1 PRAWA NEWTONA

Prawo pierwsze.

Każde ciało trwa w spoczynku lub ruchu jednostajnego prostoliniowego, dopóki siły nań działające tego stanu nie zmienią.

Prawo drugie.

Zmiana ilości ruchu (pędu) jest proporcjonalna względem siły działającej i ma kierunek prostej, wzdłuż której ta siła działa.

Jeśli m = const. to

Prawo trzecie

Każdemu działaniu towarzyszy równe i wprost przeciwne oddziaływanie, czyli wzajemne działanie dwóch ciał są zawsze równe i skierowane przeciwnie.

P₁ = - P₂

Prawo czwarte prawem superpozycji

Jeśli na punkt materialny o masie m działa jednocześnie kilka sił, to każda z nich działa niezależnie od pozostałych, a wszystkie razem działają tak, jak jedna tylko siła równa wektorowej sumie wektorów danych sił.

Prawo piąte

Każde dwa punkty materialne przyciągają się wzajemnie z siłą wprost proporcjonalną do iloczynu mas (m₁, m₂) i odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości r między nimi. Kierunek siły leży na prostej łączącej te punkty. Prawo to nazywamy prawem grawitacji

k stała grawitacji

2 Dynamiczne równanie różniczkowe punktu materialneg we współrzędnych prostokątnych

we współrzędnych naturalnych

na oś normalną

na oś styczną

na oś binormalną

3 Ruch punktu pod działaniem siły stałej co do wartości i kierunku

Z drugiego prawa Newtona

4 Ruch punktu pod działaniem siły zależnej od czasu

Równanie ma postać
,

całkując otrzymamy prędkość V w funkcji czasu

całkując otrzymamy wektor położenia punktu r (t)

,

5 Ruch punktu pod działaniem siły zależnej od prędkości

m=const.

6 Ruch punktu pod działaniem siły zależnej od połażenia

x₁ = f(t)

7 Dynamika ruchu względnego punktu materialnego

gdy nieruchome 0XYZ to

przyśpieszenie w ruchu względnym ma postać

równania ruchu względnego w układzie ruchomym 0xyz

siła bezwzględna
siła unoszenia

siła Coriolisa

otrzymamy

Dynamiczne równania ruchu punktu materialnego w ruchomym układzie odniesienia są takie, jak gdyby układ był inercjalny pod warunkiem, że do siły bezwzględnej P_b działającej na punkt dodamy siłę unoszenia P_u i siłę Coriolisa P_c.

8

Zasada pędu i momentu pędu (krętu)

Ilością ruchu lub pędu nazywamy wektor

Pochodna pędu względem czasu punktu materialnego równa się sumie sił działających na ten punkt

zasadę zachowania pędu

Jeżeli na punkt materialny działa samozrównoważony

układ sił, to pęd jest wektorem stałym

9 Moment pędu (kret)

Pochodna względem czasu krętu K₀ punktu materialnego względem nieruchomego bieguna 0 jest równa momentowi względem tegoż bieguna wypadkowej sił działających na dany punkt materialny.

Jeżeli moment względem dowolnego bieguna 0 wypadkowej sił działających na punkt materialny jest równy zero, to kręt punktu materialnego wyznaczony względem tegoż bieguna jest stały
to
stąd

11 Drgania swobodne nietłumione

Drganie ruch drgający punktu materialnego jest to ruch w dostatecznie małym otoczeniu położenia swojej równowagi stałej

położenia krańcowe punktu materialnego m

0 punkt położenia równowagi stałej

Drgania swobodne drgania zachodzące pod działaniem

sił sprężystych

Drgania swobodne nietłumione drgania swobodne bez

działania sił oporu (np. tarcia, oporu powietrza itd.)

Drga masa m zawieszona na sprężynie o sztywności k.

W położeniu równowagi na punkt materialny

działają siły:

Q siła ciężkości, S₀ = kλ_st reakcja sprężyny

wydłużenie sprężyny λ_st = S₀/k = Q/k =mg/k

Początek układu współrzędnychprzyjęto w położeniu równowagi

punktu materialnego.

A- amplituda drga

Okres drgań określamy a częstotliwość

12 Drgania swobodne tłumione

Przypadek gdy na punkt materialny m działają siły:

S = kx proporcjonalna do wychylenia

R = -cV_x opór którego wartość jest proporcjonalny do

pierwszej potęgi prędkości

Trzy możliwości

a. Przypadek tłumienia nadkrytycznego (n>ω₀)

Wyróżnik równania charakterystycznego jest większy od zera, pierwiastki równania charakterystycznego są rzeczywiste i oba ujemne. Jest to przypadek silnego tłumienia, ruch aperiodyczny.

b. Przypadek tłumienia krytycznego (n = ω₀)

Wyróżnik równania charakterystycznego jest równy zeru

c. Przypadek tłumienia podkrytycznego (n < ω₀)

Wyróżnik równania charakterystycznego jest mniejszy od zera, ma wtedy dwa pierwiastki zespolone. Ruch ma charakter o amplitudzie stale malejącej

13 Drgania wymuszone nietłumione

Jeśli poza siłą ciężkości i siłą sprężystą na punkt materialny działa okresowo zmienna w czasie siła wymuszająca, to powstające wtedy drgania nazywamy

wymuszonymi.

Na punkt materialny działa siła zewnętrzna

14 DYNAMIKA UKŁADU PUNKTÓW MATERIALNYCH

Układ punktów materialnych zbiór punktów materialnych, w którym położenie każdego punktu jest zależne od położenia innych punktów.

Układ punktów swobodnych układ punktów materialnych, których ruch nie jest ograniczony żadnymi więzami.

Układ punktów nieswobodnych układ punktów

materialnych, których ruch jest ograniczony nałożonymi na te punkty więzami.

W układzie punktów materialnych występują siły wewnętrzne i zewnętrzne.

S_ij = -S_{ji więc}

Podobnie suma momentów sił wewnętrznych względem dowolnego punktu wynosi zero, gdyż siły te parami się równoważą.

15 Zasady ruchu środka masy, pędu i krętu

Środkiem masy punktów materialnych nazywamy punkt C którego położenie w przestrzeni określa promień wektor r_C

gdzie

We współrzędnych kartezjańskich

Zasady ruchu środka masy, pędu i krętu

gdzie
jest sumą geometryczną wszystkich sił

zewnętrznych działających na układ

,
,

Zasada ruchu środka masy

Środek masy każdego układu punktów materialnych porusza

się tak, jakby była w nim skupiona cała masa układu i jakby do tego punktu przyłożone były wszystkie siły zewnętrzne.

Zasadę zachowania ruchu środka masy

Jeśli suma geometryczna sił zewnętrznych działających na dany układ punktów materialnych jest równa zeru, to środek masy pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym

Zasada zachowania pędu

Jeżeli P = 0 to
stąd

16 Pęd układu punktów materialnych

Pędem układu punktów materialnych nazywamy wektorową sumę pędów wszystkich punktów materialnych tego układu

Pochodna pędu układu punktów materialnych

względem czasu jest równa sumie geometrycznej wszystkich sił zewnętrznych działających na punkty tego układu.

Przyrost pędu układu punktów materialnych jest równy popędowi sumy geometrycznej sił zewnętrznych

Zasada zachowania pędu

Jeżeli P = 0 to
stąd

17 Moment pędu (kręt)

Kręt układu punktów materialnych względem dowolnego

punktu 0 (bieguna), jest to wektor równy sumie geometrycznej krętów wszystkich punktów materialnych układu względem bieguna.

Wartości rzutów wektora krętu K₀ na osie xyz są

Pochodna względem czasu krętu punktów materialnych względem dowolnego punktu 0 równa jest sumie geometrycznej momentów sił zewnętrznych, jeżeli punktem 0 jest punkt nieruchomy lub środek masy układu C.

18 Zasada d^'Alemberta

B_i - siła bezwładności d^'Alemberta

Zasada d^'Alemberta- suma sił zewnętrznych i wewnętrznych oraz sił bezwładności danego układu punktów materialnych, jak również suma momentów tych sił względem punktu stałego lub środka masy C równają się zeru.

19 Momenty bezwładności i dewiacji

Moment bezwładności I₀ względem punktu 0

Moment bezwładności względem osi l

Moment bezwładności względem płaszczyzny

Moment bezwładności względem punktu

Momenty dewiacji lub momenty zboczenia

;
;

20 Twierdzenie Steinera

Momenty bezwładności względem osi równoległych

Moment bezwładności względem osi z

twierdzenie Steinera

Twierdzenie Steinera odnosi się również do

momentów dewiacji

21 Praca sił

22 Praca sił przyłożonych do ciała sztywnego

Praca sił zewnętrznych w ruchu postępowym

Praca elementarna siły P_i

Praca sił zewnętrznych na przesunięciu skończonym A

Praca sił zewnętrznych w ruchu obrotowym

Praca sił wewnętrznych

23 Pojęcie mocy

Moc siły praca wykonana przez siłę w ciągu jednostki

czasu

Moc średnia w przedziale czasu Δt

Wartość mocy chwilowej siły

Moc siły jest to iloczyn skalarny wektora siły P i wektora prędkości V punktu jej przyłożenia.

W prostokątnym układzie

24 Energia kinetyczna

Energia kinetyczna układu punktów materialnych jest równa sumie energii kinetycznej wszystkich punktów materialnych

dżul (J) jednostka energii kinetycznej

Energia kinetyczna w ruchu postępowym

Wszystkie punkty mają tę samą prędkość V_i =V_i+1 = V

gdzie

Energia kinetyczna ciała sztywnego w ruchu obrotowym

V = ωr

Energia kinetyczna elementu ciała dm

Energia kinetyczna całego ciała

gdzie
moment bezwładności względem osi l

Energia kinetyczna w ruchu płaski

Ruch płaski uzyskany, traktując ten ruch jako złożony z ruchu postępowego unoszenia z prędkością środka masy

V_u= V_C i ruchu obrotowego względnego dookoła prostej

przechodzącej przez środek masy C, prostopadłej do płaszczyzny kierującej.

V_w = w, V_C = V_u = u, V = w +V_C

ponieważ

położenie środka masy względem środka masy

równa się zero.

Podstawiając (b) i (c) do (a) otrzymujemy

gdzie

(61) jest nazywane Twierdzeniem Koeniga

Dynamika ruchu obrotowego ciała sztywnego

Zasada pędu i krętu w ruchu obrotowym

α, β, γ kąty między osią obrotu a osiami x,y,z

Składowe prędkości i przyśpieszenia kątowego są

,
,

,
,

Pęd ogólny H i jego pochodna względem czasu

W ogólnym przypadku składowe V_C i a_C

wyznaczamy ze wzorów

W przypadku gdy oś 0z pokrywa się z osią obrotu l wtedy

ω_x = 0, ω_y = 0, ω_z =ω

ε_x = 0, ε_y = 0, ε_z = ε

oraz

V_x = - ωx_C, V_y = ωx_C, V_z = 0

a_tx = - εy_C, a_ty = εx_C, a_tz = 0

a_nx = - ω²x_C, a_ny = - ω²y_C, a_nz = 0

Przy tym założeniu składowe pędu ogólnego H wynoszą

H_x = mV_Cx = - mωy_C

H_y = mV_Cy = mωx_C H_z = mV_Cz = 0

Natomiast składowe pochodnej względem czasu

pędu ogólnego H są równe

gdzie: P_x, P_y, P_z składowe sumy geometrycznej

wszystkich sił zewnętrznych działających na ciało

Równania opisują zasadę pędu w ruchu obrotowym

Ogólny moment pędu (kręt) względem punktu 0 leżącego na osi obrotu l wynosi

gdzie

Z wzoru wynika

Podstawiając i wykonując całkowanie mamy

Gdy osią obrotu jest oś 0z, wówczas wzory (64)

mają postać

K_x = - I_xzω, K_y = -I_yzω, K_z = I_zω

Aby otrzymać równania dynamiczne dla ciała sztywnego

o nieruchomym jednym punkcie, oprzemy się na twierdzeniu dotyczącym krętu względem nieruchomego bieguna. Obierając jako biegun środek ruchu kulistego mamy
gdzie
suma momentów sił zewnętrznych (J. Misiak Mechanika Techniczna tom 2

strona 218).

Reakcje dynamiczne łożysk osi obrotu

Punkt materialny o masie m obraca się wokół osi AB z prędkością kątową ω = const.

Suma rzutów sił na osie

Suma momentów względem osi x i y

po rozwiązaniu tych równań otrzymujemy

Uwagi dotyczące wyważenia kół

Suma rzutów sił na oś pionową

R_A - R_B - ω²hm + ω²hm = 0 stąd R_A = R_B

suma momentów względem punktu 0

óó dla a = b R_A = R_B= 0