Definicja: Równaniem wykładniczym (nierównością wykładniczą) nazywamy takie równanie (nierówność), którego niewiadoma znajduje się wyłącznie w wykładniku potęgi.

Równaniem wykładniczym jest równanie mające ogólną postać:

,gdzie

Równania i nierówności wykładnicze rozwiązujemy stosując zwykle metodę sprowadzania do wspólnej podstawy lub metodę wprowadzania pomocniczej niewiadomej.

Własności: Rozwiązując równanie wykładnicze, bądź nierówność wykładniczą

korzystamy z własności wynikających z monotoniczności i

różnowartościowości funkcji wykładniczej.

1.) jeśli
, to

2.) jeśli
, to

3.) jeśli
, to

Rozwiązując zadania, w których występują równości i nierówności wykładnicze często korzystamy z działań na potęgach:

PRZYKŁADY ZADAŃ

Zadanie nr 1

Rozwiąż równanie:

Ponieważ w wykładnikach pojawiły się wyrażenia wymierne to należy określić dziedzinę.

Doprowadzamy do sytuacji, gdzie podstawy będą jednakowe.

Rozwiązujemy równanie.

Odp.:

Zadanie nr 2

Rozwiąż nierówność:

Wyrażenie wymierne w wykładniku - obliczamy dziedzinę.

Szukamy wspólnej podstawy.

Rozwiązujemy nierówność korzystając z twierdzenia o monotoniczności funkcji wykładniczej.

Iloraz dwóch wyrażeń ma być mniejszy od zera. Możemy więc zastąpić go iloczynem dwóch wyrażeń, mając na uwadze że istotne są tu znaki tych wyrażeń.

Szukamy przedziałów korzystając z pomocniczego wykresu.

Dla
wyrażenie
przyjmuje wartości ujemne.

Uwzględniamy wartość
dla której nie istnieje rozwiązanie.

Odp.:

Zadanie nr 3

Rozwiąż nierówność:

Szukamy wspólnej podstawy.

Ponieważ
(„jedynka trygonometryczna”), więc możemy zapisać:

Pozwoli to na przeprowadzenie redukcji wyrazów o wspólnych podstawach i wspólnych wykładnikach. Sprowadzamy więc wyrażenie do postaci najprostszej, z której można obliczyć
korzystając z własności o monotoniczności funkcji wykładniczej.

Rozwiązujemy nierówność korzystając z własności dotyczącej monotoniczności funkcji wykładniczej.

Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą.

Szkicujemy pomocniczy wykres, żeby określić przedziały, dla których
.

Korzystając z wykresu funkcji sinus odczytujemy rozwiązanie.

Niech
, wtedy dla
:

Odp.:

Zadanie nr 4

Rozwiąż równanie:

Przedstawione równanie możemy przekształcić do postaci:

Niewiadoma pod pierwiastkiem - określamy dziedzinę równania.

Ponieważ z definicji funkcji wykładniczej wiemy, że zwraca ona wyłącznie wartości większe od zera to wyrażenie
będzie zawsze dodatnie. Możemy więc zapisać, że

Po lewej stronie równania znajduje się szereg - analizujemy go.

Z analizy kolejnych elementów możemy wywnioskować, że jest to szereg geometryczny. Liczymy jego iloraz q.

Iloraz szeregu spełnia nierówność
,więc jest to szereg zbieżny do skończonej granicy i możemy w oparciu o wzór obliczyć jego sumę (S)

Rozwiązujemy równanie wykładnicze.

Wprowadzamy pomocniczą zmienną. Niech
, wtedy:

Odrzucamy pierwiastek równania
ponieważ
może przyjąć wyłącznie wartości większe od zera. Wynika to z definicji funkcji wykładniczej.

Korzystamy z własności wynikającej z różnowartościowości funkcji wykładniczej:

Odp.:

Zadanie nr 5

Długości boków trójkąta prostokątnego tworzą ciąg arytmetyczny. Oblicz pole tego trójkąta wiedząc, że jedna z przyprostokątnych ma długość równą pierwiastkowi równania

Załóżmy, że przedstawiona w treści zadania długość przyprostokątnej odnosi się do boku a naszego trójkąta.

,więc

Po prawej stronie równania występuje szereg geometryczny. Wypiszmy jego wyrazy:

Liczymy iloraz q szeregu.

Iloraz szeregu spełnia nierówność
,więc jest to szereg zbieżny do skończonej granicy i możemy obliczyć jego sumę (S)

Rozwiązujemy równanie.

Wprowadzamy pomocniczą niewiadomą, niech

,wtedy:

przy
,więc

Wiemy więc, że

Szukamy pola trójkąta. Wzór na pole naszego trójkąta to:

Istotne są tu długości przyprostokątnych. Jedną z tych długości znamy, ale nie wiemy czy jest to długość krótszej, czy dłuższej przyprostokątnej. Jest to ważne, ponieważ w treści zadania jest mowa o zależności pomiędzy długościami boków, takiej że ich długości tworzą ciąg arytmetyczny. Z twierdzenia Pitagorasa, wiemy że przeciwprostokątna jest zawsze najdłuższym bokiem. Możemy więc, w oparciu o te informacje stworzyć tabelę możliwych konfiguracji poszczególnych długości boków (długość przeciwprostokątnej zawsze zaczyna lub kończy ciąg).

Będziemy szukać długości drugiej przyprostokątnej (b), ponieważ jest potrzebna do obliczenia pola trójkąta. W tym celu posłużymy się wzorem wynikającym z twierdzenia Pitagorasa:
i wzorem na obliczenie n-tego wyrazu ciągu arytmetycznego na podstawie wyrazów sąsiednich:

Zauważmy, że zastosowanie powyższego wzoru pozwala nam skrócić liczbę możliwych konfiguracji długości boków przedstawionych w tabeli do 2ch.Wynika to z tego, iż suma skrajnych długości boków (wyrazów ciągu arytmetycznego) będzie zawsze taka sama, niezależnie od tego czy ciąg jest rosnący czy malejący.

Rozpatrujemy ułożenie „a,b,c”

Pierwiastek równania b=0 odrzucamy, ponieważ b określam nam długość boku figury geometrycznej.

Rozpatrujemy ułożenie „b,a,c”

Obliczamy pole.

Wiemy, że

Odp.: Pole trójkąta prostokątnego, którego długości boków są ciągiem

arytmetycznym, a jedna z przyprostokątnych ma długość równą pierwiastkowi równania
wynosi
lub
.

Paweł Wilk - Równania i nierówności wykładnicze.

Paweł Wilk kl.V. „k”

Równania i nierówności wykładnicze

Pamiętajmy, że

Wynika to ze zbioru wartości jakie może przyjmować funkcja sinus.

-1

1

0

Ciąg rosnący:

a,b,c gdy a<b<c

b,a,c gdy b<a<c

Ciąg malejący:

c,a,b gdy c>a>b

c,b,a gdy c>b>a

Korzystamy z własności dotyczącej różnowartościowości funkcji wykładniczej.

Wyrażenie pod pierwiastkiem zawiera niewiadomą, więc musimy określić dziedzinę równania. Ponieważ wartość niewiadomej x z założenia ma być większa od zera (określa długość boku figury geometrycznej), więc nierówność:

będzie zawsze spełniona przy
i nie ma potrzeby jego wyliczania. Wynika to z własności mówiącej o monotoniczności funkcji wykładniczej.

a

c

b

a,b,c - długości boków trójkąta