Niezawodność obiektu - własność, która wyraża się poprawnym wykonywaniem przez obiekt założonych zadań w określonych warunkach i określonym czasie. Formalnym (matematycznym) wyrażeniem tego zaufania jest prawdopodobieństwo nieuszkodzenia obiektu.
Dystrybuanta zmiennej losowej
(funkcja zawodności) to prawdopodobieństwo uszkodzenia obiektu do chwili
, dla
przy czym
Funkcja niezawodności
- prawdopodobieństwo, że do chwili
nie nastąpi uszkodzenie.
, dla
Zakładając, że uszkodzenie obiektu (do chwili
, lub później) jest zdarzeniem pewnym:
,
,
Gęstość prawdopodobieństwa uszkodzenia
jest pochodną dystrybuanty
dla
Intensywność uszkodzeń
- warunkową gęstością prawdopodobieństwa powstania uszkodzenia w chwili
, pod warunkiem, że do chwili
uszkodzenie nie nastąpiło.
Oznaczamy ją
i nazywamy intensywnością uszkodzeń.
definiuje się jako:
; dla
Wzory:
Poprzez dystrybuantę
wyrazić je można jako:
,
,
Poprzez gęstość
wyrazić je można jako:
,
Poprzez funkcję niezawodności
wyrazić je można jako:
,
,
Przez funkcję intensywności:
,
,
,
Wskaźniki liczbowe niezawodności
wartość oczekiwana
;
,
wariancja
,
Wielkość
oznacza średni czas życia obiektu, a
przeciętne odchylenie czasu życia obiektów od oczekiwanego
.
Zmiany stanu technicznego spowodowane wymuszeniami skokowymi: stała wartość dopuszczalna, zmienna wartość dopuszczalna
Niezawodność typu wykładniczego Wówczas, gdy czas życia obiektu jest zmienną losową
o rozkładzie wykładniczym z parametrem
, a więc:
dla
,
dla
,
- wykładniczym prawem niezawodności;
;
;
;
- wykładnicze prawo niezawodności
Wykładniczemu prawu niezawodności podlegają obiekty, dla których
, tzn. takie, których odporność na bodźce wymuszające uszkodzenia nie maleje z upływem czasu. Omawiane prawo ma jeszcze jedną charakterystyczną własność: warunkowe prawdopodobieństwo poprawnej pracy obiektu w przedziale
pod warunkiem nieuszkodzenia w czasie
, zależy jedynie od długości przedziału
, nie zależy zaś od długości czasu
wcześniejszej pracy obiektu.
Rozkład jednostajny
dla
-
,
,
,
,
,
System o strukturze szeregowej
,
. W ogólnym przypadku t.j. dla zmiennych losowych
o dowolnym rozkładzie prawdopodobieństwa nie można podać bezpośredniej zależności między
i
Przypadki szczególne
1) Niech zmienne losowe
mają taki sam rozkład
prawdopodobieństwa
dla
,
Wszystkie elementy mają więc również jednakowe
dla
,
stąd
połączenie szeregowe
identycznych elementów zwiększa
krotnie prawdopodobieństwo uszkodzenia w danej chwili
,
2) Niech zmienne losowe
mają rozkład wykładniczy o parametrach odpowiednio
, ....,
,czyli:
,
,
3) Niech zmienne losowe
mają rozkład wykładniczy o tym samym parametrze
:
,
,
System o strukturze równoległej
Przypadki szczególne
Niech zmienne losowe
mają jednakowy rozkład prawdopodobieństwa o dystrybuancie
, wówczas:
,
Niech zmienne losowe
maja rozkład wykładniczy o parametrach odpowiednio
, ....
,
wówczas:
można przyjąć, że
, czyli
3) Niech zmienne losowe
maja wykładniczy rozkład prawdopodobieństwa o jednakowym parametrze
, wówczas:
,
Wyznaczamy dla tego przypadku
Który wariant jest korzystniejszy?
,
Krotność rezerwowania
,
dla
,
Rezerwa nieobciążona (zimna)
ale
W jakich sytuacjach układ będzie zdatny w chwili
?
element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili
:
element podstawowy (1) uszkodzi się w pewnej chwili
, element rezerwowy (2) nie uszkodzi się w przedziale
,
,
,
,
Jeżeli będą dwa elementy rezerwowe, to pojawi się trzecia sytuacja, w której układ zachowa zdatność do chwili
:
element podstawowy (1) i element rezerwowy (2) uszkodzą się do pewnej chwili
, element rezerwowy (3) nie uszkodzi się w przedziale
,
,
.
,
Zwiększając liczbę elementów rezerwowych możemy wyznaczyć kolejno:
,
Który element korzystniejszy
,
,
Rezerwa częściowo obciążona (chłodna)
do chwili uszkodzenia elementu (1)
po chwili uszkodzenia elementu (1)
element podstawowy (1) nie uszkodzi się do chwili
:
element podstawowy (1) uszkodzi się w pewnej chwili
, element rezerwowy (2) nie uszkodzi się do chwili
:
,
,
,
,
,
dla rozkładu jednostajnego:
niech
Zależne uszkodzenia elementów
gdy jeden z elementów uszkodzi się to intensywność uszkodzeń elementu pozostającego w stanie zdatności wzrasta do
1) ani jeden element nie uszkodzi się do chwili
:
2) element (1) uszkodzi się w pewnej chwili
,
element (2) nie uszkodzi się do chwili
:
,
,
,
1.element (2) uszkodzi się w pewnej chwili
,
element (1) nie uszkodzi się do chwili
:
,