analiza egz, WTD, analiza matematyczna


f(x,y)=xy2+1/x+2/y, x,y=/0 | df/dx=y2-1/x2, df/dy=2xy-2/y2 }z tego równanie i liczę y i x(r.przypadk). i z tego P1... d2f/dx2=2/x3, d2f/dy2=2x+4/y2, d2f/dxdy=2y, d2f/dydx=2y Hf(x,y)=[ 2/x3;2y/2y;2x+4/y2 ]

Później Hf(xy) od punktów i liczę wyznaczniki (B1,B2..). Stad funkcja jest nieujemnie określona dla Hf(-1,-1) i przyjmuje w pkt P2(-1,-1)maximum lokalne równe -4. ponieważ f(-1,-1)=sprawdzenie z gł.

f(x,y)=xy na zb W=x2/8+y2/2=<1 df/dx=y, df/dy=x } f(x,y) jest ciągła na zbiorze W, który jest zbiorem zwartym (ograniczo i domknięty) wiec z twierdzenia Weienstrassa d2f/dxdy=0, d2f/dydx=0 P1=(0,0) stad f(P1)=0. Szukamy ekstremów na brzegu zbioru W= x2/8+y2/2=<1 | g(x,y)= x2/8+y2/2-1=0 D={(x,y): x2/8+y2/2-1=0}gradg=(x/4,y)=(0,0)x=0, y=0 |Pkt P=(0,0)e/eD wiec zbior D jest zbiorem Lagrange'a F(x,y)=f(x,y)-λg(x,y) F(x,y)=x*y-λ(x2/8+y2/2-1) dF/dx=y-λx/y dF/dy=x-λy | robie układ równań i dopisuje 3 równanie z gł. wzoru. wyznaczam λ i porównuj a z tego liczę x. Z równania x i y P1,P2 i f(P1)... odp. Funkcja przyjmuje najwyższą wartość w… równą… i najmniejsza w .. równą …

f(x,y)=3x2+y3+12xy-27y W={(x,y)€R2:y>4} df/dx=6x+12y,df/dy=3y3+12x-27,d2f/dx2=6, d2f/dy2=6y, d2f/dxdy=2y, d2f/dydx=2y Hf(x,y)=[6,12/12,6y] Aby funkcja była nieujemnie określona jej ślad i wyznacznik musza być >=0 | trHf(x,y)=6+6y>=0 dla y>=1 det Hf(x,y)=36y-144>=0 dla y>=4 }y>=4, stad Hf jest nieujemnie określona na zbiorze W. wykres. Zbiór W jest zbiore otwa i wypu na W wiec f. ta najmn wart przyjm w pkt stacjonarnych. {df/dx=0, df/dy=0 stad x i y i pisze P1… i f(P1)=… odp

e-3y(2x2-y2) -> df/dx=e-3y(4x),df/dy= -3e-3y(2x2-y2)+ e-3y(-2y)= e-3y(-6x2+3y2-2y),d2f/dx2=4 e-3y, d2f/dy2= -3e-3y(-6x2+3y2-2y)+e-3y(6y-2)= 3e-3y(18x2-9y2+12y-2), d2f/dxdy=-12xe-3y, d2f/dydx=-12xe-3y

* f(x) i g(x) porownuje licze delte i x pozniej P=Sba |f(x)-g(x)| dalej podstawiam i pisze h(x)=…=0 x=.. lub x=..., stad funkcja h(x) ma staly znak dla XE(x,x) h(0)=…><0 stad |h(x)|=h(x) .. lub h(-x) dla xE(a,b). dalej P=Sba (…)=[licze calke]ba= i licze [j2]
* V=Pi Sba (f(x))2dx i nizej S x cos(4x)dx= {podstawiam f i g'} = najpierw bez primow i odjąć S z falki i licze. Dalej pisze V=Pi [to co policzyłem]ba= i licze [j3] _//+wykres

*f(x) i OX dla x>=… i P=Sba |f(x)-g(x)| h(x)>0 dla xE[..) stad |h(x)|=h(x) dla xE[), delta x1 i x2

P=lim(a->nsk)S a2(gl)dx=…=limSa21/(x-x1)(x-x2)dx ||1/(x-x1)(x-x2)=a/(x-x1)+b/(x-x2) mnożę przez siebie, (a+b)x-… 1=(a+b)x-…Układ r. przy a=0 a to drugie=1 wyzn a i b i podst do 1/(x-x1)(x-x2)= a/ (x-x1)+b/(x-x2) || P=lim2Sa2a/(x-x1)+Sa2b/(x-x2)dx=… ||1/(x-x)+1(x-x) - to da się zam na Ln np. Ln|x+3|+Ln|x-2|+C= {+=*;-=/ -zamieniam dzialaia ; ln a2=2lna} || P=lim (a->nsk) S(gl. calka)dx i pozniej podst (ulamek) i cos tam wychodzi ;] Lne=0 Ln1=0

1. Dziedzina 2. Pochodna 3. Miejsca zerowe pochodnej f '(x)=0 i liczę `x' e>2,5~2,7

4. Ponieważ (mian z f'?)>0 dla x჎R, to znak f '(x) jest taki sam jak znak funkcji (licznik z f') 5. Wykres m-c zerowych (+D) 6. f'(x)>0 dla x჎ (prze) i f(x) rosnaca 6. Liczę ekstrema (z m-c zerowych) f(e); 7. Asymptoty: a) pionowa-z tego co wyrzucamy z dziedziny (+ i - ), 2x f(x) 1x f `(x) jak wyjdzie Ⴅ lub -Ⴅ to tworzy przy f ` podst liczbe b) pozioma x --> + - Ⴅ z f(x) jak wyjdzie cyfra to tworzy. c) ukośna: y=ax+b a=lim (x->+-Ⴅ)f `(x) - liczymy 1 raz. Jak wyjdzie cyfra to ok, jak 0-pozioma, cos innego - brak, b=lim(+-Ⴅ)=(f(x)-ax) - cyfra ok., 0-pozioma, cos innego-brak Przy asymptotach podstawiam tylko… nic nie wyciągam!

x | -Ⴅ | | m-ce 0 #1| |wywalone z D| |m-ce 0 #2| | +Ⴅ|

f ` (x) | | +/ - | 0 |+/-| X |+/- | 0 |+/- | |

f (x) | lim| | max/min | | asympt lub x | | max/min | | lim|

(x2-3)e-x->f'(x)=2xe-x +( x2-3)e-x-1->f'(x)=e-x (-x2+2x+3)->f'(x)=0e-x (-x2+2x+3)=0e-x=0 Ciągłość i różniczkowalność: f(x)=(e4x-1)/x dla x≠0 i 4 dla x=0 } b.roz lub (-x2+2x+3)=0

4x- f. jest ciagla dla x჎R,ex- f. jest ciągła|| x- f. ciagla (e4x-1)/x- iloraz e4x-1 i x dla x ∈R ciagla

Lim x0 f(x)=(e4x-1)/x=[0/0]=h=(4e4x )/1=[4/1]=4 f(x) jest ciągła dla x=0 f(0)=...*[f(x)-f(0)]/(x-0)* f `(0)=lim x->0[((e4x-1)/x)-4]/x=[(e4x-1-4x)/x2]=[0/0]=h=lim (4e4x-4)/2x=[0/0]=lim 16e4x/2=[16/2]=8 - funkcja jest rozniczkowalna // jak jest liczba to OK a jak Ⴅ to nie jest

Min&max. 1. pochodna 2.f'(0)=..3.pisze f'(x)=0e..=0e..=0-brak rozw, e..>0 dla x∈R lub (równanie)=0 4.licze f od przedz. i to co należy do dziedziny, min&max porownuje i zapisuje.

(x2-3)e-x->f'(x)=2xe-x +( x2-3)e-x *(-1)->f'(x)=e-x (-x2+2x+3)->f'(x)=0e-x (-x2+2x+3)=0e-x=0

0' Ustalmy dowolne x,y჎R* // δ(x,y)= |wzor |>= 0 poniewaz |a|>=0 2e-4=2/e4

1' δ(x,y)=0x=y // δ(x,y)=|wzor|=0nad strzalka |a|>=0 x=y stad własność 1' spelniona

2' δ(x,y)= δ(y,x) // δ(x,y)=|wzor|=nad |a|=|-a| a∈R (x,y)=δ(y,x) stad własność 2' spelniona

3' δ(x,y)=|wzor|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|<= nad |a+b|=|a|+|b| =δ(x,z)+ δ(z,y)

Wszystkie war sa speln wiec wnioskuje ze δ jest metryka w X. // K(y,r)={X჎Dzied :δ(x,y)< r

δ(x,y)<r |x+-y|<r / -r<|wzor|<r / i robie dwa przedz. z lewej, prawej i licze x. np. 1>x i 1<x

[Ⴅ/Ⴅ] [Ⴅ-Ⴅ] [0*Ⴅ] [0/0] [00] [Ⴅ0]-nieoznaczone;[Ⴅ+a]=Ⴅ [a/0]=Ⴅ [0/a]=0 K(y,r)=przedzial(x1,x2)

(f(x)+-g(x))'=f '(x)-+g(x) (af(x))'=af'(x) (xk)'=kx k-1 k჎R (ee )'= ex e-x =-e-x (ax )'= ax ln a

(sqrt z `x', n-stopnia)' =1/(n*sqrt z x^n-1) [f(x)*g(x)]'=f `(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

[f(x)/g(x)]'=f `(x)*g(x)-f(x)*g'(x)] / [g(x)]2 [cos5(7x)]'=35sin(7x)*cos4(7x)

(1/x)'= -1/x2 (ln6x)'=6/x log5x (sin9x)'=9cos9x f(zw)'(za `x' wewn)*f ' (wewn) ab=e b ln a

L=S(sqrt[(f'(x))2+(f'(y))2])dt

Indukcja 1.spr.dla n=1 ; L=P ; Dla n=1 równanie jest spełnione 2.Ustalmy dowolne n>=1 oraz załóżmy, że zachodzi (wzór)(założ.). Dowodzimy teraz że zach. (wzór z `n+1') (teza)

|| Ln+1=Pn+1 || Krok 1 i 2 dowodzą, ze spełnione są założenia twierdzenia o indukcji matematycznej dla równości (Wzór) więc wnioskujemy, że równość (wzór) jest prawdziwa dla wszystkich n∈N.

Granica z def. Należy wykazać ze dla dowolnego E>0 istnieje no∈R takie że dla n>no mamy

|Xn - g|<E || Ustalmy dowolne E>0. Wyznaczamy n0, takie że dla n>no zachodzi |Xn - g|<E. || n0=max{1;x/E}, jeśli n>1 i n>x/E, wtedy n>n0 i przy założeniu, że E>0, wynika, że spełniona jest nierówność co dowodzi, że lim n->oo xn=1/2 || Przyjmujemy no=max{x/E;0} || Dla n>no mamy x/n<E więc dla n>no mamy |T(n)|<E. || Alemberta - ! Un+1/Un=r r < 1 zbieżny; r > rozbieżny Cauchego - sqrt n√Un=r r < 1 zbieżny, r > rozbieżny 2e-4=2/e4

Twierdzenie porównawcze 0<=an<=bn dla n>no a-b=a²-b²/a+b a-b=a³-b³/a²+ab+b²

[(n-4)/(n-2)]4n=[(n-4)n/(n-2)n]4=[(e-4)/(e-2)]4=(e-6)4=e-24

f(x,y)=xy2+1/x+2/y, x,y=/0 | df/dx=y2-1/x2, df/dy=2xy-2/y2 }z tego równanie i liczę y i x(r.przypadk). i z tego P1... d2f/dx2=2/x3, d2f/dy2=2x+4/y2, d2f/dxdy=2y, d2f/dydx=2y Hf(x,y)=[ 2/x3;2y/2y;2x+4/y2 ]

Później Hf(xy) od punktów i liczę wyznaczniki (B1,B2..). Stad funkcja jest nieujemnie określona dla Hf(-1,-1) i przyjmuje w pkt P2(-1,-1)maximum lokalne równe -4. ponieważ f(-1,-1)=sprawdzenie z gł.

f(x,y)=xy na zb W=x2/8+y2/2=<1 df/dx=y, df/dy=x } f(x,y) jest ciągła na zbiorze W, który jest zbiorem zwartym (ograniczo i domknięty) wiec z twierdzenia Weienstrassa d2f/dxdy=0, d2f/dydx=0 P1=(0,0) stad f(P1)=0. Szukamy ekstremów na brzegu zbioru W= x2/8+y2/2=<1 | g(x,y)= x2/8+y2/2-1=0 D={(x,y): x2/8+y2/2-1=0}gradg=(x/4,y)=(0,0)x=0, y=0 |Pkt P=(0,0)e/eD wiec zbior D jest zbiorem Lagrange'a F(x,y)=f(x,y)-λg(x,y) F(x,y)=x*y-λ(x2/8+y2/2-1) dF/dx=y-λx/y dF/dy=x-λy | robie układ równań i dopisuje 3 równanie z gł. wzoru. wyznaczam λ i porównuj a z tego liczę x. Z równania x i y P1,P2 i f(P1)... odp. Funkcja przyjmuje najwyższą wartość w… równą… i najmniejsza w .. równą …

f(x,y)=3x2+y3+12xy-27y W={(x,y)€R2:y>4} df/dx=6x+12y,df/dy=3y3+12x-27,d2f/dx2=6, d2f/dy2=6y, d2f/dxdy=2y, d2f/dydx=2y Hf(x,y)=[6,12/12,6y] Aby funkcja była nieujemnie określona jej ślad i wyznacznik musza być >=0 | trHf(x,y)=6+6y>=0 dla y>=1 det Hf(x,y)=36y-144>=0 dla y>=4 }y>=4, stad Hf jest nieujemnie określona na zbiorze W. wykres. Zbiór W jest zbiore otwa i wypu na W wiec f. ta najmn wart przyjm w pkt stacjonarnych. {df/dx=0, df/dy=0 stad x i y i pisze P1… i f(P1)=… odp

e-3y(2x2-y2) -> df/dx=e-3y(4x),df/dy= -3e-3y(2x2-y2)+ e-3y(-2y)= e-3y(-6x2+3y2-2y),d2f/dx2=4 e-3y, d2f/dy2= -3e-3y(-6x2+3y2-2y)+e-3y(6y-2)= 3e-3y(18x2-9y2+12y-2), d2f/dxdy=-12xe-3y, d2f/dydx=-12xe-3y

* f(x) i g(x) porownuje licze delte i x pozniej P=Sba |f(x)-g(x)| dalej podstawiam i pisze h(x)=…=0 x=.. lub x=..., stad funkcja h(x) ma staly znak dla XE(x,x) h(0)=…><0 stad |h(x)|=h(x) .. lub h(-x) dla xE(a,b). dalej P=Sba (…)=[licze calke]ba= i licze [j2]
* V=Pi Sba (f(x))2dx i nizej S x cos(4x)dx= {podstawiam f i g'} = najpierw bez primow i odjąć S z falki i licze. Dalej pisze V=Pi [to co policzyłem]ba= i licze [j3] _//+wykres

*f(x) i OX dla x>=… i P=Sba |f(x)-g(x)| h(x)>0 dla xE[..) stad |h(x)|=h(x) dla xE[), delta x1 i x2 P=lim(a->nsk)S a2(gl)dx=…=limSa21/(x-x1)(x-x2)dx ||1/(x-x1)(x-x2)=a/(x-x1)+b/(x-x2) mnożę przez siebie, (a+b)x-… 1=(a+b)x-…Układ r. przy a=0 a to drugie=1 wyzn a i b i podst do 1/(x-x1)(x-x2)= a/ (x-x1)+b/(x-x2) || P=lim2Sa2a/(x-x1)+Sa2b/(x-x2)dx=… ||1/(x-x)+1(x-x) - to da się zam na Ln np. Ln|x+3|+Ln|x-2|+C= {+=*;-=/ -zamieniam dzialaia ; ln a2=2lna} || P=lim (a->nsk) S(gl. calka)dx i pozniej podst (ulamek) i cos tam wychodzi ;] Lne=0 Ln1=0

1. Dziedzina 2. Pochodna 3. Miejsca zerowe pochodnej f '(x)=0 i liczę `x' e>2,5~2,7 4. Ponieważ (mianownik)>0 dla x჎R, to znak f '(x) jest taki sam jak znak funkcji (licznik) 5. Wykres m-c zerowych (+D) 6. f'(x)>0 dla x჎ (prze) i f(x) rosnaca 6. Liczę ekstrema (z m-c zerowych) f(e); 7. Asymptoty: a) pionowa-z tego co wyrzucamy z dziedziny (+ i - ), 2x f(x) 1x f `(x) jak wyjdzie Ⴅ lub -Ⴅ to tworzy przy f ` podst liczbe b) pozioma x --> + - Ⴅ z f(x) jak wyjdzie cyfra to tworzy. c) ukośna: y=ax+b a=lim (x->+-Ⴅ)f `(x) - liczymy 1 raz. Jak wyjdzie cyfra to ok, jak 0-pozioma, cos innego - brak, b=lim(+-Ⴅ)=(f(x)-ax) - cyfra ok., 0-pozioma, cos innego-brak Przy asymptotach podstawiam tylko… nic nie wyciągam!

x | -Ⴅ | | m-ce 0 #1| |wywalone z D| |m-ce 0 #2| | +Ⴅ|

f ` (x) | | +/ - | 0 |+/-| X |+/- | 0 |+/- | |

f (x) | lim| | max/min | | asympt lub x | | max/min | | lim|

(x2-3)e-x->f'(x)=2xe-x +( x2-3)e-x-1->f'(x)=e-x (-x2+2x+3)->f'(x)=0e-x (-x2+2x+3)=0e-x=0 Ciągłość i różniczkowalność: f(x)=(e4x-1)/x dla x≠0 i 4 dla x=0 } b.roz lub (-x2+2x+3)=0 4x- f. jest ciagla dla x჎R,ex- f. jest ciągła|| x- f. ciagla (e4x-1)/x- iloraz e4x-1 i x dla x ∈R ciagla

Lim x0 f(x)=(e4x-1)/x=[0/0]=h=(4e4x )/1=[4/1]=4 f(x) jest ciągła dla x=0 f(0)=...*[f(x)-f(0)]/(x-0)* f `(0)=lim x->0[((e4x-1)/x)-4]/x=[(e4x-1-4x)/x2]=[0/0]=h=lim (4e4x-4)/2x=[0/0]=lim 16e4x/2=[16/2]=8 - funkcja jest rozniczkowalna // jak jest liczba to OK a jak Ⴅ to nie jest

Min&max. 1. pochodna 2.f'(0)=..3.pisze f'(x)=0e..=0e..=0-brak rozw, e..>0 dla x∈R lub (równanie)=0 4.licze f od przedz. i to co należy do dziedziny, min&max porownuje i zapisuje.

(x2-3)e-x->f'(x)=2xe-x +( x2-3)e-x *(-1)->f'(x)=e-x (-x2+2x+3)->f'(x)=0e-x (-x2+2x+3)=0e-x=0

0' Ustalmy dowolne x,yR* // δ(x,y)= |wzor |>= 0 poniewaz |a|>=0 2e-4=2/e4

1' δ(x,y)=0x=y // δ(x,y)=|wzor|=0nad strzalka |a|>=0 x=y stad własność 1' spelniona

2' δ(x,y)= δ(y,x) // δ(x,y)=|wzor|=nad |a|=|-a| a∈R (x,y)=δ(y,x) stad własność 2' spelniona

3' δ(x,y)=|wzor|=|f(x)-f(z)+f(z)-f(y)|<= nad |a+b|=|a|+|b| =δ(x,z)+ δ(z,y)

Wszystkie war sa speln wiec wnioskuje ze δ jest metryka w X. // K(y,r)={X჎Dzied :δ(x,y)< r

δ(x,y)<r |x+-y|<r / -r<|wzor|<r / i robie dwa przedz. z lewej, prawej i licze x. np. 1>x i 1<x

[Ⴅ/Ⴅ] [Ⴅ-Ⴅ] [0*Ⴅ] [0/0] [00] [Ⴅ0]-nieoznaczone;[Ⴅ+a]=Ⴅ [a/0]=Ⴅ [0/a]=0 K(y,r)=przedzial(x1,x2)

(f(x)+-g(x))'=f '(x)-+g(x) (af(x))'=af'(x) (xk)'=kx k-1 k჎R (ee )'= ex e-x =-e-x (ax )'= ax ln a

(sqrt z `x', n-stopnia)' =1/(n*sqrt z x^n-1) [f(x)*g(x)]'=f `(x)*g(x)+f(x)*g'(x)

[f(x)/g(x)]'=f `(x)*g(x)-f(x)*g'(x)] / [g(x)]2 [cos5(7x)]'=35sin(7x)*cos4(7x)

(1/x)'= -1/x2 (ln6x)'=6/x log5x (sin9x)'=9cos9x f(zw)'(za `x' wewn)*f ' (wewn) ab=e b ln a

Indukcja 1.spr.dla n=1 ; L=P ; Dla n=1 równanie jest spełnione 2.Ustalmy dowolne n>=1 oraz załóżmy, że zachodzi (wzór)(założ.). Dowodzimy teraz że zach. (wzór z `n+1') (teza)

|| Ln+1=Pn+1 || Krok 1 i 2 dowodzą, ze spełnione są założenia twierdzenia o indukcji matematycznej dla równości (Wzór) więc wnioskujemy, że równość (wzór) jest prawdziwa dla wszystkich n∈N.

Granica z def. Należy wykazać ze dla dowolnego E>0 istnieje no∈R takie że dla n>no mamy

|Xn - g|<E || Ustalmy dowolne E>0. Wyznaczamy n0, takie że dla n>no zachodzi |Xn - g|<E. || n0=max{1;x/E}, jeśli n>1 i n>x/E, wtedy n>n0 i przy założeniu, że E>0, wynika, że spełniona jest nierówność co dowodzi, że lim n->oo xn=1/2 || Przyjmujemy no=max{x/E;0} || Dla n>no mamy x/n<E więc dla n>no mamy |T(n)|<E. || Alemberta - ! Un+1/Un=r r < 1 zbieżny; r > rozbieżny Cauchego - sqrt n√Un=r r < 1 zbieżny, r > rozbieżny 2e-4=2/e4

Twierdzenie porównawcze 0<=an<=bn dla n>no a-b=a²-b²/a+b a-b=a³-b³/a²+ab+b² [(n-4)/(n-2)]4n=[(n-4)n/(n-2)n]4=[(e-4)/(e-2)]4=(e-6)4=e-24

V na E: x2+y2=<4 ; x>0 f(x)=xy2 E:{0=<r=<2 ; -Pi/2=<Fi=<Pi/2 x=rcosFi y=rsinFi V=SE|f(x,y)|dxdy=S20Spi/2rcosFIr2sin2FirdrdFI..mnoze co się da, Spi/21/5r5cosFIsin2FI|20dFI=..mnoze a za sinFi=t+dr+t(pi/2)+t(-

A(00) B(06) C(20) y=ax+b i licze BC przez podst i mam wzor: y=-3x+6 E:{0<x<2; 0<y<-3x+6 M(E,FI)=SEf(xy)dxdy S20S0-3x+6x4dxdy=S20-3x5+6x4dx… i pozniej normalnie [jm].



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
a2k, WTD, analiza matematyczna
sciaga kolo1 analiza fin, WTD, analiza matematyczna
ANALIZA MATEMATYCZNA EGZ POPRAWKOWY 2004, ANALIZA MATEMATYCZNA EGZ POPRAWKOWY 2004
analizazad1, WTD, analiza matematyczna
sciaga analiza fin, WTD, analiza matematyczna
analiza sc, WTD, analiza matematyczna
anal2k, WTD, analiza matematyczna
egzamin ustny analiza, WTD, analiza matematyczna
ana2k, WTD, analiza matematyczna
a2k (2), WTD, analiza matematyczna
Zad z egz (matma), gik, semestr 3, Analiza Matematyczna II
ZALICZENIE Analiza, WTD, analiza matematyczna
Egzami analiza 2009, WTD, analiza matematyczna
analiza 2kolo sciaga juz zmniejszona, WTD, analiza matematyczna
Oszukaj Wojtusia Hybka, WTD, analiza matematyczna
Zakres materiału na egz sem I, AGH Matematyka Stosowana (WMS), Analiza matematyczna, Sem I, egzamin
aa, polibuda, analiza matematyczna, AM2 EGZ, analiza matematyczna 2, AM2 (1)

więcej podobnych podstron