Pochodna funkcji   Iloraz różnicowy funkcji.       Jeśli funkcja  jest funkcją określoną w pewnym otoczeniu  punktu , a  jest liczbą taką, że , to iloraz: nazywamy ilorazem różnicowym funkcji  w punkcie ,dla przyrostu  zmiennej niezależnej.         Liczbę  nazywamy przyrostem argumentu, a liczbę  nazywamy przyrostem wartości funkcji .   Interpretacja geometryczna ilorazu różnicowego.       Dla ustalonego  i ustalonego  punkty  oraz  należą do wykresu funkcji . Prosta przechodząca przez te punkty jest nazywana sieczną wykresu funkcji .   Iloraz różnicowy  jest równy tangensowi kąta , jaki sieczna  tworzy z osią OX: . Przykładowe interpretacje fizyczne ilorazu różnicowego. Średnia prędkość ciała, które w czasie  przebyło drogę , jest ilorazem różnicowym: gdzie  jest funkcją opisującą zależność drogi od czasu. Średnie natężenie prądu powstałego w wyniku przepływu ładunku  w czasie  jest ilorazem różnicowym: gdzie  jest funkcją opisującą zależność przepływającego ładunku od czasu.   Pochodna funkcji w punkcie.       Granicę właściwą (jeśli istnieje) ilorazu różnicowego     dla  dążącego do zera  nazywamy pochodną funkcji  w punkcie  i oznaczamy symbolem .      Jeśli funkcja  określona w pewnym otoczeniu punktu  ma pochodną w tym punkcie, to mówimy, że funkcja jest różniczkowalna w punkcie .   Przykład: Korzystając z definicji pochodnej funkcji w punkcie, oblicz pochodną funkcji  w punkcie .   Rozwiązanie: Zgodnie z definicją: czyli dla danej funkcji: Odp. Pochodna funkcji  w punkcie  jest równa .   Interpretacja geometryczna pochodnej funkcji w punkcie.       Gdy przyrost argumentu , to punkt zbliża się do punktu  (punkty są położone coraz bliżej siebie) i sieczne poprowadzone przez te punkty "dążą" do stycznej poprowadzonej w punkcie .       Pochodną funkcji w punkcie można więc interpretować jako tangens kąta, jaki tworzy z osią OX styczna do wykresu funkcji w punkcie o odciętej . Styczna do wykresu funkcji       Potocznie uważa się, że styczną do krzywej jest prosta mająca z tą krzywą dokładnie jeden punkt wspólny. Nie jest to określenie zawsze poprawne, ponieważ np. każda prosta równoległa do osi OX ma z hiperbolą o równaniu  dokładnie jeden punkt wspólny, ale styczną do hiperboli nie jest.   Styczną do wykresu funkcji różniczkowalnej w punkcie  można określić w następujący sposób:         Jeżeli funkcja  jest określona w pewnym otoczeniu punktu  i jest różniczkowalna w punkcie , to styczną do wykresu funkcji  w punkcie  nazywamy prostą o równaniu: Przykład zastosowania w fizyce pochodnej funkcji w punkcie.   Prędkość ciała w chwili  jest pochodną funkcji w punkcie , gdzie  jest funkcją opisującą zależność położenia ciała od czasu : Pochodne jednostronne funkcji w punkcie       Jeżeli iloraz różnicowy >  ma w punkcie  granicę jednostronną , to granicę tę nazywamy pochodną jednostronną funkcji  w punkcie  i oznaczamy symbolicznie:  - pochodna prawostronna,  - pochodna lewostronna, ,    Pochodna funkcji w punkcie  istnieje wtedy i tylko wtedy, gdy obie pochodne jednostronne istnieją i są równe :  =  .   Przykład: Wykaż, że nie istnieje pochodna funkcji  w punkcie .   Rozwiązanie: W celu wykazania, że nie istnieje pochodna danej funkcji w punkcie , należy obliczyć jej pochodne jednostronne w tym punkcie: , ponieważ dla : .  Analogicznie: , ponieważ dla :  .  Otrzymaliśmy: , więc funkcja  nie ma pochodnej w punkcie .   Pochodna jako funkcja.       Jeżeli funkcja  ma pochodną w każdym punkcie zbioru  (np. w każdym punkcie przedziału), to można określić nową funkcję przyporządkowującą każdemu punktowi zbioru  wartość pochodnej funkcji w tym punkcie. Funkcję tę nazywamy pochodną funkcji  i oznaczamy symbolem : . Uwaga: Pochodna funkcji w punkcie   -  jest liczbą,  natomiast pochodna funkcji  jest funkcją.   Funkcję nazywamy różniczkowalną w zbiorze, jeżeli jest różniczkowalna w każdym punkcie tego zbioru.   Przykład: Oblicz z definicji pochodną funkcji .   Rozwiązanie: Zgodnie z definicją: Dla danej funkcji: Przy przekształcaniu wyrażenia  skorzystaliśmy ze wzoru na różnicę sinusów. Wiadomo ponadto, że , więc: . Odp. Pochodna funkcji  jest równa :     .   Druga pochodna funkcji.       Jeżeli funkcja pochodna  jest różniczkowalna w zbiorze , to pochodną tej pochodnej  w zbiorze  nazywamy pochodną drugiego rzędu (drugą pochodną) funkcji  i oznaczamy symbolem . .  Analogicznie określa się pochodne wyższych rzędów: pochodna trzeciego rzędu to pochodna pochodnej drugiego rzędu, pochodna czwartego rzędu to pochodna pochodnej trzeciego rzędu,itd. Własności pochodnych Ciągłość funkcji różniczkowalnej Jeśli funkcja  jest różniczkowalna w punkcie , to jest w tym punkcie ciągła. Twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe tzn. funkcja ciągła w punkcie  nie musi być w tym punkcie różniczkowalna (np. funkcja  jest ciągła w punkcie , lecz nie ma pochodnej w tym punkcie). Wzory na pochodną sumy, różnicy, iloczynu i ilorazu funkcji: Jeśli funkcje  i  są różniczkowalne w przedziale , to funkcje , gdzie ,  oraz , jeśli , są różniczkowalne w przedziale  i zachodzą związki: Pochodna funkcji złożonej. Jeżeli  jest złożeniem funkcji  z funkcją  i funkcja  jest różniczkowalna w punkcie , natomiast funkcja > jest różniczkowalna w punkcie , to funkcja  jest różniczkowalna w punkcie  i zachodzi wzór: .

---