1. PRZESTRZEŃ WEKTOROWA

Definicja

Niepusty zbiór V nazywamy rzeczywistą przestrzenią wektorową (lub przestrzenią liniową), jeśli:

1. dla każdych u, w  V określona jest ich suma u + w  V;

2. dla każdej liczby rzeczywistej  i u  V określony jest iloczyn   u  V oraz powyższe działania spełniają następujące warunki dla dowolnych u, v, w  V:

1. przemienność dodawania: u + w = w + u;

2. łączność dodawania: (u +v) + w = u +( v + w );

3. istnienie elementu neutralnego, tj. takiego 0  V, że u + 0 = 0 +u = u;

4. istnienie elementu - u przeciwnego do elementu u  V, tj. takiego, że u + ( -u ) = 0;

5. (  +  ) u =  u +  u oraz  (u +v) =  u +  v dla dowolnych  ,   R;

6.  (  u ) = (  ) u i 1  u = u.

Elementy przestrzeni V nazywamy wektorami i oznaczamy je podkreślonymi literami.

Element neutralny 0 nazywamy wektorem zerowym przestrzeni V.

Zastępując w definicji rzeczywistej przestrzeni wektorowej liczby rzeczywiste α i β przez liczby zespolone otrzymamy definicję zespolonej przestrzeni wektorowej.

Podstawowym przykładem przestrzeni liniowej jest rzeczywista przestrzeń n-wymiarowa Rⁿ :

Działania w Rⁿ są określone następująco:

gdzie x = ( x₁, x₂, ....., x_n ), y= ( y₁, y₂, ....., y_n ),   R.

Dla podkreślenia, że w przestrzeni Rⁿ punkt ( x₁, x₂, ....., x_n ) utożsamiamy z wektorem łączącym punkt 0 z tym punktem, odpowiedni element przestrzeni wektorowej Rⁿ będziemy oznaczać jako

[ x₁, x₂, ....., x_n ].

W szczególności przestrzeń R³ możemy utożsamiać ze zbiorem trójek liczb rzeczywistych, które odpowiadają współrzędnym punktów w pewnym wybranym układzie współrzędnych.

Wektory przestrzeni wektorowej R³ zadane za pomocą trójek liczb rzeczywistych [ x₁, x₂, x₃ ] możemy również utożsamiać ze skierowanym odcinkiem o początku w punkcie ( 0, 0, 0 ) i końcu w punkcie

( x₁, x₂, x₃ ).

Podobnego utożsamienia możemy dokonać w dowolnej przestrzeni Rⁿ. Wtedy definicje dodawania wektorów i ich mnożenia przez liczbę pokrywają się z definicjami, które poznaliśmy w szkole średniej.

Wektor:

Inne przykłady przestrzeni liniowych:

1. Przestrzeń M_mxn macierzy o m wierszach i n kolumnach. Operacje dodawania i mnożenia w tej przestrzeni pokrywają się z poznanymi przez nas poprzednio operacjami na macierzach:

[ A + B ]_ij = a_ij + b_ij , dla 1  i  m, 1  j  n,

[  A ]_ij =  a_ij, gdzie A = [ a_ij ], B = [ b_ij ]  M_mxn

2. Przestrzeń funkcji T( I ) określonych na przedziale I  R. Działania w przestrzeni T( I ) wprowadzamy w sposób naturalny:

( f + g )( x ) = f( x ) + g( x ) , dla x  I, oraz dla f, g  T( I);

(  f ) ( x ) =  f( x ), dla x  I.

Przestrzeń P_n( R ) wielomianów o współczynnikach rzeczywistych stopnia nie większego od n z naturalnymi działaniami dodawania i mnożenia przez liczbę.

Dla operacji wprowadzonych w przestrzeni liniowej łatwo uzasadnić następujące własności:

Stwierdzenie:

1. 0  v = 0 dla każdego v  V;

2.   0 = 0 dla każdego   R;

3.  u =  v  u = v, gdy   0;

4.  v =  v   =  , gdy v  0;

5. (  -  ) v =  v -  v,

6. ( -  ) v =  ( - v ).

Pytanie kontrolne 1: Uzasadnij, że zbiór W jest przestrzenią liniową.

Zobacz odpowiedź

2. KOMBINACJA LINIOWA WEKTORÓW

Definicja

Kombinacją liniową wektorów a_i, i = 1, 2, ...,n nazywamy wektor v postaci:

gdzie  _i, i =1, 2, ... , n są liczbami rzeczywistymi.

Przykład

Kombinacje liniowe wektorów:  a, a + b,  a + b.

Przykład (przestrzeń R³)

[4, 5, -8] = [0, 1, 0] + 2[2, 2, -4]

4[1, 2, 3] + 5[-3, 4, 2] - 4[1, 0, 1] =[-15, 28, 18]

Definicja

Zbiór wszystkich kombinacji liniowych ustalonych wektorów a₁, a₂, ....., a_n dla dowolnych liczb rzeczywistych  ₁,  ₂,.....,  _n nazywamy przestrzenią rozpiętą na wektorach a₁, a₂, ....., a_n .

Przykład - Przestrzeń R³

Podprzestrzeń rozpięta na wektorach [ 4, 3, 1 ] i [1, 2, 0 ] ma postać zbioru wektorów:

 ₁ [4, 3, 1] +  ₂ [ 1, 2, 0] = [ 4 ₁ +  ₂, 3 ₁ + 2 ₂,  ₁ ]

i wyznacza płaszczyznę w przestrzeni przechodzącą przez punkt [ 0, 0, 0 ], w której wektory [4, 3,1] i [1, 2, 0] są zawarte.

Pytanie kontrolne 2: Napisać kombinacje liniowe podanych wektorów ze wskazanymi współczynnikami:

Zobacz odpowiedź

Podprzestrzeń liniowa rozpięta na zbiorze wektorów jest przykładem podprzestrzeni liniowej.

Pytanie kontrolne 3: Znajdź dowolny wektor, który jest kombinacją liniową wektorów a = [1, 0, -2] i b = [-2, 3, 3].

Zobacz odpowiedź

3. PODPRZESTRZEŃ LINIOWA

Definicja

Niepusty podzbiór W  V jest podprzestrzenią liniową, jeśli:

1. v, w  W  v + w  W,

2. w  W   w  W dla   R.

Warunki w definicji podprzestrzeni liniowej można zastąpić jednym równoważnym warunkiem:

Zbiór składający się jedynie z wektora zerowego 0 i cała przestrzeń V są oczywiście podprzestrzeniami przestrzeni V. Są to tak zwane podprzestrzenie niewłaściwe. Pozostałe podprzestrzenie nazywamy podprzestrzeniami właściwymi.

Przykład

Zbiór wektorów o współrzędnych {[x₁, x₂, x₃]: x₁ + x₂ + x₃ =0} jest podprzestrzenią właściwą przestrzeni R³.

Podobnie, zbiór wektorów {x  R⁷: 3x₁ + 7x₇ = 0} jest podprzestrzenią właściwą przestrzeni R⁷, a nie jest podprzestrzenią liniową zbiór {x  R⁷: 3x₁ + 7x₇ = 1}.

Zbiór W  V jest podprzestrzenią liniową V, gdy tworzy przestrzeń liniową z działaniami określonymi w przestrzeni V.

Stwierdzenie (o sumie i iloczynie przestrzeni liniowych)

Niech U i W będą podprzestrzeniami liniowymi przestrzeni V. Wówczas:

1. U  W jest podprzestrzenią liniową V;

2. U  W jest podprzestrzenią liniową V, wtedy i tylko wtedy gdy U  W lub W U.

Przykład

Rozpatrzmy dwie podprzestrzenie liniowe:

U = {[x₁, x₂, x₃]: x₁ + 2x₂ - 3x₃ =0},

W = {[x₁, x₂, x₃]: x₁ - 2x₂ =0}.

Suma podprzestrzeni U  W nie jest podprzestrzenią liniową. Weźmy na przykład wektor [1,1,1] U i wektor [2, 1, 0]  W, ich sumą jest wektor [3, 2, 1] , który nie należy do przestrzeni U  W.

Definicja

Wektory a₁, a₂, ....., a_k są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy dla każdego układu c₁, c₂, ..., c_k liczb rzeczywistych, jeżeli:

c₁ a₁ + c₂ a₂ + ....c_n a_n = 0

to c₁ = c₂ = ...= c_k = 0.

Jeżeli wektory a₁, a₂, ....., a_k nie są liniowo niezależne, to mówimy, że są one liniowo zależne.

Przykład

Jeżeli wektory a₁, a₂ są liniowo zależne, to istnieją liczby c₁, c₂; gdzie c₁  0 lub c₂  0, takie, że:

c₁ a₁ + c₂ a₂ = 0.

Jeśli np. c₁  0, to wtedy:

Jeżeli wektory a₁, a₂, a₃ są liniowo zależne, to istnieją c₁, c₂, c₃, takie, że c₁  0 lub c₂  0 lub c₃  0 oraz c₁ a₁ + c₂ a₂ + c₃ a₃ = 0.

Jeżeli np. c₁  0 to:

a zatem wektor a₁ jest liniową kombinacją pozostałych.

Stwierdzenie

Dwa wektory w przestrzeni R² są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy nie są współliniowe. Trzy wektory w przestrzeni R³ są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy nie są współpłaszczyznowe.

Twierdzenie

Układ wektorów a₁, a₂, ....., a_n jest liniowo zależny wtedy i tylko wtedy, gdy pewien spośród wektorów a₁, a₂, ....., a_n jest liniową kombinacją pozostałych.

Przykład - Przestrzeń R³

Wektory [1, 2, 3], [-3, 4, 2], [1, 0, 1] , [-15, 28, 18] są liniowo zależne, ponieważ:

4[1, 2, 3] + 5[-3, 4, 2] - 4[1, 0, 1] = [-15, 28, 18].

Przykład - Przestrzeń T(I)

Funkcje f(x) = x², g(x) = sinx są liniowo niezależne w przestrzeni T[0,2], natomiast funkcje f(x) = sin²x , g(x) = cos²x, h(x)  1 nie są liniowo niezależne, gdyż f(x) + g(x) - h(x)  0 dla x  [0,2].

Z definicji liniowej niezależności wynikają następujące fakty:

1. Wektor v jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy gdy v  0;

2. Podzbiór zbioru liniowo niezależnych wektorów jest liniowo niezależny;

3. Jeśli wektory { x₁, x₂, ....., x_k } są liniowo zależne to zbiór wektorów { x₁, x₂, ....., x_k, y } jest również liniowo zależny dla dowolnego y  V;

4. Zbiór { 0, x₁, x₂, ....., x_k } jest zawsze liniowo zależny dla dowolnych wektorów x₁, x₂, ....., x_k  V.

5. Jeśli wektory { x₁, x₂, ....., x_k } są liniowo niezależne, a wektory { x₁, x₂, ....., x_k, y } są liniowo zależne, to wektor y jest liniową kombinacją wektorów x₁, x₂, ....., x_k, co zapisujemy jako:

gdzie:  ₁, .....,  _{n } R.

Pytanie kontrolne 4: Uzasadnij liniową zależność wektorów [1, 2], [2, 3], [3, 4] w przestrzeni R² przedstawiając jeden z tych wektorów jako liniową kombinację pozostałych.

Zobacz odpowiedź

4. WŁASNOŚCI LINIOWEJ NIEZALEŻNOŚCI WEKTORÓW

Przypomnijmy, że wektory a₁, a₂, ....., a_k  Rⁿ są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy macierz A o kolumnach a₁, a₂, ....., a_k wymiaru n x k ma rząd k. Sprawdźmy, czy ta definicja jest zgodna z ogólną definicją liniowej niezależności wprowadzoną obecnie.

Zauważmy, że z tw. Kronekera-Capelli wynika, że równanie:

A  c = 0

ma jedynie rozwiązanie c = [ 0, 0, ..., 0].

Ostatnie stwierdzenie jest niczym innym tylko definicją liniowej niezależności!

Wykorzystując tw. Kronekera-Capelli możemy stwierdzić, że maksymalna liczba liniowo niezależnych wektorów w przestrzeni Rⁿ wynosi n.

Twierdzenie

Żaden układ a₁, a₂, ....., a_n+1 wektorów z Rⁿ nie jest liniowo niezależny.

Dowód

Macierz [a₁, a₂, ....., a_n+1] ma wymiar nx(n+1), a zatem nie może mieć rzędu równego n+1.

Twierdzenie

Układ wektorów a₁, a₂, ....., a_n z Rⁿ jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy gdy:

det A(a₁, a₂, ....., a_n )  0,

gdzie A(a₁, a₂, ....., a_n) jest macierzą, której kolumnami są wektory a₁, a₂, ....., a_n.

Przykład

Sprawdzić, czy wektory: [1, 2, 3], [2, 3, 4], [3, 4, 5] są liniowo niezależne.

Tworzymy macierz A, której kolumnami są dane wektory i obliczamy jej wyznacznik.

Det A = 0  wektory są liniowo zależne.

Przykład

Wektory postaci:

e_i = [ 0, ..., 1..., 0 ],

gdzie i- ta współrzędna jest równa 1, a pozostałe współrzędne są zerowe, są liniowo niezależne.

Oczywiście, w tym przypadku macierz A jest macierzą jednostkową, A=I a zatem det A = det I =1  0. Wektory te nazywa się wersorami kartezjańskiego układu współrzędnych. W przestrzeni R³ zamiast oznaczeń e₁, e₂, e₃ używa się często tradycyjnych oznaczeń i, j, k.

Przykład

Rozkład wektora a na współrzędne kartezjańskie.

Jeżeli wektor a ma współrzędne [ a_x, a_y, a_z ] to rzutami wektora a na osie kartezjańskiego układu współrzędnych są wektory:

Wektor a możemy zapisać w postaci:

1. BAZA PRZESTRZENI LINIOWEJ

Przypomnijmy, że wektory v_n . . . ,v_k należące do przestrzeni liniowej V są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego układu c₁, c₂, ..., c_k liczb rzeczywistych, jeżeli:

c₁v₁ + c₂v₂ +.....+ c_kv_k=0

to:

c_{1 =} c₂ = ...= c_k = 0.

Jeżeli wektory v₁, v₂,....., v_k nie są liniowo niezależne, to mówimy, że są one liniowo zależne.

Nieskończony ciąg wektorów jest liniowo niezależny, gdy każdy jego skończony podzbiór jest liniowo niezależny.

Przykład

Jeżeli wektory v₁, v₂ są liniowo zależne, to istnieją liczby c₁, c₂; gdzie c₁  0 lub c₂  0, takie, że:

c₁ v₁ + c₂ v₂ =0.

Jeśli np. c₁  0 to wtedy:

Przypomnijmy również, że przestrzenią generowaną przez zbiór wektorów :

B={v₁, .....,v_k }

nazywamy zbiór wektorów w postaci:

w = c₁ v₁+c₂ v₂ . . . +c_k v_k, gdzie c₁, . . . ,c_k  R.

Przestrzeń tę oznaczać będziemy przez lin {v₁, . . ., v_k} lub lin B.

Wprowadzimy teraz definicję bazy.

Definicja

Bazą przestrzeni liniowej V nazywamy zbiór B wektorów tej przestrzeni, taki że :

1. B generuje całą przestrzeń V tj. lin B = V;

2. B składa się z wektorów liniowo niezależnych.

Przykład

Sprawdzić, że układ wektorów: v₁ =  1,2 i v₂ =  3,1, jest bazą w przestrzeni R².

Warunek (i) jest spełniony, gdyż dla dowolnego w=[w₁,w₂] istnieje rozwiązania równania:

c₁ v₁ + c₂ v₂ = w,

mającego postać równoważną:

Wynika to oczywiście z faktu, że wyznacznik macierzy współczynników równania jest różny od 0.

Podobnie, aby sprawdzić warunek (ii) wystarczy rozpatrzyć wektor w = 0.

Wówczas jedynym rozwiązaniem układu równań jest [c₁,c₂ =  0,0 , a zatem układ v₁, v₂ jest układem wektorów liniowo niezależnych. Spełnione są zatem warunki (i) i (ii), a zatem rozpatrywany układ jest bazą.

Pytanie kontrolne 1: Sprawdź, czy dany układ wektorów jest bazą w przestrzeni R³:

[1, 0, 1], [1, 2, 2], [2, 2, 3].

Zobacz odpowiedź

Z przykładu wynika następujące ważne stwierdzenie:

Stwierdzenie

Niech A(a₁, a₂, ....., a_n ) oznacza macierz n x n taką, że i-tą kolumną tej macierzy jest wektor a_i.

Jeśli det A(a₁, a₂, ....., a_n )  0, to układ { a₁, a₂, ....., a_n } jest bazą przestrzeni Rⁿ.

Udowodnimy teraz twierdzenie o jednoznaczności przedstawienia wektora w w bazie.

2. WSPÓŁRZĘDNE WEKTORA W BAZIE

Twierdzenie

Niech wektory a₁, a₂, ....., a_n będą bazą przestrzeni liniowej V. Każdy wektor b z tej przestrzeni jest jednoznaczną kombinacją liniową wektorów a₁, a₂, ....., a_n , tzn. w reprezentacji:

b = c₁ a₁ + .....+ c_n a_n,

współczynniki c₁, c₂, ....., c_n są wyznaczone jednoznacznie i nazywają się współrzędnymi wektora b w tej bazie.

Dowód

Z definicji bazy wynika, że wektor b jest pewną kombinacją liniowa wektorów a₁, a₂, ....., a_n . Załóżmy, że wektor b posiada dwie różne reprezentacje w tej samej bazie, tzn.:

b = c₁ a₁ + .....+ c_n a_n = d₁ a₁ + .....+ d_n a_n,

gdzie (c₁, c₂, ....., c_n) ≠ (d₁, d₂, ....., d_n).

Wówczas:

0 = (c₁ - d₁ ) a₁ + (c₂ - d₂) a₂ + .....+ (c_n - d_n ) a_n

i nie wszystkie współczynniki są zerowe, co przeczy liniowej niezależności wektorów a₁, a₂, ....., a_n .

Zauważmy, że dla przestrzeni Rⁿ możemy podać inny dowód tego twierdzenia. Z twierdzenia Cramera wynika bowiem, że układ równań:

b = c₁ a₁ + .....+ c_n a_n,

ma dokładnie jedno rozwiązanie.

Przykład - przestrzeń R³

Znajdź współrzędne wektora [-15, 28, 18] w bazie złożonej z wektorów: [1, 2, 3], [-3, 4, 2], [1, 0, 1].

Wektor [-15, 28, 18] zapisujemy jako:

[-15, 28, 18] = 4[1, 2, 3] + 5 [-3, 4, 2] - 4[1, 0, 1].

A zatem współrzędnymi wektora [-15, 28, 18] w tej bazie są liczby [4, 5, - 4].

Bazę w przestrzeni Rⁿ tworzy układ n wektorów liniowo niezależnych.

Baza kanoniczna w przestrzeni Rⁿ są to wektory e₁, e₂, ..., e_n postaci:

e₁ = [1, 0,...,0] , e₂ =[ 0, 1, 0,...,0], ..., e_n =[ 0,...,0,1].

Rys. 10_1 Interpretacja geometryczna bazy kanonicznej w Rⁿ.

Pytanie kontrolne 2: Sprawdź, czy wektory [1, 0, 1] i [2, 3, 4] są bazą w przestrzeni R³.

Zobacz odpowiedź

Każdy wektor x = [ x₁, x₂, ..., x_n ]  Rⁿ jest reprezentowany w bazie kanonicznej jako:

x = x₁ e₁ + x₂ e₂ +...+ x_n e_n.

Zatem i - tą współrzędną wektora x = [ x₁, x₂, ..., x_n ] w bazie kanonicznej jest x_i.

Przykład

Znaleźć współrzędne wektora: d = [-1, -2, 3] w bazie złożonej z wektorów:

a = [1, 1, 0], b = [1, 0, 1], c = [0, 1, 1] w R³.

Oznaczamy szukane współrzędne przez x, y, z; muszą one spełniać równanie:

x[1, 1, 0] + y[1, 0, 1] + z[0, 1, 1] = [-1, -2, 3],

a zatem:

x + y = -1

x + z = -2

y + z = 3

stąd: x = - 3, y = 2, z = 1.

Przykład - przestrzeń R³

Wektor a ma współrzędne [2, 1, -3] w bazie złożonej z wektorów [2, 3, 0], [4, 2, 3], [1, 1, 1].

Obliczyć współrzędne wektora a w bazie: [4, 0, 1], [0, 2, 3], [2, 1, 0].

Oznaczamy szukane współrzędne przez x, y, z. Wiemy, że:

a = 2[2, 3, 0] + [4, 2, 3] -3 [1, 1, 1] = x [4, 0, 1] + y[0, 2, 3] + z[2, 1, 0].

Otrzymujemy układ trzech równań z trzema niewiadomymi:

4x + 2z = 5

2y + z = 5

x + 3y = 0.

Postać macierzowa układu:

Jest to układ Cramera, gdyż wyznacznik macierzy głównej układu jest różny od zera, a zatem z twierdzenia Cramera rozwiązanie jest postaci

,
,

Podsumowanie

Jeżeli współrzędne wektora a  R³ w kolejnych bazach wynoszą odpowiednio:

[x₁, x₂, x₃] w bazie a₁, a₂, a₃,

[y₁, y₂, y₃] w bazie b₁, b₂, b₃,

[z₁, z₂, z₃] w bazie c₁, c₂, c₃ itd.,

to:

x_1 a₁+ x_2 a₂ + x_3 a₃ = y_1 b₁ + y_2 b₂ + y_3 b₃ = z_1 c₁ + z_2 c₂ + z_3 c₃.

Pytanie kontrolne 3: Znaleźć z definicji współrzędne podanego wektora we wskazanej bazie odpowiedniej przestrzeni liniowej: v = [ -2, 5, 6]  R³, B = {[1, 1, 0], [2, 1, 0], [3, 3, 1]}.

Zobacz odpowiedź

Przytoczymy jeszcze twierdzenie o równoliczności baz.

Twierdzenie

Jeśli jakakolwiek baza przestrzeni liniowej V składa się z n wektorów to każda inna baza v składa się również z n wektorów.

Twierdzenie to pozwala zdefiniować wymiar przestrzeni liniowej.

3. WYMIAR PRZESTRZENI LINIOWEJ

Definicja

Niech zbiór wektorów {v₁, . . .,v_n} będzie bazą przestrzeni V. Wówczas mówimy, że wymiar przestrzeni V wynosi n i piszemy dimV=n.

Przykład

Wymiar przestrzeni Rⁿ wynosi n.

Podprzestrzeń liniowa R² składająca się z wektorów [x,y] dla których y= -x ma wymiar 1.

Wymiar przestrzeni macierzy M_3x4 wynosi 12.

Uwaga

Istnieją przestrzenie liniowe nieskończenie wymiarowe. Na przykład w przestrzeni B(I) funkcji f_i(x)=xⁱ są liniowo niezależne dla i=0,1,2,... , zatem przestrzeń ta nie jest skończenie wymiarowa. Przyjmujemy wtedy, że dimV = .

Dysponując współrzędnymi układu wektorów v₁, . . .,v_k w dowolnej bazie B= {b₁, . . .,b_n} możemy łatwo sprawdzić ich liniową niezależność.

Stwierdzenie

Niech a_i = (a_i1, . . .,a_in) dla 1
i
k będą współrzędnymi wektora a_i w bazie B. Wówczas a₁, . . .,a _k są liniowo niezależne wtedy i tylko wtedy gdy rząd A = [ a_ij ] = k.

Przykład

Współrzędne wektorów v₁,v₂ ,v₃ w bazie b₁ = 1,0,0, b₂ = 1,1,0, b₃ = 1,1,1 wynoszą odpowiednio [2, 5, -1], [-1, 2, 3], [-5,-1, 2]. Sprawdzić, czy wektory v₁,v₂ ,v₃ są liniowo niezależne. Macierz współrzędnych wektorów ma postać:

Korzystając z reguły Gaussa stwierdzamy, że: det A = - 62  0, zatem rząd A=3 i wektory v₁,v₂ ,v₃ są liniowo niezależne.

Pytanie kontrolne 4: Sprawdź czy wektory [2, 1, 0], [3, 0, 5], [0, -7, 1] tworzą bazę w przestrzeni R³.

Zobacz odpowiedź

Przestrzeń rozwiązań układu równań jednorodnych

Niech A=[a_ij] będzie macierzą mxn rzędu k i rozpatrzmy układ jednorodny równań liniowych:

Niech S Rⁿ będzie zbiorem wszystkich wektorów [x_n,...,x_n] będących rozwiązaniem układu jednorodnego.

Stwierdzenie

S jest podprzestrzenią liniową wymiaru n-k.

Podobnie, dla układu niejednorodnego:

Niech T będzie zbiorem rozwiązań tego układu i niech w=[w₁,...,w_n] będzie dowolnym wektorem z T.

Stwierdzenie

Dla każdego y  T zachodzi:

y= w + x,

gdzie x jest pewnym rozwiązaniem układu jednorodnego. Ponadto dla dowolnego rozwiązania układu jednorodnego x wektor w + x jest rozwiązaniem układu niejednorodnego.

Ze stwierdzenia wynika zatem, że wszystkie rozwiązania układu niejednorodnego otrzymujemy dodając do szczególnego rozwiązania tego układu wszystkie rozwiązania tego układu jednorodnego.

W szczególności, dla układu trzech równań zbiór rozwiązań może być zbiorem pustym, punktem, prostą lub płaszczyzną.

Przykład

Rozpatrzmy układ równań:

2x + 3 y + 2z = 7

x + y + 2z = 4.

Stosując metodę eliminacji Gaussa stwierdzamy, że zbiorem rozwiązań układu jednorodnego są wektory postaci:

[- 4z, 2z, z] dla z  R.

Łatwo sprawdzić, że wektor [1,1,1] jest rozwiązaniem układu niejednorodnego. Zatem ogólne rozwiązanie układu niejednorodnego ma postać:

[-4z + 1, 2z + 1, z + 1] dla z  Rⁿ.

4. ILOCZYN SKALARNY

Definicja

Iloczyn skalarny jest to funkcja określona na parze wektorów o wartościach ze zbioru liczb rzeczywistych.

< ,  > : Rⁿ x Rⁿ → R

Dla dwóch wektorów: a =[ a₁, a₂, ....., a_n ] i b = [ b₁, b₂, ....., b_n ] definiujemy iloczyn skalarny jako:

Twierdzenie

Własności iloczynu skalarnego:

1. < a, a > = 0  a = 0,

2. < a, b > = < b, a > (przemienność),

3. < a, b + c > = < a, b > + < a, c > (rozdzielność względem dodawania),

4. <a, a > ≥ 0,

5. < a, b > =  < a, b >.

Dowód

1. 
   

2. 
   

3. 
   

4. 
   

5. 
   = 
   

Przykład

Obliczyć iloczyn skalarny wektorów: a =[1, 2, 3], b = [0, -1, 5].

< a, b > =
= 13

Pytanie kontrolne 5: Oblicz iloczyn skalarny wektorów [2, 0, 3] i [0, 1, 6].

Zobacz odpowiedź

Definicja

Długością wektora a nazywamy liczbę rzeczywistą:

Przykład

Obliczyć długość wektora a = [2, 6, 0, 3].

Twierdzenie (nierówność Schwarza)

Dla dowolnych dwóch wektorów a i b zachodzi:

< a ,b >  a  b .

Dowód

Rozważmy funkcję kwadratową:

Mamy:

Ponieważ dla każdej wartości t zachodzi:

więc wyróżnik   0, a zatem:

.

Otrzymujemy stąd:

zatem:

< a ,b >  a  b .

Twierdzenie (nierówność trójkąta)

Dla dowolnych dwóch wektorów a i b zachodzi:

| a + b | < | a | + | b |.

Definicja

Odległością wektorów a i b nazywamy długość wektora a - b.

Pytanie kontrolne 6: Oblicz długość wektora a = [-2, 1, 0].

5. MIARA KĄTA MIĘDZY WEKTORAMI

Niech a, b będą niezerowymi wektorami przestrzeni Rⁿ.

Definicja

Miarą kąta między wektorami a i b nazywamy liczbę φ  [0,] spełniającą równość:

Definicja ta jest poprawna, gdyż na mocy twierdzenia Schwarza prawa strona jest liczbą z przedziału

[-1, 1]. Liczba φ będzie oznaczana jako <(a, b).

Rys. 10_3 Ilustracja definicji kąta między wektorami.

Twierdzenie cosinusów

Dla niezerowych wektorów a, b  Rⁿ zachodzi:

a - b ² = a ² + b ² - 2a  b cos <(a, b).

Dowód

Z rozpisania lewej strony otrzymujemy

Każdy z wektorów a_x, a_y, a_z możemy przedstawić w postaci iloczynu tego wektora i jego wersora:

Zatem wektor a możemy zapisać w postaci:

Pytanie kontrolne 5: Zbadaj czy wektory: [1, 2, 3], [ 2, 3, 4], [1, 1, 1] są liniowo niezależne w przestrzeni R³.

---