR (ee )'= ex e-x =-e-x (ax )'= ax ln a
(sqrt z `x', n-stopnia)' =1/(n*sqrt z x^n-1) [f(x)*g(x)]'=f `(x)*g(x)+f(x)*g'(x)
[f(x)/g(x)]'=f `(x)*g(x)-f(x)*g'(x)] / [g(x)]2 [cos5(7x)]'=35sin(7x)*cos4(7x)
(1/x)'= -1/x2 (ln6x)'=6/x log5x (sin9x)'=9cos9x f(zw)'(za `x' wewn)*f ' (wewn) ab=e b ln a
Indukcja 1.spr.dla n=1 ; L=P ; Dla n=1 równanie jest spełnione 2.Ustalmy dowolne n>=1 oraz załóżmy, że zachodzi (wzór)(założ.). Dowodzimy teraz że zach. (wzór z `n+1') (teza)
|| Ln+1=Pn+1 || Krok 1 i 2 dowodzą, ze spełnione są założenia twierdzenia o indukcji matematycznej dla równości (Wzór) więc wnioskujemy, że równość (wzór) jest prawdziwa dla wszystkich n∈N.
Granica z def. Należy wykazać ze dla dowolnego E>0 istnieje no∈R takie że dla n>no mamy
|Xn - g|<E || Ustalmy dowolne E>0. Wyznaczamy n0, takie że dla n>no zachodzi |Xn - g|<E. || n0=max{1;x/E}, jeśli n>1 i n>x/E, wtedy n>n0 i przy założeniu, że E>0, wynika, że spełniona jest nierówność co dowodzi, że lim n->oo xn=1/2 || Przyjmujemy no=max{x/E;0} || Dla n>no mamy x/n<E więc dla n>no mamy |T(n)|<E. || Alemberta - ! Un+1/Un=r r < 1 zbieżny; r > rozbieżny Cauchego - sqrt n√Un=r r < 1 zbieżny, r > rozbieżny 2e-4=2/e4
Twierdzenie porównawcze 0<=an<=bn dla n>no a-b=a²-b²/a+b a-b=a³-b³/a²+ab+b² [(n-4)/(n-2)]4n=[(n-4)n/(n-2)n]4=[(e-4)/(e-2)]4=(e-6)4=e-24
V na E: x2+y2=<4 ; x>0 f(x)=xy2 E:{0=<r=<2 ; -Pi/2=<Fi=<Pi/2 x=rcosFi y=rsinFi V=SE|f(x,y)|dxdy=S20Spi/2rcosFIr2sin2FirdrdFI..mnoze co się da, Spi/21/5r5cosFIsin2FI|20dFI=..mnoze a za sinFi=t+dr+t(pi/2)+t(-
A(00) B(06) C(20) y=ax+b i licze BC przez podst i mam wzor: y=-3x+6 E:{0<x<2; 0<y<-3x+6 M(E,FI)=SEf(xy)dxdy S20S0-3x+6x4dxdy=S20-3x5+6x4dx… i pozniej normalnie [jm].