POLITECHNIKA POZNAŃSKA INSTYTUT AUTOMATYKI I INŻYNIERII INFORMATYCZNEJ Zakład Automatyki i Robotyki Laboratorium podstaw automatyki
		Ćwiczenie nr 3 Temat: Stabilność układów liniowych
Rok akad. 2007/2008	Michał Kaczmarek Michał Fularz		Wykonanie ćwiczenia 15.10.2007r.	Oddanie sprawozdania 22.10.2007r.
Wydział Elektryczny
Studia dzienne
Automatyka i robotyka
Grupa A1					Ocena:
UWAGI:

1. Cel ćwiczenia

Ćwiczenie ma na celu zapoznanie się z zagadnieniem określania stabilności układów liniowych ze sztywnym sprzężeniem zwrotnym na podstawie następujących charakterystyk układu otwartego: amplitudowo-fazowej, wykresów Bodego oraz wykresu Nicholasa.

2. Podstawowe wiadomości

Zawarte w skrypcie

3. Przebieg ćwiczenia

3.1 Wpływ wzmocnienia obiektów na przebieg charakterystyk częstotliwościowych

Parametry nominalne mają wartość:

• T = 6.0 s

• T₁ = 7.0 s

• T₂ = 3.5 s

• n = 10

Do wykreślenia charakterystyk używaliśmy trzech parametrów wzmocnienia k: 3, 9, 27.

• Obiekt dwuinercyjny z astatyzmem

Transmitancja:
Warunkiem stabilności układu jest fakt nie obejmowania punktu (-1, j0) przez charakterystykę amplitudowo-fazową. Układ jest niestabilny gdy owy punkt jest obejmowany przez charakterystykę. Ostatnią możliwością jest granica stabilności- charakterystyka przechodzi przez powyższy punkt. Na wykresie Nicholasa możemy dostrzec trzy charakterystyki przy różnych wzmocnieniach układu. Wszystkie są niestabilne gdyż obejmują punkt (-1, j0). Charakterystyka koloru zielonego ma wzmocnienie k=27 i jest najbardziej niestabilna. Można to również dostrzec na wykresie odpowiedzi skokowej. Drgania mają charakter sinusoidalny ich amplituda rośnie- nie jest tłumiona.

• Obiekt dwuinercyjny

Transmitancja:
Układ dwuinercyjny o wylosowanych parametrach T1 = 7.0s , T2 = 3.5s oraz wzmocnieniach k=3, 9 i 27 jest zawsze stabilny. Charakterystyka na wykresie Nicholasa nie obejmuje punktu (-1, j0). Charakterystyki na odpowiedz skokowa h(t) również wskazują na stabilność układu. Amplituda drgań sinusoidalnych jest silnie tłumiona. Charakterystyka Nyquista potwierdza wcześniejsze wnioski, gdyż pokazuje, że układ o zdanych parametrach nigdy nie obejmie punktu (-1, j0). Zmieniając wartość wzmocnienia k nie wpływamy na charakterystyki Bodego w taki sposób aby wytrącić układ ze stabilności. Przy fazie 180^0 zapas modułu jest równy nieskończoności- zawsze znajduję się nad 0. Wszystkie wykresy dowodzą o stabilności układu.

• Obiekt inercyjny n- tego rzędu

Transmitancja:
Na wykresie Nicholasa można dostrzec, że obiekt inercyjny 10 rzędu o T=6s jest zawsze niestabilny. Charakterystyka przechodzi powyżej punktu (-1, j0). Wykresy Bodego przy fazie 180^0 nie pokazują żadnego zapasu modułu. Obejmowanie punktu „krytycznego” dobrze widoczne jest na wykresie Nyquista. Dostrzec możemy również brak tłumienia drgań amplitudy na wykresie odpowiedzi skokowej.

• Obiekt dwukrotnie całkujący z inercją

Transmitancja:
Przedstawione wykresy wskazują, że układ dwukrotnie całkujący z inercją jest zawsze niestabilny. Zmiana wzmocnienia w dosyć dużym zakresie nie powoduje zbliżenia się o granicy stabilności, ani przejścia w stabilność układu. Przebiegi na wykresie Nicholasa są znacznie ponad punktem (-1, j0). Na wykresie po prawej dobrze widać narastanie amplitudy-brak tłumienia. Jest to zjawisko połączone z niestabilnością układów. Wykresy Bodego przedstawiają, że nie istnieje takie wzmocnienie, dla którego układ posiadałby zapas fazy lub modułu. Układ jest zawsze niestabilny.

3.2 Zapas stabilności

Obiekt dwuinercyjny z astatyzmem o parametrach: k = 0.1429, T₁ = 7.0 s, T₂ = 3.5 s.

Transmitancja:
Charakterystyki wyznaczone dla podanych parametrów obiektu dwuinercyjnego z astatyzmem pokazują, że układ jest zawsze stabilny. Fakt ten łatwo jest zaobserwować na wykresie Nicholasa, gdzie charakterystyka leży poniżej punku (-1, j0). Odpowiedz układu na skok jednostkowy wykazuje mocne tłumienie amplitudy. Wykresy Bodego dają nam możliwość odczytania zapasu stabilności. Dla podanego układu wynoszą: zapas modułu - Λ=9.5398 [dB] zapas fazy - =32.6039 [^0]

3.3 Metoda linii pierwiastkowych

Parametry nominalne:

• p₁ = 0.01

• p₂ = -2.3

• p₃ = -7.4

• z₁ = -0.5

• k = 3

• trzeciego rzędu z astatyzmem

	Transmitancja:
		Badając układ metodą linii pierwiastkowych w pierwszej kolejności należy wyznaczyć transmitancję układu zamkniętego . Dla obiektu trzeciego rzędu z astatyzmem o zadanych parametrach ma ona postać:

Kryterium Routha:

s^3	1000	-23	Dla 0<k<0,052 układ jest stabilny. Dla wzmocnienia k=0 oraz k=0,052 układ staje się niestabilny. Dla k=0 punkty oraz k=0,052 , są punktami przecięć linii pierwiastkowych z osią urojoną.
s^2	2290	1000k
s^1		0
s^0	1000k	0

• czwartego rzędu z astatyzmem
  

Transmitancja:


Transmitancja układu zamkniętego:




Kryterium Routha:

s^4	5000	84615	2500k
s^3	48450	851+5000k	0
s^2		2500k	0
s^1		0	0
s^0	2500k	0

Dla 0<k<163,81 układ jest stabilny. Dla wzmocnienia k=0 oraz k=163.81 układ staje się niestabilny. Dla k=0 punkty
oraz dla k=163.81 punkty
, są punktami przecięć linii pierwiastkowych z osią urojoną.

Dla układu trzeciego i czwartego rzędu z astatyzmem wartość wzmocnienia, przy którym układ przejdzie w stan niestabilny odczytana z wykresów jest bardzo zbliżona do otrzymanej z obliczeń analitycznych.

1

---