POLITECHNIKA WARSZAWSKA

Wydział Inżynierii Środowiska

Laboratorium Fizyki

Ćwiczenie 1:

Metody pomiarowe i opracowanie wyników w laboratorium fizyki

Paulina Widymajer

Katarzyna Bocian

Paweł Bocian

Rok I

Grupa dziekańska 3

Zespół 23

Warszawa, 10 marzec 2008

1. Cel ćwiczenia:

Celem ćwiczenia jest poznanie metod pomiarowych oraz odpowiednie opracowanie uzyskanych wyników z pomiaru wielkości elektrycznych oraz wielkości mechanicznych (średnice prętów). Wykorzystywana w ćwiczeniu zależność to prawo Ohma, na podstawie którego należy sporządzić charakterystykę prądowo - napięciową oraz oszacować błędy dla pomiarów różnych obwodów elektrycznych. Należy również wykonać obliczenia odchylenia standardowego oraz histogramu dla pomiarów pręta.

2. Wstęp teoretyczny:

Prad elektryczny jest to uporządkowany ruch elektronów, które poruszając się napotykają na opór. Natężenie prądu jest wprost proporcjonalne do napięcia, stąd stosunek napięcia do natężenia jest stały.

U/I=const.

Zależność tę nazywamy prawem Ohma.

Opór elektryczny wyraża wzór:

R=U/I

3. Wykonanie ćwiczenia:

Ćwiczenie składało się z 2 części:

1. Pomiar wielkości elektrycznych

Do tej części użyto układu pomiarowego z czterema opornikami oraz dostępnych na stanowisku elementów, z których przygotowano różne kombinacje obwodów elektrycznych. Do dyspozycji były mierniki uniwersalne: amperomierz, woltomierz, przy pomocy których odczytywano zmierzone wartości napięcia i natężenia.

Zmierzono wartości natężenia prądu przy założonych wartościach napięcia i następujących konfiguracjach układu (odczyty dokonywano przy najmniejszych możliwych zakresach):

• mierzony opornik R4: dokonano odczytu natężenia prądu dla ustalonych napięć poczynając od 15V i zmniejszając jego wartość co 1V do 0V

• mierzony opornik R1: jednorazowy odczyt natężenia prądu dla 9V przy woltomierzu podłączonym równolegle oraz szeregowo

• analogicznie jak R1 zmierzono oporniki R2 i R3

2. Pomiar wielkości mechanicznych

Za pomocą śruby mikrometrycznej każda osoba z zespołu dokonała 10 odczytów średnic dwóch różnych prętów.

4. Uzyskane wyniki

1. Opornik R4:

Lp	U	ZAKRES	I	ZAKRES
	[V]	[V]	[A]	[A]
1	15	30	0,033	2
2	14	30	0,030	2
3	13	30	0,028	2
4	12	30	0,026	2
5	11	30	0,023	2
6	10	30	0,021	2
7	9	10	0,020	2
8	8	10	0,018	2
9	7	10	0,016	2
10	6	10	0,013	2
11	5	10	0,011	2
12	4	10	0,008	2
13	3	10	0,006	2
14	2	3	0,004	2
15	1	3	0,002	2
16	0	3	0,000	2

Tabela 1: Wyniki pomiarowe dla R4

2. Oporniki R1, R2, R3, R4

OPORNIK	PODŁĄCZENIE WOLTOMIERZA	U [V]	ZAKRES [V]	I	ZAKRES
R1	Równoległe	9	10	0,180 [A]	2 [A]
R1	Szeregowe	9	10	0,043 [mA]	2 [mA]
R2	Równoległe	9	10	0,089 [A]	2[A]
R2	Szeregowe	9	10	0,043 [A]	2 [A]
R3	Równoległe	9	10	0,088 [A]	2 [A]
R3	Szeregowe	9	10	87,5 [mA]	200 [mA]

Tabela 2: Wyniki pomiarowe dla R1, R2, R3, R4

3. Pomiary wielkości mechanicznych

	1 [mm]	2 [mm]
A	13,86	5,20
		13,89	5,21
		13,74	5,22
		13,83	5,22
		13,82	5,21
		13,74	5,21
		13,85	5,21
		13,86	5,21
		13,82	5,21
		13,83	5,20
	B	13,77	5,22
		13,77	5,21
		13,84	5,22
		13,84	5,22
		13,78	5,22
		13,87	5,21
		13,78	5,22
		13,75	5,21
		13,76	5,20
		13,76	5,22
	C	13,77	5,21
		13,78	5,23
		13,81	5,21
		13,76	5,20
		13,76	5,21
		13,77	5,22
		13,79	5,20
		13,78	5,23
		13,76	5,22
		13,75	5,21

Tabela 3: Wyniki pomiarowe wielości mechanicznych

5. Obliczenia:

1. Obliczono błędy pomiarowe dla otrzymanych wyników w obu miernikach:

• Dla miernika analogowego błąd obliczono z zależności:

U = klasa przyrządu x zakres pomiarowy

Dla każdego z wykonanych pomiarów błąd będzie różny przez zmianę zakresu na coraz czulszy wraz ze zmniejszającym się napięciem (30V, 10V, 3V):

• Dla miernika cyfrowego błąd obliczono z zależności:

I = klasa przyrządu (%) x aktualny wynik pomiarowy + liczba dla danego miernika x rząd ostatniej cyfry wyniku pomiarowego

Dla każdego z wykonanych pomiarów błąd będzie inny:

Klasy i liczbę charakterystyczną dla amperomierza wzięto dla danych zakresów pomiarowych z dodatku do instrukcji, gdzie zamieszczone są charakterystyki mierników.

Dla dokładniejszego zobrazowania wyników pomiarowych wyznaczono błąd pomiarowy względny jako stosunek niepewności bezwzględnej do wartości otrzymanego wyniku (wyrażony w %):

Obliczone błędy przedstawiono w Tabeli 4:

Lp	U	ZAKRES	BŁĄD U	BŁĄD WZGL. Uwzgl	I	ZAKRES	BŁĄD I	BŁĄD WZGL. wzgl
	[V]	[V]	[V]	[%]	[A]	[A]	[A]	[%]
1	15	30	0,3	0,020	0,033	2	0,0014	0,04
2	14	30	0,3	0,021	0,030	2	0,0014	0,05
3	13	30	0,3	0,023	0,028	2	0,0013	0,05
4	12	30	0,3	0,025	0,026	2	0,0013	0,05
5	11	30	0,3	0,027	0,023	2	0,0013	0,06
6	10	30	0,3	0,03	0,021	2	0,0013	0,06
7	9	10	0,10	0,011	0,020	2	0,0012	0,06
8	8	10	0,10	0,013	0,018	2	0,0012	0,07
9	7	10	0,10	0,014	0,016	2	0,0012	0,07
10	6	10	0,10	0,017	0,013	2	0,0012	0,09
11	5	10	0,10	0,020	0,011	2	0,0011	0,10
12	4	10	0,10	0,03	0,008	2	0,0011	0,14
13	3	10	0,10	0,03	0,006	2	0,0011	0,18
14	2	3	0,03	0,015	0,004	2	0,0010	0,26
15	1	3	0,03	0,03	0,002	2	0,0010	0,5
16	0	3	0,03		0,000	2	0,0010

Tabela 4: Wyniki pomiarowe dla R4 i błędy pomiarowe mierników

W Tabeli 5 przedstawiono zapis wyników po uwzględnieniu błędów pomiarowych:

Lp	U	I
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

Tabela 5: Wyniki pomiarowe po uwzględnieniu błędów pomiarowych

2. Sporządzono wykres charakterystyki prądowo - napięciowej dla R4 z zaznaczonymi polami błędów:

3. Przy pomocy metody najmniejszych kwadratów wyznaczono równanie prostej najlepiej opisującej punkty doświadczalne:

Szukana funkcja ma postać: y=ax+b

Zmienne parametry to x_i i y_i, które w danym doświadczeniu reprezentowane są przez wyniki pomiarowe odpowiednio: U_i i I_i

Funkcja w badanym przypadku przybiera postać:
. Ii to wartości zmierzone prądu, a Ui to wartości zmierzone napięcia, po wstawieniu wartości zmierzonych prądu, wyrażenie
, co daje zależność
wynikającą z błędów pomiarowych.

Aby wartości Ii oraz Ii' były jak najbliższe, skorzystano z metody najmniejszych kwadratów. W myśl tej metody parametry a i b muszą być tak dobrane, aby suma kwadratów różnic między wartościami zmierzonymi Ii a obliczonymi Ii' była jak najmniejsza.

W ogólnym przypadku:

N=16 - liczba pomiarów

Warunkiem istnienia ekstremum jest zerowanie pochodnych cząstkowych względem a i b:

Z otrzymanego układu równań wyznaczono parametry równania prostej a i b:

Średnie odchylenie standardowe Sa i Sb współczynników a i b obliczono z zależności:

Równanie prostej:

Dla badanego doświadczenia równanie prostej przyjmuje postać:

Przyjęto b=0

Z zależności:
widać, że współczynnik kierunkowy a prostej przyjmuje postać 1/R, stąd

Z tej samej zależności
wyznaczono opór dla pojedynczego pomiaru.

Z zależności:
wyznaczono błąd oporu dla każdego pomiaru:

Lp	U	ZAKRES	BŁĄD U	I	ZAKRES	BŁĄD I	R	BŁĄD OPORU R
	[V]	[V]	[V]	[A]	[A]	[A]	[]	[]
1	15	30	0,3	0,033	2	0,0014	454,55	28,32
2	14	30	0,3	0,030	2	0,0014	466,67	31,16
3	13	30	0,3	0,028	2	0,0013	464,29	32,87
4	12	30	0,3	0,026	2	0,0013	461,54	34,83
5	11	30	0,3	0,023	2	0,0013	478,26	39,58
6	10	30	0,3	0,021	2	0,0013	476,19	42,68
7	9	10	0,10	0,020	2	0,0012	450,00	32,90
8	8	10	0,10	0,018	2	0,0012	444,44	35,58
9	7	10	0,10	0,016	2	0,0012	437,50	38,84
10	6	10	0,10	0,013	2	0,0012	461,54	48,73
11	5	10	0,10	0,011	2	0,0011	454,55	55,87
12	4	10	0,10	0,008	2	0,0011	500,00	81,00
13	3	10	0,10	0,006	2	0,0011	500,00	106,00
14	2	3	0,03	0,004	2	0,0010	500,00	138,50
15	1	3	0,03	0,002	2	0,0010	500,00	271,00
16	0	3	0,03	0,000	2	0,0010

4. Wyznaczono wartości badanych oporników R1, R2 i R3 oraz oszacowano błędy metodami różniczki zupełnej i logarytmicznej:

Wartość oporu na poszczególnych opornikach obliczono z zależności opisującej prawo Ohma:

Dla opornika R1 i R2 do wyznaczenia niepewności pomiarowej wykorzystano metodę różniczki zupełnej:

Dla opornika R3 do wyznaczenia niepewności pomiarowej wykorzystano metodę różniczki logarytmicznej:

OPORNIK	U	ZAKRES	BŁĄD U	I	ZAKRES	BŁĄD I	OPÓR	BŁĄD OPORU R	WYNIK
	[V]	[V]	[V]	[mA]	[mA]	[mA]		
R1 (równolegle)	9,00	10	0,10	180,0	2000	3,2	50,0000	0,0014
R1 (szeregowo)	9,00	10	0,10	0,0430	2	0,0012	209,3023	0,0082
R2 (równolegle)	9,00	10	0,10	89,0	2000	2,1	101,1236	0,0035
R2 (szeregowo)	9,00	10	0,10	0,0430	2	0,0012	209,3023	0,0082
R3 (równolegle)	9,00	10	0,10	88,0	2000	2,1	102,2727	0,0035
R3 (szeregowo)	9,00	10	0,10	87,5	200	1,2	102,8571	0,0025

5. Wyznaczono odchylenie standardowe i histogram dla pomiarów średnicy prętów:

Odchylenie standardowe wyników pomiarowych obliczono z zależności:

Gdzie:

n - liczba pomiarów

f. Histogramy dla prętów I i II:

Wykres 1: Histogram dla pręta I

Wykres 2: Histogram dla pręta II

6. Wnioski:

1. Mierniki analogowe są dokładniejsze, gdyż przy obliczaniu błędu pomiarowego korzysta się z innego wzoru. W mierniku wychyłowym błąd ten wyraża się w procentach pomnożonych przez zakres pomiarowy. W miernikach analogowych do liczby tej dodaje się jeszcze liczbę (charakterystyczną dla każdego miernika) pomnożoną przez rząd ostatniej cyfry wyniku pomiarowego. Stąd błąd miernika analogowego jest mniejszy od miernika cyfrowego.

2. Parametry a i b prostej opisującej charakterystykę prądowo - napięciową obliczone metodą najmniejszych kwadratów są wyznaczone poprawnie, na co wskazuje zgodność otrzymanego równania prostej z równaniem otrzymanym w programie Excel

3. Opór dla R4 wyznaczony z równania prostej zawiera się w przedziale niepewności dla oporów wyznaczonych na podstawie pojedynczych pomiarów

4. W części ćwiczenia dotyczącej pomiarów wielkości elektrycznych wartości obliczone mogą odbiegać od przewidywanych ponieważ układ był rozregulowany i często się zawieszał, stąd brak pewności czy wyniki są prawidłowe

5. Metoda różniczki zupełnej i logarytmicznej daje zbliżone rezultaty w obliczanych niepewnościach pomiarowych dla oporników R1, R2, R3

6. Wiedząc, że opór możemy obliczyć ze wzoru R=U/I łatwo zauważyć, że wartość oporu na poszczególnych opornikach jest większa dla połączenia szeregowego amperomierza, gdyż wartość prądu w takim wypadku jest znacznie mniejsza niż podczas połączenia równoległego.
   

2

Ilość powtórzeń

Średnica ₁ [mm]

Ilość powtórzeń

Średnica ₂ [mm]

---