Macierze, nauka, Matematyka


Pojęcia macierzy

Macierz jest to tablica pewnych liczb rzeczywistych:

0x01 graphic
a mn m - to rzędy macierzy, n - to kolumny macierzy

Pojęcia macierzy kwadratowej.

Jeżeli m = n to taką macierz nazywamy macierzą kwadratową.

Pojęcia przekątnej głównej macierzy.

0x08 graphic
0x01 graphic
1, 5, 9 leżą na przekątnej głównej macierzy

Pojęcia macierzy jednostkowej.

0x01 graphic
macierz jednostkowa bo w każdym wierszu i każdej kolumnie leży tylko jedna jedynka

Pojęcia macierzy transponowanej.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

W macierzy transponowanej to co jest rzędami w macierzy podstawowej staje się kolumnami tzn. pierwszy rząd staje się pierwszą kolumną, drugi wiersz staje się drugą kolumną itd.

Macierz transponowana powtórnie transponowana, daje w wyniku macierz pierwotną.

0x01 graphic

Działania na macierzach:

Dodawanie macierzy:

0x01 graphic

Dodajemy macierze które mają jednakowe wymiary.

0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

Odejmowanie macierzy:

0x01 graphic

Odejmujemy macierze które mają jednakowe wymiary.

Mnożenie macierzy:

  1. Mnożenie stałej przez macierz: 0x01 graphic

  2. Mnożenie macierzy przez macierz:

Mnożenie wykonujemy w ten sposób, że wiersze I macierzy mnożymy przez kolumny II macierzy.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Ilość elementów w wierszu I macierzy musi być równa ilości elementów w pierwszej kolumnie II macierzy.

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

Własności mnożenia:

1. Iloczyn macierzy na ogół nie jest przemienny:

A* B B A

  1. C(A+B) = C*A + C*B (A+B)*C = A*C + B*C

Pojęcia wyznacznika macierzy.

0x01 graphic

Jeżeli mamy macierz trzeciego stopnia:

0x01 graphic

to wyznacznik takiej macierzy możemy wyznaczyć na trzy sposoby:

0x08 graphic

Pierwszy sposób:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

Drugi sposób:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

Macierz której wyznacznik jest równy 0 („zero”) nazywa się macierzą osobliwą.

Trzeci sposób:

0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic
.

Jeżeli mamy macierz czwartego stopnia to postępujemy w sposób opisany poniżej:

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
Wzór: akl(-1)k+l det A'

Poszukujemy wiersza lub kolumny o największej ilości zer (tutaj druga kolumna).

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Macierz odwrotna istnieje tylko wtedy jeżeli wyznacznik macierzy jest różny od zera.

0x01 graphic

Obliczanie macierzy odwrotnej: I sposób.

Pierwszy krok: trzeba policzyć wyznacznik detA z macierzy.

0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

więc macierz odwrotna istnieje

Drugi krok: buduje się macierz dopełnień 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Trzeci krok: transponujemy macierz 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

Krok czwarty: wyznaczenie macierzy odwrotnej: 0x01 graphic

0x01 graphic

Sprawdzenie poprawności obliczeń:

Jeżeli macierz odwrotną przemnożymy przez daną macierz, otrzymamy macierz pierwotną: 0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Sprawdzamy:

0x01 graphic

0x01 graphic

Sprawdzenie wypadło prawidłowo.

Obliczanie macierzy odwrotnej: II sposób. (przekształcenia elementarne)

0x01 graphic

Pierwszy i trzeci wiersz przepisujemy bez zmian bo jest jedynka i zero

Aby zamiast elementu a 21 = 2 otrzymać 0 należy wiersz w1 pomnożyć przez (-2) i dodać wiersz 1.

0x01 graphic

0x01 graphic
ok.!

0x08 graphic

0x01 graphic

Aby zamiast elementu a 22 = -7 otrzymać 1 należy wiersz 2 podzielić przez -7

0x01 graphic
ok.!

0x08 graphic

0x01 graphic

Aby zamiast elementu a 12 = 5 otrzymać 0 należy wiersz 2 pomnożyć przez (-5) i dodać do wiersza 1.

0x01 graphic
ok.!

0x08 graphic

0x01 graphic

Aby zamiast elementu a 32 = 1 otrzymać 0 należy w2 pomnożyć przez (-1) i dodać do wiersza 3.

0x01 graphic
ok.!

0x08 graphic

0x01 graphic

Aby zamiast elementu a 33 = -4/7 otrzymać 1 należy w3 pomnożyć przez (-7/4)

0x01 graphic
ok.!

0x08 graphic

0x01 graphic

Aby zamiast elementu a 13 = -1/3 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (1/3) i dodać do w1

0x08 graphic
0x01 graphic
ok.!

0x01 graphic

Aby zamiast elementu a 23 = 11/7 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (-11/7) i dodać do w2

0x08 graphic
0x01 graphic
ok.!

0x01 graphic

Rozwiązanie I metodą.

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic

Jeżeli 0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic

0x01 graphic
Wzory Krammera

Rozwiązanie II metodą.

0x01 graphic
gdzie W = wyznacznik macierzy współczynników

0x01 graphic

0x01 graphic
w miejsce Xi ma kolumnę wyrazów wolnych ???????

0x01 graphic

0x01 graphic

Rozwiązanie III metodą.

0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x01 graphic

macierz wektor

współczyn prawo

ników stronny

przekształcamy lewą stronę do macierzy jednostkowej:

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

Przykład: Oblicz wskaźnik macierzy IV stopnia

0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

Wszystkie kolumny i rzędy mają taką sama ilość zer. Możemy więc wybrać dowolny element od którego rozpoczniemy obliczenia. Rozpoczniemy od zera z 3 rządu , 2 kolumny. Rząd 3, kolumna 2 zostają więc wyeliminowany z obliczeń.

0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic
0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x01 graphic

Przykład: Obliczyć macierz odwrotna metodą dopełnień.

0x01 graphic

1) Obliczamy wskaźnik macierzy:

0x01 graphic

2) Obliczamy macierz dopełnień.

0x08 graphic
Krok 1

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
A=0x01 graphic
A= 0x01 graphic
A= 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic
Krok 2)0x08 graphic
0x08 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
A= 0x01 graphic
A= 0x01 graphic
A= 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
Krok 3)

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic
A= 0x01 graphic
A= 0x01 graphic
A= 0x01 graphic

0x08 graphic
0x08 graphic
0x08 graphic

0x01 graphic

Krok 4) Obliczamy wskaźniki w macierzy dopełnień:

0x01 graphic

Krok 5) Obliczamy elementy macierzy dopełnień według wzoru: 0x01 graphic

0x01 graphic

3) Transponujemy macierz dopełnień:

. 0x01 graphic

  1. Obliczamy macierz odwrotną:

0x01 graphic

0x01 graphic

  1. Dokonujemy sprawdzenia poprawności obliczeń.

Wykorzystujemy zależność:

Macierz pomnożona przez macierz odwrotną daje w wyniku macierz jednostkową.

0x01 graphic

0x01 graphic
0x01 graphic

0x01 graphic

Mnożenie 0x01 graphic
sprawdziło się. Obliczenie macierzy pierwotnej zostało przeprowadzone poprawnie.

Przeprowadzimy to samo obliczenie wykorzystując metodę przekształceń elementarnych.

0x01 graphic

Polega ona na tym, że do macierzy dopisujemy jej postać jednostkową a następnie obie macierze poddajemy kolejnym przekształceniom ich elementów tak, aby postać macierzy sprowadzić do postaci macierzy jednostkowej. Po takich przekształceniach dopisana na początku macierz jednostkowa będzie miała postać poszukiwanej macierzy pierwotnej.

0x08 graphic
Pierwszy i drugi wiersz przepisujemy bez zmian bo jest jedynka i zero

0x01 graphic

Aby zamiast elementu a 31 = -1 otrzymać 0 należy do wiersz 3 dodać wiersz 1.

0x01 graphic
ok.!

0x08 graphic

0x01 graphic

Aby zamiast elementu a 22 = 3 otrzymać 1 należy wiersz 2 podzielić przez 3

0x01 graphic
ok.!

0x08 graphic

0x01 graphic

Aby zamiast elementu a 12 = 2 otrzymać 1 należy wiersz 2 pomnożyć przez (-2) i dodać do wiersza 1.

0x01 graphic
ok.!

0x08 graphic

0x01 graphic

Aby zamiast elementu a 31 = -1 otrzymać 0 należy pomnożyć przez (-6) i dodać do wiersza 3.

0x01 graphic
ok.!

0x08 graphic

0x01 graphic

Aby zamiast elementu a 33 = -1 otrzymać 1 należy w3 pomnożyć przez (-1)

0x01 graphic
ok.!

0x08 graphic

0x01 graphic

Aby zamiast elementu a 13 = -1/3 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (1/3) i dodać do w1

0x08 graphic
0x01 graphic
ok.!

0x01 graphic

Aby zamiast elementu a 23 = 2/3 otrzymać 0 należy wiersz 3 pomnożyć przez (-2/3) i dodać do w2

0x08 graphic
0x01 graphic
ok.!

0x01 graphic

Przykład: Rozwiązać układ równań.

0x01 graphic
.

Tworzymy macierz współczynników i macierz wartości:

0x01 graphic
0x01 graphic

Obliczamy metodą przekształceń elementarnych.

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

0x01 graphic

dopisujemy dwie kolumny

dopisujemy dwa rzędy



Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
(eBook PL,matura, kompedium, nauka ) Matematyka liczby i zbiory maturalne kompedium fragmid 1287
Zagadnienia obowiązujące do egz z logiki, Nauka, Matematyka
TEST3(BONUS), ☆☆♠ Nauka dla Wszystkich Prawdziwych ∑ ξ ζ ω ∏ √¼½¾haslo nauka, Matematyka statystyka
Kombinatoryka - Zadania, Nauka, Matematyka, Kombinatoryka. Prawdopodobieństwo
Matematyka [ macierze][ szeregi], matematyka macierze, Liczenie wyznaczników w macierzy 3x3
pytania matematyka egzamin, Nauka, Matematyka
vocab Nauka - matematyka, batuta
Tw-Eulera, Nauka, matematyka
WZORY 3, Nauka, Matematyka, matematyka
Ułamki-test, Nauka, Matematyka
zadania - algebra 1, nauka, matematyka, LICEUM, 1 KLASA, I RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI
wiel ortog-wstep, Nauka, Matematyka Stosowana
TEST2(BONUS), ☆☆♠ Nauka dla Wszystkich Prawdziwych ∑ ξ ζ ω ∏ √¼½¾haslo nauka, Matematyka statystyka
funkcja wykładnicza i logartymy, Nauka, Matematyka
zadania - symetria, nauka, matematyka, LICEUM, 2 KLASA, II FIGURY I PRZEKSZTAŁCENIA
zadania - pola figur 2, nauka, matematyka, LICEUM, 1 KLASA, II FIGURY GEOMETRYCZNE
Planimetria - Zadania, Nauka, Matematyka
zadania - logika, nauka, matematyka, LICEUM, 1 KLASA, LOGIKA

więcej podobnych podstron