Wykład 18

Dielektryk w polu elektrycznym

Polaryzacja dielektryka

Dielektryk (izolator), w odróżnieniu od przewodnika, nie posiada ładunków swobodnych zdolnych do przemieszczenia się na duże odległości. A zatem dielektryk zachowuje się w polu elektrycznym całkowicie odmiennie od zachowania się przewodników.

Każdy dielektryk przy wprowadzeniu w obręb pola elektrycznego uzyskuje makroskopowy elektryczny moment dipolowy. To zjawisko nosi nazwę polaryzacji, a mechanizm polaryzacji w znacznym stopniu zależy od tego, z jakich cząstek jest zbudowany dielektryk.

Jeżeli w cząstkach dielektryka środki ładunków dodatnich i ujemnych pokrywają się ze sobą, to taki cząstki nazywamy niepolarnymi, a dielektryk zbudowany z tych cząstek będziemy nazywały dielektrykiem niepolarnym.

Jeżeli dielektryk niepolarny znajduje się w polu elektrycznym, wówczas dodatnie ładunki cząstek (jądra atomów) przesuwają się wzdłuż linii pola. Natomiast ujemne ładunki (elektrony) przesuwają się w przeciwnym kierunku.

W deformowanej w polu elektrycznym cząstce środek ładunków ujemnych nie pokrywa się ze środkiem ładunków dodatnich, a zatem w polu elektrycznym cząstka staje się dipolem elektrycznym indukowanym o momencie dipolowym

.

Dipole indukowane ustawione są od razu równolegle do linii pola elektrycznego. Po wyłączeniu pola elektrycznego cząstki wracają do stanu wyjściowego, a dielektryk traci indukowany moment dipolowy.

Niektóre cząstki (na przykład molekuły wody
) wskutek asymetrycznej budowy posiadają moment dipolowy. Takie cząstki nazywamy polarnymi, a dielektryki zbudowane z polarnych cząstek będziemy nazywały dielektrykami polarnymi.

W cieczach i gazach zawierających polarne cząstki w zerowym zewnętrznym polu elektrycznym, chaotyczne ruchy cieplne cząstek powodują, że wypadkowy makroskopowy moment dipolowe substancji wynosi zero. Zazwyczaj, wewnętrzne siły elektryczne (siły oddziaływania elektronów i jąder cząstek), odpowiedzialne za asymetryczną budowę polarnych cząstek są znacznie większe niż elektryczne siły oddziaływania cząstki z zewnętrznym polem elektrycznym. A zatem zewnętrzne pole elektryczne nie jest w stanie deformować cząstkę.

W jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym na ładunki dipola elektrycznego działają siły . Ta para sił tworzy wypadkowy moment sił , (XVIII.1)

który powoduje, że dipol zaczyna obracać się i przychodzi do stanu gdy moment sił jest równy zeru. Ze wzoru (XVIII.1) wynika, że ten stan równowagowy następuje, gdy
. A zatem w dielektrykach polarnych zewnętrzne pole elektryczne stara się ustawić dipole elektryczne wzdłuż linii pola, co powoduje, że dielektryk uzyskuje makroskopowy moment dipolowy. Przeciwdziałają temu ruchy cieplne dipoli.

Polaryzacja dielektryków polarnych zwana jest polaryzacją dipolową lub polaryzacja zorientowaną.

Jeżeli pole elektryczne nie jest polem jednorodnym, to jak widać z rysunku (b) siły
nie są zrównoważone i dipol stara się przesunąć się w obszar pola o największym natężeniu pola.

Wektor polaryzacji dielektryka. Podatność elektryczna dielektryka

W zewnętrznym polu elektrycznym każdy mały element objętości dielektryka
w wyniku polaryzacji uzyskuje dipolowy moment elektryczny

, (XVIII.2)

gdzie
oznacza liczbę dipoli zawartych w objętości
dielektryka, a
- moment elektryczny
-tego dipolu.

Wektorem polaryzacji dielektryka nazywamy wielkość

. (XVIII.3)

Dipole elektryczne
wytwarzają w spolaryzowanym dielektryku swoje pole elektryczne - pole polaryzacji
. Zgodnie z zasadą superpozycji pole polaryzacji
oraz zewnętrzne pole elektryczne
, pochodzące od ładunków znajdujących się poza dielektrykom, tworzą we wnętrzu dielektryka wypadkowe pole elektryczne o natężeniu

. (XVIII.4)

Jeżeli wyłączymy zewnętrzne pole elektryczne
, to w większości dielektryków pole polaryzacji
wkrótce znika. Istnieją jednak dielektryki - elektrety, które są zdolne podtrzymywać długo stan spolaryzowanego dielektryka.

Z doświadczeń wynika, że dla większości z dielektryków wektor polaryzacji
jest wprost proporcjonalny do natężenia pola elektrycznego działającego na cząstki we wnętrzu dielektryka

. (XVIII.5)

Współczynnik
nosi nazwę podatności dielektrycznej substancji.

Substancje, dla których jest słuszny wzór (XVIII.5) będziemy nazywały izotropowymi dielektrykami.

W przypadku niektórych krystalicznych dielektryków - kryształów, z doświadczeń wynika, że kierunek wektora polaryzacji
nie pokrywa się z kierunkiem wektora pola elektrycznego
. W tym przypadku wzór (XVIII.5) przyjmuje postać

. (XVIII.6)

Tu wskaźnik
określa składowe wektora polaryzacji. Dziewięć wielkości
tworzą tak zwany tensor podatności dielektrycznej.

Substancje, dla których jest słuszny wzór (XVIII.6) będziemy nazywały anizotropowymi dielektrykami.

Zwróćmy uwagę, że nie wszystkie dielektryki zachowują się w polu elektrycznym zgodnie ze wzorami (XVIII.5) albo (XVIII.6). Istnieje liczna grupa kryształów, która posiada niezerową polaryzacji nawet w zerowym zewnętrznym polu elektrycznego. Takie uporządkowane elektrycznie kryształy nazywamy ferroelektrykami. Dla ferroelektryków przenikalność dielektryczna jest funkcją zewnętrznego pola elektrycznego.

Pole elektryczne we wnętrzu dielektryka

Dla tego, żeby znaleźć pole elektryczne (XVIII.4) w dielektryku, rozpatrzmy płaski kondensator między okładkami którego znajduje się izotropowy dielektryk. Pole elektryczne
wytwarzane ładunkami kondensatora jest równe

(XVIII.7)

i jest skierowane od lewej okładki kondensatora ku prawej okładce.
jest gęstością powierzchniowa ładunku.

W wyniku polaryzacji dielektryka (w polu elektrycznym kondensatora) na powierzchni dielektryka powstają ładunki elektryczne: na lewej powierzchni ujemne końce dipoli elektrycznych, natomiast na prawej powierzchni - dodatni ładunki spolaryzowanych dipoli elektrycznych. We wnętrzu dielektryka około ujemnego końca dipolu znajduje się w pobliżu dodatni koniec sąsiedniego spolaryzowanego dipolu, wskutek czego wypadkowy ładunek wewnątrz dielektryku wynosi zeru.

Nie skompensowane ładunki elektryczne na powierzchni dielektryka nazywamy ładunkami związanymi. Właśnie ładunki związane na powierzchni dielektryka są źródłem pola polaryzacji
. Oznaczając przez
gęstość powierzchniową ładunku występującego na powierzchni dielektryka (ładunku związanego) dla natężenie pola polaryzacji możemy zapisać

(XVIII.8)

Zwróćmy uwagę, że pole polaryzacji
ma kierunek przeciwny do pola zewnętrznego
.

Rozważmy teraz w dielektryku objętość
i niech w tej objętości istnieje
zorientowanych dipoli. Polaryzacja dielektryka wynosi

, (XVIII.9)

gdzie
- koncentracja dipoli , a
- ładunek jednego z biegunów dipolu.

Na powierzchni spolaryzowanego dielektryka znajduje się dipoli, a zatem całkowity związany ładunek powierzchniowy jest równy . (XVIII.10) Z tego wzoru wynika, że

. (XVIII.11)

Tu uwzględniliśmy wzór (XVIII.9).

W ogólnym przypadku dowolnej wzajemnej orientacji wektorów
i
(patrz wzór (XIII.6)) można udowodnić, że zamiast wzoru (XVIII.11) otrzymujemy

. (XVIII.12)

Tu
jest składowa wektora polaryzacji
prostopadła do powierzchni dielektryka.

Po podstawieniu (XVIII.11) do wzoru (XVIII.8) i uwzględnieniu, że wektor polaryzacji
jest równoległy do pola zewnętrznego
, a zatem ma kierunek przeciwny niż pole polaryzacji
znajdujemy

(XVIII.13)

W przypadku izotropowych dielektryków
, a zatem

. (XVIII.14)

Skąd

. (XVIII.15)

Pole elektryczne we wnętrzu dielektryka składa się z sumy wektorowej pola zewnętrznego
oraz pola polaryzacji
. Biorąc pod uwagę wzór (XVIII.15) dla pola elektrycznego we wnętrzu dielektryka otrzymujemy

. (XVIII.16)

Wprowadzając pojęcie przenikalności elektrycznej
:

, (XVIII.17)

wzór (XVIII.16) możemy zapisać w postaci

. (XVIII.18)

Ponieważ
, ze wzoru (XVIII.18) otrzymujemy, że pole elektryczne
w dielektryku jest zawsze mniejsze niż pole zewnętrzne
.

Różnica potencjałów pomiędzy okładkami kondensatora wypełnionego dielektrykiem jest równa

, (XVIII.19)

gdzie
- odległość między okładkami kondensatora;
- różnica potencjałów kondensatora próżniowego.

Więc obecność dielektryka pomiędzy okładkami kondensatora powoduje zmniejszenie różnicy potencjałów (
) - krotne, w porównanie z kondensatorem próżniowym o tym samym ładunku. A więc pojemność kondensatora wypełnionego dielektrykiem (
) wzrasta i wynosi

. (XVIII.20)

Tu
- pojemność kondensatora próżniowego.

Wektor indukcji elektrycznej. Prawo Gaussa dla wektorów

Wyżej udowodniliśmy, że w dielektryku pole elektryczne składa się z sumy wektorowej pola zewnętrznego
oraz pola polaryzacji
. Źródłem pola zewnętrznego
są ładunki swobodne (ładunki na okładkach kondensatora), natomiast źródłem pola polaryzacji
są ładunki związane, które powstają wskutek polaryzacji dielektryka. Oznaczają przez
algebraiczną sumę ładunków swobodnych, a przez
- algebraiczną sumę ładunków związanych, prawo Gaussa dla pola elektrycznego
możemy zapisać w postaci

. (XVIII.21)

Wzór (XVIII.21) jest mało przydatny dla wyliczenia pola elektrycznego
w dielektryku ponieważ ładunek polaryzacyjny
w prawej części równania (XVIII.21) jest funkcją niewiadomego pola
. Jednak wyliczenie pola
w dielektryku znacznie może uprościć się jeżeli wprowadźmy dodatkową wielkość nazywaną indukcją elektryczną

. (XVIII.22)

Korzystając z (XVIII.5) i (XVIII.17), wzór (XVIII.22) możemy zapisać w postaci

. (XVIII.23)

Najpierw zwróćmy uwagę, że wektor
ma taką samą wartość na zewnątrz oraz wewnątrz dielektryka. Istotnie, zgodnie ze wzorem (XVIII.18) wektor
we wnętrzu dielektryka wynosi

. (XVIII.24a)

Na zewnątrz dielektryka
,
a zatem ze wzoru (XVIII.22) mamy

. (XVIII.24a)

Z porównania (XVIII.24a) i (XVIII.24b) widzimy że wektor indukcji elektrycznej
z dokładnością do współczynnika
pokrywa się z zewnętrznym polem elektrycznym.

Źródłem pola zewnętrznego
są ładunki swobodne, a zatem dla tego pola prawo Gaussa ma postać

. (XVIII.25)

Po podstawieniu (XVIII.24) do wzoru (XVIII.25) otrzymujemy prawo Gaussa dla wektora

. (XVIII.26)

W prawej stronie równania (XVIII.26) jest tylko całkowity ładunek swobodny.

Korzystając ze wzorów (XVIII.21) i (XVIII.26) łatwo znaleźć prawo Gaussa dla wektora
:

. (XVIII.27)

Skąd, z uwzględnieniem (XVIII.26) otrzymujemy

. (XVIII.28)

Skorzystajmy teraz z twierdzeniem Gaussa - Ostrogradskiego

. (XVIII.29)

Tu
- dowolne pole wektorowe.

Biorąc pod uwagę wzór (XVIII.29) ze wzoru (XVIII.21) otrzymujemy

, (XVIII.30)

gdzie
- gęstość objętościowa ładunków swobodnych, a
- gęstość objętościowa ładunków związanych.

Skąd

. (XVIII.31)

W podobny sposób ze wzorów (XVIII.26) i (XVIII.28) otrzymujemy

, (XVIII.32)

. (XVIII.33)

Wzory (XVIII.31) - (XVIII.33) nazywają się różniczkowymi (lokalnymi) postaciami praw Gaussa dla wektorów
.

Warunki graniczne dla wektorów
na powierzchni styku dielektryków

Z praw Gaussa dla wektorów
wynika, że wektor indukcji pola elektrycznego
wiąże się wyłącznie z ładunkami swobodnymi. A zatem linii pola wektora
zaczynają się i kończą się na ładunkach swobodnych.

Wektor polaryzacji
jest związany wyłącznie z ładunkami związanymi. A więc linii pola wektora
zaczynają się i kończą się na ładunkach polaryzacyjnych.

Wektor natężenia pola elektrycznego jest związany ze wszystkimi ładunkami. A zatem jedna część linii pola wektora zaczynają się i kończą się na ładunkach swobodnych, a druga część linii pola wektora zaczynają się na ładunkach swobodnych (albo związanych) a kończy się na ładunkach związanych (albo swobodnych).

Zachowanie wektora
na powierzchni styku dielektryków znajdziemy korzystając z prawa Gaussa dla tego wektora.

Na powierzchni styku dielektryków brak ładunków swobodnych, a zatem stosując prawo Gaussa dla wektora (XVIII.26) otrzymujemy: .

Skąd mamy
albo

,

. (XVIII.34)

Zachowanie wektora
na powierzchni styku dielektryków znajdziemy korzystając z potencjalności pola elektrostatycznego.

Praca sił potencjalnych wzdłuż zamkniętego obwodu jest równa zeru .

Skąd mamy
albo

,

. (XVIII.35)

Ze wzorów (XVIII.34) i (XVIII.35) wynika następujący wzór na załamanie linii pola elektrycznego na powierzchni styku dielektryków . (XVIII.36)

Zachowanie wektora
na powierzchni styku dielektryków znajdziemy korzystając ze wzoru (XVIII.12):
.

. (XVIII.37)

Energia układu ładunków. Energia pola elektrycznego

W mechanice udowodniliśmy, że energia potencjalna dwóch oddziałujących grawitacyjnie punktów materialnych jest równa prace którą musimy wykonać przy przenoszeniu jednego z punktów w nieskończoność. Siła Coulomba, określająca oddziaływania dwóch ładunków
i
jest podobna do siły grawitacyjnej, a zatem energia potencjalna oddziaływania dwóch ładunków wynosi

. (XVIII.38)

Tu
.

Zapiszmy wzór (XVIII.38) w postaci

, (XVIII.39)

gdzie

jest potencjałem pola elektrycznego wytwarzanego ładunkiem
w miejscu gdzie znajduje się ładunek
. Odpowiednio

jest potencjałem pola elektrycznego wytwarzanego ładunkiem
w miejscu gdzie znajduje się ładunek
.

Jeżeli teraz do układu dwóch ładunków
i
dodajemy trzeci ładunek
, to do energii potencjalnej
musimy dodać energię oddziaływania ładunków
i

, (XVIII.40)

oraz energię oddziaływania ładunków
i

. (XVIII.41)

Wtedy całkowita energia potencjalna układu trzech ładunków wynosi

. (XVIII.42)

Tu
jest potencjałem pola elektrycznego w miejscu znajdowania się ładunku
wytwarzanego pozostałymi ładunkami.

W przypadku
ładunków uogólniając wzór (XVIII.42) otrzymujemy następujący wzór na energię potencjalną
oddziałujących ładunków

. (XVIII.43)

Rozważmy teraz odosobniony przewodnik, którego ładunek, pojemność oraz potencjał wynoszą:
,
,
. Zmniejszymy ładunek przewodnika o mały ładunek
. Przy oddaleniu tego ładunku od przewodnika na nieskończoność siły elektryczne będą wykonywały pracę
. A zatem przy całkowitym rozładowaniu przewodnika od
do zera, siły elektryczne wykonują pracę

. (XVIII.44)

Wzór (XVIII.44) określa energię potencjalną naładowanego przewodnika

. (XVIII.45)

W podobny sposób znajdujemy, że energia potencjalna kondensatora wynosi

. (XVIII.46)

Tu
- ładunek jednej z okładek kondensatora, a
- napięcie między okładkami kondensatora.

Biorąc pod uwagę, że w przypadku kondensatora płaskiego
i
, wzór (XVIII.46) możemy zapisać w postaci

, (XVIII.47)

gdzie
- objętość dielektryka znajdującego się między okładkami kondensatora.

Ze wzoru (XVIII.47) wynika, że na jednostkę objętości dielektryka przypada energia potencjalna

. (XVIII.48)

Wielkość
, określona wzorem (XVIII.48), nosi nazwę gęstości objętościowej energii pola elektrycznego.

W ogólnym przypadku dowolnej wzajemnej orientacji wektorów
i
(na przykład w dielektryku anizotropowym) można udowodnić, że zamiast wzoru (XVIII.48) otrzymujemy

. (XVIII.49)

Mimo że wzór (XVIII.48) wyprowadzono dla specjalnego przypadku kondensatora płaskiego, ten wzór a raczej wzór (XVIII.49) jest słuszny ogólnie: jeżeli w jakim - kolwiek punkcie przestrzeni istnieje pole elektryczne o natężeniu
, to możemy uważać, że w punkcie tym jest zmagazynowana energia w ilości
na jednostkę objętości.

Ponieważ, zgodnie z (XVIII.22)
, ze wzoru (XVIII.49) otrzymujemy

. (XVIII.50)

Pierwszy wyraz po prawej stronie równania (XVIII.50) określa prace którą musimy wykonać przy wytworzeniu w jednostce objętości pola elektrycznego o natężeniu
. Drugi wyraz w równaniu (XVIII.50) jest równy pracy, która wykonuje pole elektryczne przy polaryzacji jednostki objętości dielektryka.

Jeżeli pole elektryczne nie jest jednorodne, energię zmagazynowaną w objętości
określa następujące wyrażenie

. (XVIII.51)

40

---