1. Założeniem do pierwszego zadania jest to, aby wyrażenie pod pierwiastkiem było większe zera (większe gdyż znajduje się w mianowniku, więc nie może być większe bądź równe), rozwiązujemy rysujemy szkic wykresu. Założenia do x niepotrzebne. Następnie szkicujemy obszar na układzie współrzędnych. Obszar nie jest ograniczony (dąży do nieskończoności u góry i na dole), nie jest spójny (składa się z dwóch obszarów osobnych), nie jest domknięty gdyż dąży do nieskończoności.

2. Liczymy pochodne cząstkowe, licząc pochodne po x pozostałe zmienne (w tym przypadku y) traktujemy jako parametry, i odwrotnie licząc pochodną cząstkową po y, x traktujemy jako parametr. Gradient to po prostu wektor złożony z obliczonych wcześniej pochodnych cząstkowych. Druga pochodna cząstkowa po x, to wzięcie wcześniejszego wyniku i kolejny raz obliczenie jej po x.

3. Taką figurą jest stożek obniżony dwie jednostki w dół. Cała reszta na skanach

4. W.K. istnienia ekstremum to wyzerowania się obu pochodnych cząstkowych (tych liczonych po x i y). W naszym przypadku pochodne cząstkowe nigdy się nie wyzeruje, ta liczona po x będzie zawsze większa od zera, ta liczona po y zawsze mniejsza, zatem ekstremum tej funkcji nie istnieje.

5. Tworzymy równanie okręgu w postaci kanonicznej, aby odczytać promień i środek. Jest to obszar regularny, gdyż można go przedstawić w postaci sumy obszarów normalnych (http://pl.wikipedia.org/wiki/Obszar_normalny )

Rysujemy dany okrąg ograniczamy go ze względu na r i kąt fi. Tworzymy całkę podwójną. Następnie wyliczamy ją. Generalnie jeśli pod całką podwójną nie ma niczego innego niż dxdy, to wtedy wyliczony wynik stanowi pole powierzchni, u nas ze względu na 3, mamy potrojone pole powierzchni naszego koła. Łatwo to sprawdzić liczyć pole koła i mnożąc wynik przez 3

W ostatnim podpunkcie liczymy pochodne i udowadniamy, że ekstremum nie istnieje

6. Założmy, że obszar regularny domknięty D jest obrazem obszaru regularnego domkniętego Ω we wzajemnie jednoznacznym przekształceniu

które jest klasy C¹ w pewnym obszarze zawierającym obszar Ω, oraz

którego jakobian
jest różny od zera wewnątrz Ω,

zaś f jest dowolną funkcją ciągłą w D. Wtedy

Uwaga. |J| oznacza wartość bezwzgledną jakobianu, zaś
oznaczają pochodne cząstkowe.

Jakobian został wyliczony zgodnie ze schematem powyżej.

7. Pochodne cząstkowe po x i y i wbicie tego w kwadratowy nawias jako gradient (wektor). Następnie badamy punkty stacjonarne, czyli tworzymy układ równań z pochodnych, rozwiązujemy go, odpowiadamy na pytania. Punkt stacjonarny to taki punkt, który zeruje nam te pochodne cząstkowe. Brak ekstremum dla (0,0) ze względu na ujemny hesjan

8. Jest to równanie różniczkowe o zmiennych rozdzielonych, dokonujemy więc rozdzielenia tych zmiennych, następnie liczymy całkę. Po wstawieniu punktu widzimy, że jest tylko jedno takie C, które spełnia dane kryterium punktowe. W kolejnym podpunkcie wstawiamy dany punkt, liczymy C, następnie liczymy pochodną i ponownie wstawiamy w miejsce x=2, liczymy wartość W ostatnim podpunkcie ponownie wychodzi tylko jedno takie C

9. Równanie jednorodne, to takie, gdzie po jednej stronie pojawia się zero. Zastępujemy y'' jako r^2 a y' jako r, a y=1, rozwiązujemy dane równanie kwadratowe, mamy jeden pierwiastek (podwójny), w podpunkcie C wystarczy w zasadzie napisać to co jest podkreślone, rozwiązałem to do końca. I ostatni podpunkt, po wstawieniu zera, wyzeruje się także człon zawierający wyrażenie C₂ zatem, w tym przypadku będzie nieskończenie wiele takich prostych, ze względu na dowolność w przyjęciu C₂

10. Rozwiązujemy równanie, podobnie jak w zadaniu 8 jest to równanie o zmiennych rozdzielonych. Dobieramy stałą C zgodnie z podanych punktem. Rysujemy szkic powstałej funkcji, zaznaczamy także na wykresie punkt (e,3) przez, który miała nasza funkcja całkowa przechodzić.

---