Zadanie 1) Zbadano długość sieci wodociągowej w Warszawie w latach 2000-2005:

Lata	Długość sieci (w km) (yi)	Okresy (ti)	(yi^)
2000 2001 2002 2003 2004 2005	1849 1890 2006 2014 2027 2067	1 2 3 4 5 6	1867,71 1910,83 1953,94 1997,06 2040,17 2083,28
Suma	11 853	21	X

a) przedstaw dane na wykresie

b) wyznacz tendencję rozwojową w postaci liniowej funkcji trendu

Najpierw nadajemy poszczególnym latom okresy t − od 1 do 6 (kolumna 3)

Potem rozwiązujemy układ równań lub podstawiamy do gotowych wzorów na parametry „a” i „b”

Otrzymujemy w ten sposób funkcję trendu:

y^ = 1824,6 + 43,114 t

Interpretacja parametrów:

b = 43,114 oznacza, że w latach 2000 - 2005 z roku na rok długość sieci wodociągowej w Warszawie rosła średnio o 43,114 km

a = 1824,6 oznacza, że teoretyczna długość sieci w roku poprzedzającym badanie czyli 1999 (bo dla t=0) wynosiła 1824,6 km

c) oceń dopasowanie tej funkcji

Do oceny dopasowania potrzebne są wartości teoretyczne (kolumna 4), które odczytujemy podstawiając odpowiednie okresy (t=1,2,3...) do funkcji trendu

• Współczynnik determinacji d = 88,52 %

• Współczynnik indeterminacji ϕ² = 11,48 %

Odp. Funkcja trendu y^ = 1824,6 + 43,114 t w 88,52 % wyjaśnia kształtowanie się długości sieci w latach 2000-2005, a w 11,48 % zmiany długości sieci w badanym okresie nie są przez nią wyjaśnione

• Odchylenie standardowe reszt (średni błąd szacunku) Sy = 32,48 km

Odp. Dane empiryczne różnią się od teoretycznych przeciętnie o +- 32,48 km. Rzeczywista długość sieci wodociągowej w poszczególnych latach różni sie od teoretycznej przeciętnie o +- 32,48 km

• Współczynnik zmienności resztowej Wy = 1,64 %

Odp. Odchylenie standardowe reszt stanowi zaledwie 1,64 % średniej długości sieci (Yśr) (nie przekracza 20 %) więc badana funkcja jest dopuszczalna

d) nanieś funkcję trendu na wykres

(należy ją również podpisać tzn. wzór na czarnej linii)

e) oszacuj długość sieci w 2007 roku

...czyli dla okresu t=8

Podstawiamy t=8 do funkcji trendu i otrzymujemy:

y^ (t=8) = 2169,51 km

y (t=8) = y^ +- Sy

y (t=8) = 2169,51 +- 32,48 km

Odp. W roku 2007 należy się spodziewać teoretycznie 2169,51 km, natomiast w rzeczywistości długość sieci różnić się będzie od tej liczby przeciętnie o +- 32,48 km (tyle co wynosi Sy)

Zadanie 2) Liczba zgonów niemowląt (w tysiącach) w latach 1996-2005 kształtowała się następująco:

Lata	Liczba zgonów (yi)	Okresy (ti)	(yi^)
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005	8,0 7,5 5,8 5,2 4,2 3,8 3,5 3,2 2,9 2,7	1 2 3 4 5 6 7 8 9 10	7,36 6,77 6,17 5,57 4,98 4,38 3,79 3,19 2,59 2,00
Suma	46,8	55	X

a) przedstaw dane na wykresie

b) wyznacz tendencję rozwojową w postaci liniowej funkcji trendu

Najpierw nadajemy poszczególnym latom okresy t − od 1 do 10 (kolumna 3)

Potem rozwiązujemy układ równań lub podstawiamy do gotowych wzorów na parametry „a” i „b”

Otrzymujemy w ten sposób funkcję trendu:

y^ = 7,96 - 0,60 t

Interpretacja parametrów:

b = - 0,60 oznacza, że w latach 1996 - 2005 z roku na rok liczba zgonów niemowląt malała średnio o 0,60 tysięcy (czyli o 600 niemowląt)

a = 7,96 oznacza, że teoretyczna liczba zgonów niemowląt w roku poprzedzającym badanie czyli 1995 (bo dla t=0) wynosiła 7,96 tysięcy

c) oceń dopasowanie tej funkcji

Do oceny dopasowania potrzebne są wartości teoretyczne (kolumna 4), które odczytujemy podstawiając odpowiednie okresy (t=1,2,3...) do funkcji trendu

• Współczynnik determinacji d = 91,19 %

• Współczynnik indeterminacji (fi)² = 8,81 %

Odp. Funkcja trendu y^ = 7,96 - 0,60 t w 91,19 % wyjaśnia kształtowanie się zgonów niemowląt w latach 1996-2005, a w 8,81 % zmiany te nie są przez nią wyjaśnione

• Odchylenie standardowe reszt (średni błąd szacunku) Sy = 0,60 tys.

Odp. Dane empiryczne różnią się od teoretycznych przeciętnie o +- 0,60 tys. zgonów. Rzeczywista liczba zgonów w poszczególnych latach różni sie od teoretycznej przeciętnie o +- 0,60 tys.

(Uwaga: to przypadek, że wyszło tyle samo co parametr b)

• Współczynnik zmienności resztowej Wy = 12,72 %

Odp. Odchylenie standardowe reszt stanowi 12,72 % średniej liczby zgonów (Yśr) (nie przekracza 20 %) więc badana funkcja jest dopuszczalna

d) nanieś funkcję trendu na wykres

(należy ją również podpisać tzn. wzór na czarnej linii)

e) oszacuj liczbę zgonów w 2007 roku

...czyli dla okresu t=12

Podstawiamy t=12 do funkcji trendu i otrzymujemy:

y^ (t=12) = 0,80 tys.

y (t=12) = y^ +- Sy

y (t=12) = 0,80 +- 0,60 tys.

Odp. W roku 2007 należy się spodziewać teoretycznie 0,80 tysięcy zgonów, natomiast w rzeczywistości liczba ta różnić się będzie od teoretycznej przeciętnie o +- 0,60 tys. zgonów (tyle co wynosi Sy)

---